Matematika 3 Filsafat Matematika (1) Filsafat Matematika (1) Filsafat Matematika (1)

1.1 Osnovni pojmovi i definicije

Definicija 1.1.1 Realna funkcija n realnih promenljivih je preslikavanje skupa D ⊆ R n ,n∈Nn> 1 u skup R, tj. podskup Dekartovog proizvoda D × R u kome se

svaki element iz D pojavljuje tačno jedanput kao prva komponenta. Skup D se naziva domen funkcije, a vrednost funkcije f u tački (x 1 ,...,x n ) ∈ D se

zapisuje f (x 1 ,...,x n ). Pišemo i

f = f (x 1 ,...,x n ), (x 1 ,...,x n )∈D⊆R n ili

f :D→R n : (x 1 ,...,x n ) 7→ f (x 1 ,...,x n ). Za proizvoljno c ∈ R, jednačinom f (x 1 ,...,x n ) = c je zadata nivo površ funkcije

f. U slučaju n = 2 nivo površ se naziva i nivo kriva. Nivo krive se često crtaju u jednoj ravni.

Primer 1.1.1 Izolinije (grč. isos = jednak) su linije koje na geografskim kartama spajaju tačke u kojima neka pojava ima istu vrednost.

Izohipse (grč. hypsos = visina) su krive koje na geografskim kartama povezuju mesta iste nadmorske visine. U delovima gde je mreža izohipsi gusta, u prirodi je područje strmo. Izohipse se označavaju svetlo smedjom bojom.

Izobate (grč. batos=dubina) su krive koje na geografskim kartama spajaju mjesta jednake dubine mora ili jezera. Izobare (grč. baros = težina) su krive koje na kartama povezuju mjesta istog vazdušnog pritiska.

Primer 1.1.2 Neka je n = 2. (a) z = x 2 +y 2 (b) z = p1 − x 2 −y 2

CHAPTER 1. FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH Matematika 3

(c) z = px 2 +y 2 Definicija 1.1.2 Rastojanje (metrika) je preslikavanje d : R n ×R n → R sa osobi-

nama:

(D 1 ) d(M 1 ,M 2 ) ≥ 0, (D 2 ) d(M 1 ,M 2 )=0⇔M 1 =M 2 (D 3 ) d(M 1 ,M 2 ) = d(M 2 ,M 1 )

(D 4 ) d(M 1 ,M 2 ) + d(M 2 ,M 3 ) ≥ d(M 1 ,M 3 ).

Primer 1.1.3 Neka je M 1 = (x 1 ,y 1 )iM 2 (x 2 ,y 2 ). Funkcija

d (M 1 ,M 2 )= (x 1 −x 2 ) 2 + (y 1 −y 2 ) 2 je metrika u R 2 . Kažemo da je uređen par (R n ,d ) metrički prostor.

Definicija 1.1.3 Okolina tačke M 1 je skup

r> 0. Primer 1.1.4 Ako je rastojanje definisano sa

(M, r) = {M ∈ R n : d(M, M 1 ) < r},

d (M 1 ,M 2 )= (x 1 −y 1 ) 2 + (x 2 −y 2 ) 2 + . . . + (x n −y n ) 2 , onda kažemo da je okolina sferna:

1.2 Karakteristične tačke i skupovi u R n

Neka je D ⊆ R n . Karakteristične tačke:

•M 1 (∈ D) je unutrašnja tačka skupa D ako postoji okolina tačke M 1 koja je cela sadržana u D;

1.3. GRANIČNA VREDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE DVE Matematika 3

PROMENLJIVE •M 2 (6∈ D) je spoljašnja tačka skupa D ako postoji okolina tačke M 2 ne sadrži

nijednu tačku iz D; •M 3 je rubna tačka skupa D ako svaka okolina tačke M 3 sadrži bar jednu tačku

iz D i bar jednu tačku koja nije u D; •M 4 je tačka nagomilavanja skupa D ako svaka okolina tačke M 5 ima presek

sa D \ {M 4 }; Karakteristični skupovi:

• Unutrašnjost D o skupa D je skup svih unutrašnjih tačaka. • Spoljašnjost skupa D je skup svih spoljašnjih tačaka ((R n \ D) o ). • Rub skupa D je skup svih rubnih tačaka. • Skup svih tačaka nagomilavanja skupa D ćemo označavati sa D ′ . Osobine skupova:

• Skup D je otvoren ako za svaku tačku iz D postoji okolina te tačke koja je sadržana u D.

• Skup D je zatvoren ako je R n \ D otvoren. • Skup D je konveksan ako za svake dve tačke iz D duž koja ih spaja pripada

D. • Skup D je ograničen ako je sadržan u nekoj svojoj okolini.

1.3 Granična vrednost i neprekidnost funkcije dve promenljive

Neka je z = f (x, y), (x, y) ∈ D i neka je M 1 tačka nagomilavanja skupa D. Definicija 1.3.1 Kažemo da je A ∈ R granična vrednost funkcije f kad M teži M 1

ako (∀ε > 0)(∃r = r(ε) > 0)(∀M ∈ D \ {M 1 }) d(M, M 1 ) < r ⇒ d(f(x, y), A) < ε

i pišemo

lim

M→M f 1 (M) = A.

Primer 1.3.1 Neka je

Granična vrednost funkcije f kad M teži (2, 5) jednaka je A = 7.

CHAPTER 1. FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH Matematika 3

Definicija 1.3.2 Funkcija f : D → R, D ⊆ R 2 , je neprekidna u unutrašnjoj tački M 1 ∈ D ako je

(∀ε > 0)(∃r = r(ε) > 0)(∀M ∈ D) d(M, M 1 ) < r ⇒ d(f(M), f(M 1 )) < ε Znači, tri uslova moraju biti zadovoljena: (a) lim f

M→M 1 (M) = A, tj. postoji granična vrednost kada M → M 1 ;

(b) postoji f (M 1 ), tj. f je definisana u tački M 1 ;

(c) A = f (M 1 ). Definicija 1.3.3 Funkcija z = f (x, y) je neprekidna u oblasti D ako je neprekidna u

svakoj tački iz D. Primer 1.3.2 Funkcija f u Primeru 1.3.1 ima otklonjiv prekid u tački (2, 5). Moguće

je definisati funkciju

g (x, y) = + y , ako je (x, y) 6= (2, 5)

7 , ako je (x, y) = (2, 5) koja je neprekidna u R 2 .

1.4 Diferencijalni račun funkcija dve promenljive

Neka f : D → R, D ⊆ R 2

i (x 1 ,y 1 ) unutrašnja tačka skupa D. Definicija 1.4.1 Ako postoji

onda tu graničnu vrednost nazivamo prvi parcijalni izvod funkcije f po promenljivoj x u tački (x ,y ), i označavamo sa ∂f (x 1 ,y 1 1 ) 1 ∂x ili f x (x 1 ,y 1 ). Ako postoji

onda tu graničnu vrednost nazivamo prvi parcijalni izvod funkcije f po promenljivoj

y u tački (x ,y ), i označavamo sa ∂f (x 1 ,y 1 1 ) 1 ∂x ili f y (x 1 ,y 1 ). Primer 1.4.1 Ako je f (x, y) = x 2 y 3 , onda je

f x = (x 2 ) ′ y 3 = 2xy 3

f y =x 2 (y 3 ) ′ = 3x 2 y 2

(Kada se traži parcijalni izvod po x, smatra se da je y konstantno. Slično za parcijalni izvod po y.)

Matematika 3

1.5. TOTALNI DIFERENCIJAL FUNKCIJE DVE PROMENLJIVE

Geometrijska interpretacija: Neka je C x kriva koja se nalazi u preseku ravni y = y 1 i grafika funkcije f : D → R ,D ⊆R 2 . Prvi parcijalni izvod funkcije f po x u tački (x 1 ,y 1 ) predstavlja koeficijent

pravca tangente u tački (x 1 ,y 1 ) na krivu C x .

Neka je C y kriva koja se nalazi u preseku ravni x = x 1 i grafika funkcije f : D → R ,D ⊆R 2 . Prvi parcijalni izvod funkcije f po y u tački (x 1 ,y 1 ) predstavlja koeficijent

pravca tangente u tački (x 1 ,y 1 ) na krivu C y .

Definicija 1.4.2 Ako postoje prvi parcijalni izvodi funkcija ∂f ∂x i ∂f ∂y , onda te izvode zovemo drugi parcijalni izvodi i označavamo ∂ 2 f 2 2 (ili f xx ), ∂ f (f yx ), ∂ 2 ∂x f ∂x∂y ∂y 2 (ili f yy )i ∂ 2 ∂y∂x f (ili f xy ). Važi

∂y ∂x Teorema 1.4.1 Ako postoje drugi mešoviti parcijalni izvodi 2 ∂ f i ∂ 2 f

∂x∂y u nekoj okolini tačke M 1 i neprekidni su u tački M 1 , onda su oni i jednaki u toj tački, tj. važi

1.5 Totalni diferencijal funkcije dve promenljive

Neka je z = f (x, y), (x, y) ∈ D i neka je M 1 tačka nagomilavanja skupa D. Definicija 1.5.1 Funkcija z = f (x, y) je diferencijabilna u tački (x 1 ,y 1 ) ako se njen

totalni priraštaj u toj tački može napisati u obliku

∆z = A∆x + B∆y + C∆x + D∆y

gde C i D teže nuli kada ∆x i ∆y teže nuli, a A i B su funkcije od x i y. (∆z =

f (x 1 + ∆x, y 1 + ∆y) − f(x 1 ,y 1 ))

Teorema 1.5.1 Ako je funkcija f diferencijabilna u tački (x, y), onda postoje parcijalni izvodi f x if y i važi

∆f = f x ∆x + f y ∆y + C∆x + D∆y.

Ako je funkcija diferencijabilna, onda je ona i neprekidna. Teorema 1.5.2 Ako u okolini tačke (x 1 ,y 1 ) funkcija f ima neprekidne parcijalne izvode

prvog reda, onda je ona u toj tački diferencijabilna. Definicija 1.5.2 Neka je funkcija f diferencijabilna i neka je ∆x = dx i ∆y = dy.

Totalni diferencijal funkcije f je

df =f x dx +f y dy.

CHAPTER 1. FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH Matematika 3

Teorema 1.5.3 Funkcija

P (x, y)dx + Q(x, y)dy

je totalni diferencijal od f = f (x, y) ako i samo ako važi

Ako funkcija f ima neprekidne parcijalne izvode drugog reda u okolini tačke (x 1 ,y 1 ), onda je totalni diferencijal drugog reda funkcije f totalni diferencijal totalnog diferencijala funkcije f . Ako uvedemo oznake dx 2 = (dx) 2 i dy 2 = (dy) 2 , onda je

ili kraće

Slično se dobije i

1.6 Izvod složene funkcije

Neka je funkcija f = f (x, y) diferencijabilna i x = x(t), y = y(t), t ∈ D. Tada važi

∂y ∂t Neka je funkcija f = f (u, v), (u, v) ∈ D 2 1 ⊆R , i u = u(x, y), v = v(x, y), gde je (u, v) : D → D 1 ,D ⊆R 2 . Ako f ima neprekidne parcijalne izvode po u i v, a u i v

∂t

∂x ∂t

imaju parcijalne izvode po x i y, tada važi

1.7 Implicitne funkcije

Kažemo da je jednačinom

F (x, y, z) = 0

funkcija z koja zavisi od x i y zadata implicitno. Da bismo odredili parcijalne izvode ∂f ∂x i ∂f ∂y odredićemo

dF =F x dx +F y dy +F z dz, gde je dF = 0

Matematika 3

1.8. TANGENTNA RAVAN

i uvrstiti

F x +F z f x =0∧F y +F z f y =0

Znači,

1.8 Tangentna ravan

Neka je zadata površ S jednačinom z = f (x, y) i tačka (x 0 ,y 0 ,z 0 ) ∈ S.

Jednačina ravni koja sadrži tačku (x 0 ,y 0 ,z 0 ) je oblika

A (x − x 0 ) + B(y − y 0 ) + C(z − z 0 ) = 0, što je ekvivalentno sa

z = g(x, y) = − (x − x 0 )− (y − y 0 )+z 0 .

Ako je ravan tangentna na površ S, onda funkcije f i g imaju jednake prve par- cijalne izvode

f x (x 0 ,y 0 )=g x (x 0 ,y 0 )=− if y (x 0 ,y 0 )=g y (x 0 ,y 0 )=− .

C C Znači, jednačina tangentne ravni na površ u tački (x 0 ,y 0 ) je

z −z 0 =f x (x 0 ,y 0 )(x − x 0 )+f y (x 0 ,y 0 )(y − y 0 ) ⇔f x (x 0 ,y 0 )(x − x 0 )+f y (x 0 ,y 0 )(y − y 0 ) − (z − z 0 )=0 ⇔ (f x (x 0 ,y 0 ), f y (x 0 ,y 0 ), −1) · (x − x 0 ,y −y 0 ,z −z 0 )=0 ⇔ (f x (x 0 ,y 0 ), f y (x 0 ,y 0 ), −1) ⊥ (x − x 0 ,y −y 0 ,z −z 0 )

Slično, ako je površ s data jednačinom F (x, y, z) = 0, onda je jednačina tangentne

ravni na S u tački (x 0 ,y 0 ,z 0 )

(F x (x 0 ,y 0 ,z 0 ), F y (x 0 ,y 0 ,z 0 ), F z (x 0 ,y 0 ,z 0 )) · (x − x 0 ,y −y 0 ,z −z 0 )=0

i važi (F x (x 0 ,y 0 ,z 0 ), F y (x 0 ,y 0 ,z 0 ), F z (x 0 ,y 0 ,z 0 )) ⊥ (x − x 0 ,y −y 0 ,z −z 0 ).

CHAPTER 1. FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH Matematika 3

1.9 Gradijent

Neka je z −z 0 =f x (x 0 ,y 0 )(x − x 0 )+f y (x 0 ,y 0 )(y − y 0 )

tangenta ravan u tački (x 0 ,y 0 ,z 0 ) na površ datu jednačinom z = f (x, y). Ako datu površ z = f (x, y) i njenu tangentnu ravan presečemo sa ravni datom jednačinom

z =z 0 ,

onda je prava

f x (x 0 ,y 0 )(x − x 0 )+f y (x 0 ,y 0 )(y − y 0 )=0 ⇔ (f x (x 0 ,y 0 ), f y (x 0 ,y 0 )) · (x − x 0 ,y −y 0 )=0 ⇔ (f x (x 0 ,y 0 ), f y (x 0 ,y 0 )) ⊥ (x − x 0 ,y −y 0 )

normalna na grafik funkcije

f (x, y) = z 0

u tački (x 0 ,y 0 ). Vektor (f x ,f y ) se naziva gradijent funkcije f. Ako uvedemo simboličku oznaku ∇ = ( ∂

∂x , ∂ ∂y ) onda je

∂ ∂ ∇f = ( ,

)f = (f x ,f y ).

∂x ∂y U opštem slučaju, ako je f = f (x 1 ,...,x n ), tada je ∇f = (f x 1 ,...,f x n )

gradijent funkcije f .

1.10 Stacionarne tačke funkcije dve promenljive

Neka je z = f (x, y), (x, y) ∈ D ⊆ R 2 Definicija 1.10.1 Funkcija f ima (strogi) relativni maksimum (relativni minimum) u

tački (a, b) ∈ D o ako postoji ε > 0 takvo da za sve ∆x i ∆y sa osobinom 0 < |∆x| < ε, 0 < |∆y| < ε, važi

f (a, b) > f (a + ∆x, b + ∆y)

f (a, b) < f (a + ∆x, b + ∆y) . Kažemo da funkcija f ima stacionarnu tačku (x 0 ,y 0 ) ako je tangentna ravan na S

u tački (x 0 ,y 0 ,z 0 ) horizontalna tj. ako je njena jednačina oblika

z =z 0 .

Matematika 3 1.11. RELATIVNE EKSTREMNE VREDNOSTI FUNKCIJE DVE PROMENLJIVE

Kako je jednačina tangentne ravni oblika

z −z 0 =f x (x 0 ,y 0 )(x − x 0 )+f y (x 0 ,y 0 )(y − y 0 ),

sledi da je ona horizontalna jedino za

f x (x 0 ,y 0 )=0if y (x 0 ,y 0 ) = 0.

Teorema 1.10.1 Ako postoje prvi parcijalni izvodi funkcije z u tački (a, b) ∈ D o iz ima ekstremnu vrednost u tački (a, b), onda je

(1.4) Dokaz: Pretpostavimo da z ima relativnu ekstremnu vrednost u tački (a, b). Tada

f x (a, b) = 0

f y (a, b) = 0.

i funkcije jedne promenljive g 1 ig 2 definisane sa g 1 (x) = f (x, b) i g 2 (y) = f (a, y) imaju relativne ekstremne vrednosti u x = a odnosno y = b. Potrebni uslovi da g 1 i

g 2 imaju relativne ekstremume u x = a i y = b su g ′ 1 (a) = 0 i g ′ 2 (b) = 0, respektivno. Odatle sledi da su f x (a, b) = 0 i f y

Unutrašnje tačke oblasti D koje zadovoljavaju 1.4 se nazivaju stacionarnim ili kritičnim tačkama.

1.11 Relativne ekstremne vrednosti funkcije dve promenljive

Teorema 1.11.1 Neka je (a, b) kritična tačka funkcije z, koja ima neprekidne druge parcijalne izvode i neka je

∂ 2 • Ako je Γ > 0 i f ∂x 2 < 0 (ili ∂ 2 ∂y f 2 < 0), funkcija z ima relativni maksimum u tački (a, b).

∂ 2 f • Ako je Γ > 0 i 2 ∂x 2 > 0 (ili ∂ f ∂y 2 > 0), funkcija z ima relativni minimum u tački (a, b).

• Ako je Γ < 0 funkcija z nema ni relativni maksimum ni relativni minimum u tački (a, b). U ovom slučaju, tačka (a, b) se često naziva sedlastom tačkom.

• Ako je Γ = 0, ne znamo da li funkcija z u (a, b) ima relativni ekstremum i neophodna su dalja ispitivanja.

1.12 Relativne ekstremne vrednosti funkcija više promenljivih

Neka je f = f (x 1 ,...,x n ), (x 1 ,...,x n

)∈D⊆R n .

CHAPTER 1. FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH Matematika 3

Teorema 1.12.1 Ako postoje prvi parcijalni izvodi funkcije z u tački (a 1 ,...,a n )∈D o

i z ima ekstremnu vrednost u tački (a 1 ,...,a n ), onda je

f x 1 (a 1 ,...,a n )=0 ...

f x n (a 1 ,...,a n )=0

Teorema 1.12.2 Neka je A(a 1 ,...,a n

)∈D o stacionarna tačka funkcije f . • Ako je d 2 F (A) < 0, (dx 1 , . . . , dx n ) 6= (0, . . . , 0), funkcija f ima relativni maksi-

mum u tački A. • Ako je d 2 F (A) > 0, (dx 1 , . . . , dx n ) 6= (0, . . . , 0), funkcija f ima relativni minimum

u tački A. • Ako d 2 F (A) menja znak za razne vrednosti (dx 1 , . . . , dx

n ) 6= (0, . . . , 0), funkcija

f nema ni relativni minimum ni relativni maksimum u tački A.

1.13 Vezane (uslovne) ekstremne vrednosti

PROBLEM: Odrediti relativni minimum ili relativni maksimum funkcije

1 n ,...,x n ), (x 1 ,...,x n )∈D⊆R , ako promenljive zadovoljavaju ograničenja data jednačinama

f = f (x

g 1 (x 1 ,...,x n )=0

g m (x 1 ,...,x n )=0

LAGRANŽOV METOD MNOŽITELJA: Formirajmo funkciju

F (x 1 ,...,x n ) = f (x 1 ,...,x n )+λ 1 g 1 (x 1 ,...,x n )+...+λ m g m (x 1 ,...,x n ), gde su λ 1 ,...,λ m realni parametri.

Ako funkcija F ima uslovnu ekstremnu vrednost, onda je

F x 1 =0 ...

F x n =0

g 1 . (x 1 ,...,x n )=0 ...

g n (x 1 ,...,x n )=0

Neka je A(a 1 ,...,a n ) stacionarna tačka. • Ako je d F (A) < 0, (dx 1 , . . . , dx n ) 6= (0, . . . , 0), funkcija f ima uslovni maksimum

u tački A.

Matematika 3

1.13. VEZANE (USLOVNE) EKSTREMNE VREDNOSTI

• Ako je d F (A) > 0, (dx 1 , . . . , dx n ) 6= (0, . . . , 0), funkcija f ima uslovni minimum u tački A.

• Ako d 2 F (A) menja znak za razne vrednosti (dx 1 , . . . , dx n ) 6= (0, . . . , 0), funkcija

f nema ni uslovni minimum ni uslovni maksimum u tačli A.

CHAPTER 1. FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH Matematika 3

1.14 Zadaci za vežbu

1. Ispitati domen funkcije

(a) f (x, y) = px 2 +y 2 − 9, (b) f (x, y, z) = px 2 +y 2 +z 2 − 1 + ln (xyz),

(c) f (x, y) = arcsin x y + arccos x 2 . (a) D = {(x, y) ∈ R 2 :x 2 +y 2 ≥ 9}.

(b) D = {(x, y, z) ∈ R 3 :x 2 +y 2 +z 2 ≥

9, xyz > 0}

= {(x, y, z) ∈ R 3 :x 2 +y 2 +z 2 ≥

9, x > 0, y > 0, z > 0}

∪ {(x, y, z) ∈ R 3 :x 2 +y 2 +z 2 ≥

9, x < 0, y < 0, z > 0}

∪ {(x, y, z) ∈ R 3 :x 2 +y 2 +z 2 ≥

9, x < 0, y > 0, z < 0}

∪ {(x, y, z) ∈ R 3 :x 2 +y 2 +z 2 ≥

9, x > 0, y < 0, z < 0}.

(c) D = {(x, y) ∈ R x : −1 ≤ y ≤ 1, y 6= 0, −1 ≤ 2 ≤ 1} . = {(x, y) ∈ R 2 : −y ≤ x ≤ y, y 6= 0, −2 ≤ x ≤ 2}.

2. Neka je D = (−1, 2) ∪ {5, 8}. Odrediti unutrašnjost, spoljašnjost, rub i skup svih tačaka nagomilavanja.

•D o = (−1, 2); • (R \ D) o = (−∞, −1) ∪ (2, 5) ∪ (5, 8) ∪ (8, ∞); •D ′ = [−1, 2]; •D ∗ = {−1, 2, 5, 8};

3. Dokazati da je skup D o najveći otvoren skup koji je sadržan u D, tj. da za

svaki otvoren skup D 1 važi da je D 1 ⊆D o ⊆ D.

4. Dokazati da je D najmanji zatvoren skup koji sadrži skup D, tj. da za svaki

zatvoren skup D 1 ,D ⊆D 1 , važi D ⊆ D ⊆ D 1 .

5. Dokazati da važe sledeće osobine: (a) D = D ∪ D ′ , (b) D ′ ⊂ D,

(c) D je otvoren ako i samo ako je D o = D, (d) D je zatvoren ako i samo ako je R n \ D otvoren.

(e) D je zatvoren ako i samo ako je D = D.

6. Izračunati sledeće granične vrednosti (a) lim 2 x 2 lim +y − 2

x→ 1 y→ 1 x 2 −y 2

x 2 +y lim 2 − 2

• (b)] lim y→ 1 x→ 1 x 2 −y 2

Matematika 3

1.14. ZADACI ZA VEŽBU (c) 2 lim x 2 +y − 2

(x,y)→(1,1) x 2 −y 2

x 2 +y (d) 2 lim

(x,y)→(0,0) 3xy

y→ 1 1−y 2 = −1 (c) Na osnovu rezultata pod (a) i (b) ne postoji.

(d) Kako je za y = kx

to sledi da posmatrana granična vrednost ne postoji, zato što se za različite vrednosti k dobijaju različite granične vrednosti.

7. Naći prve parcijalne izvode funkcije

Uvedimo smene u(x, y) = xy i v(x, y) = x 2 +y 2 . Tada je

f (u, v) =

−e u + ln v

i važi

xy 2xy 2 2y x +y 2 − ye − (x 2 +y 2 ) 2 + x 2 +y 2 = x 2 +y 2 − xe − (x 2 +y 2 2 ) 2 2 + x 2 +y 2 = 2x+y

8. Naći prve parcijalne izvode funkcije

(d) z = ln(xy), (e) z = e xy .

CHAPTER 1. FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH Matematika 3

9. Naći ∂z ∂t , ako je z = xy, gde je x = sin t i y = cos t.

10. Naći prve parcijalne izvode i totalni diferencijal funkcije z = y x , y > 0, y 6= 1.

11. Ako je z = ln(xy + e ∂z ) − xy + x y, izračunati ∂x i ∂y .

2 ∂z

2 Neka je u(x, y) = xy i v(x, y) = x v y. Tada je f(u, v) = ln(u + e )−u+vi sledi

+ 2xye x2 y

x 2 e x2 y

xy+e x2 y

xy+e x2 y

xy+e x2 y

xy+e x2 y

x+x 2 e = x2 y

y+2xye x2 y

= xy+e x2 y

xy+e x2 y

12. Ispitati ekstremne vrednosti funkcije

u(x, y) = ln(4 − x − 2y) + + ln x ako je x + 2y = 1.

Neka je

F(x, y; λ) = ln(4 − x − 2y) + + ln x + λ(x + 2y − 1).

Kako je

Matematika 3

1.14. ZADACI ZA VEŽBU

stacionarne tačke odredjujemo rešavanjem sistema jednačina

− + +λ=0∧− − 2 + 2λ = 0 ∧ x + 2y − 1 = 0.

4 − x − 2y x

4 − x − 2y y

Dobija se

1 1 2 2 =− 2 ∧ x + 2y − 1 = 0) ⇔ (x = −y ∧y − 2y + 1 = 0 ⇔ x

2 (x = −y 2 ∧ (y − 1) = 0) ⇔ (x = −1 ∧ y = 1). Parcijalni izvodi drugog reda su

a totalni diferencijal drugog reda

9 dy . Diferenciranjem uslova x + 2y = 1 dobijamo dy = − 1

d F(−1, 1) = −

9 dx

9 dxdy

2 dx, odakle je

d F(−1, 1) = −

< 0, (dx, dy) 6= (0, 0)

2dx

i funkcija ima uslovni maksimum u datoj tački.

13. Ispitati uslovne ekstremne vrednosti funkcije

2 2 u=x 2 +y +z − xz + yz + xy, ako je y + z = 5 i x + z = 3.

CHAPTER 1. FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH Matematika 3

Neka je

F(x, y, z; λ, ν) = x 2 2 +y 2 +z − xz + yz + xy + λ(y + z − 5) + ν(x + z − 3). Tada je

Stacionarne tačke su rešenja sistema jednačina x

+ν=0 ⇔ x + 2y +

1 9 11 Rešenje datog sistema je (x, y, z, λ, ν) = ( 15

4 , 4 , 4 ,− 2 , 0). Kako su parcijalni izvodi drugog reda

=2 ∂ 2 F ∂x∂z =

∂y

∂z 2 =2 ∂ 2 ∂y∂z F =

Matematika 3

1.14. ZADACI ZA VEŽBU

totalni diferencijal drugog reda je

d 2 F = 2dx 2 2 + 2dy 2 + 2dz + 2dxdy − 2dxdz + 2dydz. Diferenciranjem uslova

x+z−3=0iy+z−5=0 dobijamo

dx + dz = 0 i dy + dz = 0 ⇔ dx = −dz i dy = −dz. Odatle je

2 2 2 2 2 2 2 dF 2 = 2dz + 2dz + 2dz + 2dz + 2dz − 2dz = 6dz ≥ 0. Kako je

d 2 F = 0 ⇔ dz = 0 ⇔ dx(= −dz) = 0 ∧ dy(= −dz) = 0, to je

d 2 F > 0, (dx, dy, dz) 6= (0, 0, 0)

1 9 što znači da funkcija u ima uslovni minimum u tački ( 11

4 , 4 , 4 ).

CHAPTER 1. FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH Matematika 3

Chapter 2

Vektorska analiza

Neka je ~r M radijus vektor tačke M(x, y, z) u pravouglom koordinatnom sistemu (O,~i,~j, ~k). Neka je

V = {~r 3

M : M = (x, y, z) ∈ R }

skup svih radijus vektora tačaka iz R 3 .

2.1 Skalarna polja

Funkcija f : D → R, D ⊆ R 3 , se naziva skalarno polje (skalarna funkcija). Ekviskalarna površ (nivo površ) skalarnog polja f : D → R, D ⊆ R 3 je skup tačaka iz D u kojima polje ima konstantnu vrednost.

Ako za skalarno polje f : D → R, D ⊆ R 3 , jedinični vektor ~n 0 ∈ D i ~r ∈ D postoji konačna granična vrednost

f (~r + t~n 0

) − f(~r)

lim

t→0

onda se ona naziva izvod u tački ~r funkcije φ u pravcu (i smeru) vektora ~n 0 i

označava sa ∂f ∂~ n 0 (~r) ili f n ~ 0 (~r). Neka je skalarno polje f : D → R, D ⊆ R 3 diferencijabilno u tački ~r ∈ D i neka

je ~n 0 = (cos α, cos β, cos γ) jedinični vektor koji sa x, y i z osama obrazuje uglove α, β i γ, respektivno. Tada funkcija f ima u tački ~r izvod u pravcu vektora ~n 0 i važi

(~r) = ∂f (~r) cos α + (~r) cos β + (~r) cos γ

= ∂f (~r), (~r), (~r) · (cos α, cos β, cos γ).

∂f

∂f

∂x

∂y

∂z

CHAPTER 2. VEKTORSKA ANALIZA Matematika 3

2.2 Vektorske funkcije

Funkcija ~ F : D → V , D ⊆ R, se naziva vektorska funkcija skalarne promenljive. Razlaganjem po komponentama dobijamo

F ~ (t) = (P(t), Q(t), R(t)) = P(t)~ı + Q(t)~ + R(t)~k, t ∈ D.

Hodograf ili trag vektorske funkcije ~ F je skup svih tačaka koje opisuju krajevi vektora

F ~ (t) kada t uzima vrednosti iz domena D.

2.2.1 Granična vrednost i neprekidnost

Vektor ~A je granična vrednost vektorske funkcije ~ F : D → V u tački t 0 , u oznaci lim ~

t→t 0 F (t) = ~A, ako ∀ε > 0∃δ > 0|t − t o | < δ ⇒ |~ F (t) − ~A| < ε, gde je |~F(t) − ~A| intezitet vektora ~F(t) − ~A|.

Direktno sledi da za ~A = (a x ,a y ,a z )i~ F = (P, Q, R) važi lim F ~ = ~A ⇔ (a x = lim P (t) ∧ a y = lim

= lim (t) t→t 0 t→t 0 t→t 0 Q (t) ∧ a z t→t 0 R . Funkcija ~ F : D → V je neprekidna u tački t o ∈ D ako je

t→t lim F ~ (t) = ~ F 0 (t 0 ).

Funkcija je neprekidna ako je neprekidna u svakoj tački skupa D.

2.2.2 Izvod

Izvod vektorske funkcije ~ F : D → V u tački t o definisan je sa

(t) = lim F (t + ∆t) − ~F(t)

t→t

0 ∆t

Direktno sledi da za ~ F (t) = (P(t), Q(t), R(t)) važi

F ~ (t) = (P ′ (t), Q ′ (t), R ′ (t)).

Geometrijska interpretacija.

Matematika 3

2.3. VEKTORSKA POLJA

2.2.3 Neodredjeni i odredjeni integral

Diferencijabilna funkcija ~ G : D → V je primitivna funkcija vektorske funkcije ~F na

D ako je

G ~ ′ (t) = ~ F (t)

za svako t ∈ D. Neodredjeni integral funkcije ~ F (t) je skup svih primitivnih funkcija funkcije ~ F i

označava se

F ~ (t)dt.

Pišemo

F ~ (t) = ~ G (t) + C. Odredjeni integral funkcije ~ F na intervalu [a, b] je

F ~ (t)dt = ~ G (b) − ~G(a).

Direktno sledi da je Z

F ~ (t) = ~ı P (t)dt + ~ Q (t)dt + ~k R (t)dt i

F ~ (t) = ~ı P (t)dt + ~ Q (t)dt + ~k R (t)dt.

2.3 Vektorska polja

Funkcija ~ F : D → V , D ⊆ V , sa naziva vektorsko polje (vektorska funkcija vektorske promenljive).

F ~ (x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = P(x, y, z)~ı + Q(x, y, z)~ + R(x, y, z)~k, (x, y, z) ∈ D.

Vektorske linije vektorskog polja ~ F : D → V , D ⊆ V , su krive kod kojih je u svakoj tački M vektor ~ F (M) tangentni vektor na krivu u datoj tački. Diferencijalna jednačina vektorskih linija vektorskog polja ~ F (x, y, z) = P(x, y, z)~ı + Q(x, y, z)~ + R (x, y, z)~k je

dx

dy = dz =

a to je sistem od dve obične diferencijalne jednačine dy dx = Q P , dz dx = R P .

CHAPTER 2. VEKTORSKA ANALIZA Matematika 3

2.4 Hamiltonov i Laplasov operator

Hamiltonov(nabla) operator je simbolički operator

Laplasov operator je simbolički operator

Ako skalarno pomnožimo ∇ sa samim sobom, dobijamo ∂ ∂ ∂

2.5 Gradijent, divergencija i rotor

Neka je D ⊆ R 3 ,f : D → R skalarno polje i ~F : D → V diferencijabilno vektorsko polje dato sa ~ F (x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).

• Gradijent skalarnog polja f je vektorsko polje ∇f : D → V definisano sa

• Divergencija vektorskog polja ~ F je skalarno polje ∇ · ~F : D → R definisano sa

• Rotor vektorskog polja ~ F, u oznaci ∇ × ~F ili rot ~F, je vektorsko polje ~ı

Vektorsko polje ~ F je • potencijalno (konzervativno) ako postoji skalarno polje f : D → R takvo da je

je ~ F = ∇f i kažemo da je f potencijal polja ~F;

• solenoidno ako je ∇ · ~ F = 0 u svim tačkama oblasti D;

• bezvrtložno ako je ∇ × ~ 3 F = 0 u svim tačkama oblasti D ⊂ R . Ako je vektorsko polje potencijalno i solenoidno, kaže se da je Laplasovo.

Matematika 3

2.6. OSOBINE GRADIJENTA, DIVERGENCIJE I ROTORA

2.6 Osobine gradijenta, divergencije i rotora

Ako su f , g : D → R, D ⊆ R 3 diferencijabilna skalarna polja, α ∈ R i H : R → R diferencijabilna funkcija, da važi

∇(f + g) = ∇f + ∇g; ∇(αf) = α(∇f); ∇α = 0; ∇(fg) = (∇f)g + g(∇f); ∇(H(f)) = H ′ (f )∇f.

Ako su ~ F,~ G :D→R 3 ,D ⊆R 3 diferencijabilna vektorska polja, α ∈ R i ~A ∈ R 3 , važi

∇ · (~ F +~ G ) = ∇ · ~F + ∇ · ~G, ∇ · (α ~ F ) = α(∇ · ~F); ∇ · ~A = 0.

:D→R 3 ,D⊆R diferencijabilna vektorska polja, α ∈ R i ~A ∈ R , važi

Ako su ~ F,~ G 3 3

∇ × (~ F +~ G ) = ∇ × ~F + ∇ × ~G; ∇ × (α ~ F ) = α(∇ × ~F); ∇ × ~A = 0.

Ako je f : D → R, D ⊆ R 3 diferencijabilno skalarno polje i ~ F,~ G :D→R 3 ,D ⊆R 3 diferencijabilna vektorska polja,dokazati da važi

∇ · (f ~ F ) = (∇f) · ~F + f(∇ · ~F); ∇ × (f ~ F ) = (∇f) × ~F + f(∇ × ~F);

∇ · (~ F ×~ G )=~ G · (∇ × ~ F ) − ~F · (∇ × ~G);

∇ × (~ F ×~ G )=(~ G · ∇)~ F −~ G (∇ · ~F) − (~F · ∇)~G + ~F(∇ · ~G); ∇(~ F ·~ G )=(~ G · ∇)~ F + (~ F · ∇) ~ G +~ G × (∇ × ~ F )+~ F × (∇ × ~ G ).

Ako je f : D → R, D ⊆ R 3 diferencijabilno skalarno polje i ~ F 3 :D→R 3 ,D ⊆R dva puta neprekidno diferencijabilno vektorsko polje, važi

2.7 Tangentna ravan na površ

Tangentna ravan površi S u tački M ∈ S je ravan u koja sadrži sve tangente na krive koje prolaze kroz tačku M i leže na površi S.

CHAPTER 2. VEKTORSKA ANALIZA Matematika 3

Ako je ~r radijus vektor proizvoljne tačke tangentne ravni, ~r 0 radijus vektor dodirne tačke i ~n 0 jedinični vektor normale ravni, onda je

(~r − ~r 0 ) · ~n 0 = 0.

Neka je f : D → R, D ⊆ R 3 , skalarno polje. Jednačina nivo površ koja sadrži tačku M i funkcija f ima konstantnu vrednost f (M). Ako diferenciramo jednačinu date

nivo površi

f (x, y, z) = f (M)

dobijamo

f x (M)dx + f y (M)dy + f z (M)dz = 0 ⇔ (f x (M), f y (M), f z (M)) · (dx, dy, dz) = 0 ⇔ ∇f(M) · d~r = 0 ⇔ ∇f(M) ⊥ d~r.

Odatle je vektor normale na posmatranu nivo površ u tački M

n ~ = (∇f)(M),

a jedinični vektor normale

~ n n ~ 0 = = (∇f)(M) .

|(∇f)(M)|

Ako je površ data implicitno jednačinom F (x, y, z) = 0, jednačina tangentne ravni je

(~r − ~r 0 ) · ∇F(~r 0 ) = 0 tj.

F x (x − x 0 )+F y (y − y 0 )+F z (z − z 0 ) = 0.

2.8 Normala površi

Normala površi S u tački M ∈ S je prava koja sadrži tačku M i normalna je na tangentnu ravan da te površi kroz datu tačku.

Ako je ~r radijus vektor proizvoljne tačke normale, a ~r 0 radijus vektor tačke M, onda je jednačina normale

(~r − ~r 0 ) × ~n 0 = 0 ⇔ (~r − ~r 0 ) × ∇f(~r 0 ) = 0. Ako je površ S data implicitno jednačinom F (x, y, z) = 0, jednačina normale u

tački (x 0 ,y 0 ,z 0 ) je

x −x 0 y −y 0 z −z 0

Matematika 3

2.9. ZADACI

2.9 Zadaci

1. Odrediti ekviskalarne površi skalarnih polja

(a) f (x, y, z) = z x 2 +y 2 ; (b) f (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 .

(a) Jednačina ekviskalarne površi je φ(x, y, z) = C, tj. z x 2 +y 2 = C. Za C 6= 0 ekviskalarna površ je

3 {(x, y, z) ∈ R 2 : (x, y) 6= (0, 0), z = C(x +y 2 )} (kružni paraboloid bez svog temena O(0, 0, 0)), a za C = 0 to je {(x, y, z) ∈

R 3 : (x, y) 6= (0, 0), z = 0} (xOy ravan bez tačke (0, 0, 0)). (b) Neka je x 2 +y 2 +z 2 = C.

Ako je C < 0 onda je data jednačina nemoguća i ne postoji ekviskalarna površ f (x, y, z) = C.

Ako je C = 0 jedinstveno rešenje jednačine x 2 +y 2 +z 2 = 0 je tačka (0, 0, 0) i ona predstavlja traženu ekviskalarnu površ.

√ Ako je C > 0 ekviskalarna površ je sfera radijusa C sa centrom u

2. Naći izvod funkcije f = f (x 1 ,...,x n ) u pravcu vektora ~e i = (0, . . . , 1, . . . , 0) (koji ima i−tu koordinatu jednaku 1 i sve ostale 0.) po definiciji.

f (~r + t~e i ) − f(~r)

lim ,...,x = lim ) − f(x 1 n ) = ∂f . t→ 0 t

f (x 1 ,...,x i + t, . . . , x n

t→ 0 t

∂x i

3. Naći gradijent skalarnog polja φ(x, y, z) = x 2 y + xz + 8 u tački M(1, 2, −3).

∂φ ∂φ ∂φ ∇φ = ( 2 , , ) = (2xy, x ,x ),

∂x ∂y ∂z ∇φ(1, 2, −3) = (4, 1, 1) = 4~ı + ~ + ~k.

4. U pravcu kog jediničnog vektora ~n 0 izvod skalarnog polja f (a) ima najveću vrednost?

(b) je jednak nuli? (c) ima najmanju vrednost?

Izvod funkcije f u pravcu jediničnog vektora ~n 0 je

0 ). ∂~ n = ∇f · ~n = |∇f| cos ∠(∇f, ~n 0

∂f

CHAPTER 2. VEKTORSKA ANALIZA Matematika 3

(a) On ima najveću vrednost, ako je cos ∠(∇f, ~n) = 1, tj. ako je ∠(∇f, ~n) =

0. Dakle, izvod skalarnog polja f ima najveću vrednost |∇f| u pravcu jediničnog vektora ∇f |∇f| .

(b) On je jednak nuli ako je cos ∠(∇f, ~n) = 0, tj. ako je ∠(∇f, ~n) = π

2 . Znači, izvod u svakom pravcu koji je ortogonalan na ∇f je jednak nuli.

(c) On ima najmanju vrednost, ako je cos ∠(∇f, ~n) = −1, tj. ako je ∠(∇f, ~n) = π. Izvod ima najmanju vrednost −|∇f| u pravcu jediničnog vektora − ∇f |∇f| .

5. Naći jednačinu tangentne ravni i normale površi x 2 +y 2 +z 2 = C u tački M (1, 2, 0).

Gradijent skalarnog polja f (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 jednak je ∇f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z). Njegova vrednost u tački M je ∇f(1, 2, 0) = (2, 4, 0), i to je vektor

normale tangentne ravni date površi u tački M. Jednačina tangentne ravni je

2(x − 1) + 4(y − 2) + 0(z − 0) = 0 tj. 2x + 4y − 12 = 0. Sistem jednačina normale je

odkale su parametarske jednačine normale x = 2t + 1, y = 4t + 2, z = 0, t ∈ R.

6. Odrediti divergenciju i rotor vektorske funkcije ~ F =x 2 ~ı +y 2 ~ + (2x + z 2 )~k.

= ~ı + vec + ~k.

∂x

∂y

∂z

x 2 y 2 2x + z 2

Chapter 3

Višestruki integrali

3.1 Dvostruki integral

3.1.1 Definicija dvostrukog integrala

Neka je funkcija f : σ → R, σ ⊂ R 2 , ograničena nad σ, gde je σ ograničena i zatvorena oblast čiji je rub po delovima glatka kriva i neka je d rastojanje na R 2 .

Izvršimo podelu T = {σ 1 ,σ 2 ,...,σ n } skupa σ mrežom po delovima glatkih krivih na konačan broj skupova σ i ,i = 1, . . . , n, i u svakom skupu σ i izaberimo tačku M i .

Skup σ i ima dijametar d(σ i ) = max d (x, y) i površinu ∆σ i . Parametar podele µ(T )

x,y ∈σ i

je najveći od dijametara oblasti σ i , tj. µ(T ) = max d (σ i ).

1≤i≤n

nazivamo integralnom sumom funkcije f po podeli T i izboru tačaka M i ∈σ i ,i =

1, 2, . . . , n. Ako za svaku podelu T i izbor tačaka M i ,i = 1, . . . , n, postoji jedinstvena granična vrednost integralne sume s(f , T ) kad µ(T ) → 0 i n → ∞, onda se ta granična vrednost naziva dvostruki integral funkcije f (x, y) nad σ, označava se sa R

Rf (x, y)dxdy i kaže se da je funkcija f (x, y) integrabilna nad σ.

3.1.2 Osobine dvostrukog integrala

Neprekidna funkcija f (x, y) nad zatvorenom oblašću σ je integrabilna nad σ. Neka su σ, σ 1 ,σ 2 ⊂R 2 zatvorene oblasti ograničene po delovima glatkim krivim i neka postoje integrali R Rf (x, y)dxdy, R Rf (x, y)dxdy, R Rf (x, y)dxdy i R Rg (x, y)dxdy.

Tada važe sledeće osobine:

CHAPTER 3. VIŠESTRUKI INTEGRALI Matematika 3 R • R αf

Rf (x, y)dxdy+β R Rg (x, y)dxdy, α, β ∈ R;

• R Rf (x, y)dxdy = R Rf (x, y)dxdy + R Rf (x, y)dxdy, gde je σ = σ 1 ∪σ 2 iσ 1 iσ 2

nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka. Neka su α i β neprekidne funkcije nad [a, b], sa osobinom α(x) ≤ β(x), x ∈ [a, b].

2 Ako je funkcija f : σ → R, σ ⊂ R 2 , neprekidna nad σ = {(x, y) ∈ R :a≤x≤

b, α (x) ≤ y ≤ β(x)}, onda je Z Z

Z b Z β (x)

f (x, y)dxdy =

f (x, y)dy dx,

a α (x)

R b β R (x)

i kraće ga zapisujemo sa dx

f (x, y)dy.

a α (x)

Neka su α i β neprekidne funkcije nad [a, b], sa osobinom α(y) ≤ β(y), y ∈ [c, d].

2 Ako je funkcija f : σ → R, σ ⊂ R 2 , neprekidna nad σ = {(x, y) ∈ R :a≤y≤

b, α (y) ≤ x ≤ β(y)}, gde su α i β neprekidne funkcije nad [a, b], onda je Z Z

Z b Z β (y)

f (x, y)dxdy =

dy

f (x, y)dx.

a α (y)

Površina ∆σ figure σ ⊂ R 2 data je integralom

Z ∆σ = Z dxdy.

Neka je f (x, y) ≥ 0, (x, y) ∈ σ ⊆ R 2 . Zapremina ∆V oblasti V = {(x, y, z) ∈ R 3 : (x, y) ∈ σ ⊂ R 2 , 0 ≤ z ≤ f(x, y)} data je sa

Z ∆V = Z

f (x, y)dxdy.

Neka je f (x, y) ≤ 0, (x, y) ∈ σ ⊆ R 2 . Ako je oblast V = {(x, y, z) ∈ R 3 : (x, y) ∈ σ ⊂R 2 ,f (x, y) ≤ z ≤ 0} onda je zapremina

Z ∆V = − Z

f (x, y)dxdy.

3.1.3 Transformacija koordinata

Neka je funkcija f : D → R, σ ⊂ R 2 , neprekidna nad ograničenom zatvorenom oblašću D xy ravni i neka je D 1 ograničena zatvorena oblast uv ravni.

Matematika 3

3.1. DVOSTRUKI INTEGRAL

Neka je data neprekidno diferencijabilna transformacija T jednačinama

x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) ∈ D 1

koja preslikava oblast D o

1 bijektivno na D . Ako je Jakobijan transformacije

(u, v) = = x u x J v

∂ (x, y)

y u y v 6= 0, (u, v) ∈ D 1 . onda je

∂ (u, v)

f (x, y)dxdy =

f (x(u, v), y(u, v))|J(u, v)|dudv.

Polarne koordinate

3.1.4 Primena u inženjersknim naukama

Neka je µ(x, y) gustina ploče D ⊂ R 2 u tački (x, y) ∈ D.

Masa m ploče D ⊂ R 2 data je sa

ZZ

µ (x, y)dxdy.

Težište T (x ,y

t ) ploče D ⊂ R ima koordinate ZZ

1 ZZ 1

yµ (x, y)dxdy. m

xµ (x, y)dxdy, y t =

Momenti inercije ploče D ⊂ R 2 u odnosu na ose Ox i Oy su dat je formulom ZZ

y 2 µ (x, y)dxdy, I y =

ZZ

x 2 µ (x, y)dxdy.

Moment inercije ploče D ⊂ R 2 u odnosu na koordinatni početak dat je formulom

ZZ Z

(x 2 +y 2 )µ(x, y)dxdy.

CHAPTER 3. VIŠESTRUKI INTEGRALI Matematika 3

3.2 Trostruki integral

3.2.1 Definicija trostrukog integrala

Neka je funkcija f : V → R, V ⊂ R 3 , ograničena nad V , gde je V ograničena i zatvorena oblast. Izvršimo podelu T = {V 1 ,V 2 ,...,V n } skupa V na konačan broj

skupova V i ,i = 1, . . . , n, i u svakom skupu V i izaberimo tačku M i . Skup V i ima dijametar d(V i ) i zapreminu ∆V i . Parametar podele je µ(T ) = max d (V

i ). Broj

1≤i≤n

nazivamo integralnom sumom funkcije f po podeli T i izboru tačaka M i ,i =

1, 2, . . . , n. Ako za svaku podelu T i izbor tačaka M i ,i = 1, . . . , n, postoji jedinstvena granična vrednost integralne sume s kad µ(T ) → 0 i n → ∞ onda se ta granična vrednost naziva trostruki integral funkcije f (x, y, z) nad oblašću V i označava sa

ZZ Z

ZZ Z

f (x, y, z)dV ili

f (x, y, z)dxdydz .

Kaže se da je funkcija f (x, y, z) integrabilna nad V .

3.2.2 Osobine trostrukog integrala

Neprekidna funkcija f = f (x, y, z) nad zatvorenom oblašću V je integrabilna nad V . Neka su V , V 1 ,V 2 ⊂R 3 zatvorene oblasti i neka postoje integrali RR Rf (x, y, z)dxdydz, RR

Rf (x, y, z)dxdydz, RR Rf (x, y, z)dxdydz i RR Rg (x, y, z)dxdydz . Tada važe sledeće

osobine: RR • R αf

Rf (x, y, z)dxdydz + β RR Rg (x, y, z)dxdydz,

α, β ∈ R; • RR Rf (x, y, z)dxdydz = RR Rf (x, y, z)dxdydz + RR Rf (x, y, z)dxdydz, gde je

V =V 1 ∪V 2 iV 1 iV 2 nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka. Neka su funkcije z 1 ,z 2 : σ → R, σ ⊂ R 2 , neprekidne nad skupom σ i neka je

V = {(x, y, z) ∈ R 3 : (x, y) ∈ σ, z 1 (x, y) ≤ z ≤ z 2 (x, y)}. Tada je

z Z 2 (x,y)

ZZ Z

f (x, y, z)dxdydz =

f (x, y, z)dz dxdy.

z 1 (x,y)

Zapremina ∆V tela V ⊂ R 3 data je integralom

ZZ ∆V = Z dxdydz.

Matematika 3

3.2. TROSTRUKI INTEGRAL

3.2.3 Transformacije koordinata

Neka je funkcija f : D → R, σ ⊂ R 3 , neprekidna nad ograničenom zatvorenom

oblašću D i neka je D 1 ⊆R 3 . ograničena zatvorena oblast.

Neka je data neprekidno diferencijabilna transformacija T jednačinama

x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) ∈ D 1

koja preslikava oblast D o 1 bijektivno na D o . Ako je Jakobijan transformacije ∂ (x, y, z)

J (u, v, t) =

(u, v, t) y u v y t 6= 0, (u, v, t) ∈ D o 1 , ∂

onda je ZZ Z

f (x, y, z)dxdydz =

ZZ Z

f (x(u, v, t), y(u, v, t), z(u, v, t))|J(u, v, t)|dudvdt.

Sferne koordinate

Cilindrične koordinate

x = ρ cos φ y = ρ sin φ

z =z ρ ∈ [0, ∞),

φ ∈ [0, 2π], z ∈ R.

3.2.4 Primena u inženjersknim naukama

Neka je µ(x, y, z) gustina tela V ⊂ R 3 u tački (x, y, z) ∈ V . Masa m tela V ⊂ R 3 data je sa

ZZ Z

µ (x, y, z)dxdydz.

Težište T (x ,y ,z

tt

t ) tela V ⊂ R ima koordinate

ZZ 1 Z

x t = xµ (x, y, z)dxdydz,

1 ZZ Z

y t = yµ (x, y, z)dxdydz,

1 ZZ Z

z t = zµ (x, y, z)dxdydz.

CHAPTER 3. VIŠESTRUKI INTEGRALI Matematika 3

Moment inercije tela V ⊂ R 3 u odnosu na ravan yOz dat je formulom

I yz =

ZZ Z

x 2 µ (x, y, z)dxdydz.

Moment inercije tela V ⊂ R 3 u odnosu na osu Oz dat je formulom

I z = (x 2 +y 2 )µ(x, y, z)dxdydz.

ZZ Z

Moment inercije tela V ⊂ R 3 u odnosu na koordinatni početak dat je formulom

I O = (x +y +z )µ(x, y, z)dxdydz.

ZZ Z 2 2 2

Matematika 3

3.3. ZADACI ZA VEŽBU

3.3 Zadaci za vežbu

1. Neka je data funkcija f (x, y) = x 2 y 2 i oblast σ = {(x, y) ∈ R 2 :0≤x≤

2, 0 ≤ y ≤ 1}. Izračunati po definiciji integral I = R Rf (x, y)dxdy.

Data funkcija je neprekidna nad zatvorenom oblašću σ, a samim tim i integra- bilna. Granična vrednost integralne sume, kad µ(T ) → 0, je onda jedinstvena

za svaku podelu oblasti σ i izbor tačaka. Prave x i = 2i n ,y i = 2i n ,i = 0, 1, . . . , n, vrše podelu kvadrata σ na n 2 kvadrata σ ij =[ 2(i−1) n , 2i

n ]×[ n , j n ], i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n. Površina posmatranih pravougaonika σ i i parametar podele su √

n 2 n Ako n → ∞, onda µ(T ) → 0. Izaberimo u svakom kvadratu σ j

ij tačku M ij ( 2i n , n ). R

I=

Rx 2 y 2 dxdy = lim

6 i 2 j 2 = lim 8 6 n(n+1)(2n+1) n(n+1)(2n+1)

R 2. Izračunati I = R 2 (x + y)dxdy, ako je

σ = {(x, y) ∈ R 2 : 1 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 2} .

R 5 R 2 R 5 y =2 I=

dx

2 2 1 (x 2 + y)dy = (x y+

3. Izračunati Jakobijan transformacije Dekartovih u polarne koordinate.

J(r, φ) = 2 = ρ cos φ + ρ sin φ = ρ. ∂(ρ, φ) −ρ sin φ ρ cos φ

∂(x, y)

cos φ

sin φ

4. Izračunati dvostruki integral I = R R (x 2 +y 2 )dxdy ako je

√ σ = {(x, y) ∈ R :1≤x ≤ 16, 0 < √ ≤y≤ 3x}.

CHAPTER 3. VIŠESTRUKI INTEGRALI Matematika 3

Prelaskom na polarne koordinate dobijamo

)dxdy = R 3

5. Izračunati dvostruki integral I = R R (x + y)dxdy ako je

σ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≤ x ≤ 3y, 1 ≤ x + y ≤ 3}.

Ako se uvede smena u = x y

i v = x + y onda je x = uv u+1 ,y = v u+1 , onda je

1 = v (u+1) 2 ..

− (u+1) 2 u+1

I = (x + y)dxdy =

6. Izračunati površinu figure

1, 0 ≤ x ≤ y}. Neka je

= {(x, y) ∈ R :

x = 3ρ cos φ

y = 4ρ sin φ (ρ, φ) ∈ [0, 1] × [ π 4 ,π ] onda je

∂ (x, y)

3 cos φ −3ρ sin φ = 12ρ.

4ρ cos φ i

J (ρ, φ) =

4 sin φ

dφ

12ρdρ = φ| 2 π

Matematika 3

3.3. ZADACI ZA VEŽBU

7. Izračunati površinu figure

2 2 = {(x, y) ∈ R 2 :1≤x 3 +y 3 ≤ 4}.

Neka je

x = ρ cos 3 φ

y = ρ sin 3 φ (r, φ) ∈ [0, ∞) × [0, 2π] : 1 ≤ r ≤ 8. Jakobijan uvedene transformacije je ∂ (x, y) cos 3

∆σ = 3 sin 2 φ cos 2 φdφ R rdr = 378 sin 2 φ cos 2 φdφ 189 R sin 2 2 2φdφ

1 0 0 . 189 R = 2

4 (1 − cos 4φ)dφ = 8 π.

8. Izračunati zapreminu tela

V 3 2 +y 2 ≤ 4y, −x = {(x, y, z) ∈ R 2 : 2y ≤ x −y 2 ≤ z ≤ 0}.

Oblast V je simetrična u odnosu na yz ravan, a njena projekcija na xy ravan je

2 = {(x, y) ∈ R 2 :x≤x +y 2 ≤ 2x, y ≥ 0} = {(x, y) ∈ R 2 :x 2 1 2 + (y − 1) 2 ≥ 1, x + (y − 2) ≤ 4}.

R 2 R 4 sin φ

∆V =2R (x 2 +y 2 )dxdy = 2 dφ

R 2 2 R = 120 2 1−cos 2φ

9. Izračunati zapreminu oblasti

V q 3 2 2 = {(x, y, z) ∈ R 2 :x +y +z ≤ 18, x 2 +y 2 ≤ z}.

Ako posmatramo sistem jednačina

x 2 +y 2 +z 2 = 18

x 2 +y 2 = 9

= 3, x 2 +y 2 +y 2

px 2 ⇔

px 2 2 +y z = z. ⇔

CHAPTER 3. VIŠESTRUKI INTEGRALI Matematika 3

Projekcija oblasti V na xy ravan je

= {(x, y) ∈ R 2 :x 2 +y 2 ≤ 9}. ∆V R = RR R dxdydz == R p18 − x 2 −y 2 − px 2 +y 2 dxdy

R 2π

= dφ

p18 − ρ 2 − ρ)ρdρ

2π R

R 3 2 R 2π

dφ p18 − ρ ρdρ − dφ ρ 2 dρ = 54π(

10. Odrediti težište homogene ploče oblika pravouglog trougla čije su katete jednake 2 i 3.

R R xρdD 3 R xdD Z 2 Z 2 x

Znači T ( 4 3 , 1).

11. Izračunati I = RR R

2 (2x − y + 3z 3 )dxdydz ako je V = {(x, y, z) ∈ R :0≤

dx (2x − y + 19)dy

R 2 1 y =4

(2x + 19)y − 2 y 2 y =1 dx

(4x − 99

2 )dx

x 2 − 99 2 x )| 0 dx = −95.

12. Izračunati I = RR R ydxdydz, ako je

V 3 2 = {(x, y, z) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, 1 ≤ z ≤ 5 − x −y }.

Matematika 3

3.3. ZADACI ZA VEŽBU

5−x 2 R −y 2

I =R R dxdy

dz,

z =R =5−x2−y2 R yz|

(4 − x 2 −y 2 )dxdy

13. Izračunati I = RR R (x + y)dxdydz, ako je

V = {(x, y, z) ∈ R 3 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, 1 ≤ z ≤ 4 − x − y}.

Projekcija date oblasti na xy-ravan je σ

= {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, 1 ≤ 4 − x − y} = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, x + y ≤ 3}.

4−x−y R

I =R R dxdy

dz,

1 z =4−x−y

=R (x + y)z| z =1

dxdy

σ R = 1 2 R (x + y)y(4 − x − y)dxdy

= dx 0 (4xy + 4y −x y − 2xy −y )dy +

dx 3−x

0 (4xy + 4y −x y − 2xy −y )dy

2 R y =3−x =

2 3 12 2x(3 − x)

14. Izračunati zapreminu oblasti

V q 3 2 = {(x, y, z) ∈ R 2 :1≤x +y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y, x 2 +y 2 ≤z≤2 x 2 +y 2 }.

CHAPTER 3. VIŠESTRUKI INTEGRALI Matematika 3

2 R +y

∆V = RR R dxdydz =R

dz dxdy

x 2 +y 2

=R R px 2 +y 2 dxdy

15. Izračunati Jakobijan transformacije Dekartovih koordinata u sferne koordi- nate.

2 2 φ sin 2 2 =r 2 sin θ(− cos φ cos 2 θ − cos 2 φ cos 2 θ − sin 2 θ − sin φ sin θ) = −r 2 sin θ sin 2 θ(cos 2 φ + sin 2 φ) + cos 2 θ(sin 2 φ + cos 2

2 = −r 2 sin θ(sin 2 θ + cos 2 θ) = −r sin θ.

16. Izračunati zapreminu lopte

V = {(x, y, z) ∈ R 3 2 2 :x 2 +y +z ≤ 25} pomoću trostrukog integrala.

Uvedimo sferne koordinate x = r cos φ sin θ

y = r sin φ sin θ (r, φ, θ) ∈ [0, ∞) × [0, 2π] × [0, π]. z = r cos θ

Tada iz nejednačine x 2 2 +y 2 +z ≤ 25 dobijamo

2 cos 2 2 2 2 2 2 r 2 φ sin θ+r sin φ sin θ+r cos θ ≤ 25 ⇔

2 r 2 2 sin θ(cos 2 φ + sin

φ) + r 2 cos 2 θ ≤ 25 ⇔

r 2 sin 2 θ+r 2 cos 2 θ ≤ 25 ⇔ r 2 ≤ 25.

Kako je r ≥ 0, to je 0 ≤ r ≤ 5, dok za φ i θ ne postoje dodatna ograničenja. Z 2π

5 500 ∆V =

Z 5 2π

1 dr = φ | ·(− cos θ) | · 3 | =

dφ sin θdθ r 2

0 0 3r 0 3.

Matematika 3

3.3. ZADACI ZA VEŽBU R 2 17. Izračunati I = RR 2 (x + y 2

4 + z 4 )dxdydz, po oblasti

4 4≤ 1}. Predjimo na uopštene sferne koordinate

V = {(x, y, z) ∈ R 3 :x 2 +y +z

x = r cos φ sin θ y = 2r sin φ sin θ (r, φ, θ) ∈ [0, 1] × [0, 2π] × [0, π]. .

z = 2r cos θ Jakobijan date transformacije je cos φ sin θ −r sin φ sin θ

r cos φ cos θ |J(r, φ, θ)| = 2 2 sin φ sin θ 2r cos φ sin θ 2r sin φ cos θ = −4r sin θ.

18. Izračunati RR R (x + y + z)dxdydz, ako je

V = {(x, y, z) ∈ R 3 : x ≤ y ≤ 2x, 1−x ≤ y ≤ 2−x, 1−x−y ≤ z ≤ 2−x−y}. Neka je u = y

x , v = x + y i t = x + y + z. Jakobijan uvedene transformacije je

1 − x 2 x 0 1 J(u, v, t) =

∂(x, y, z)

= ∂(u,v,t) =

∂(u, v, t)

x+y

∂(x,y,z)

(1 + y x ) 2 =− (u + 1) 2 . Tada je ZZ Z

=− v

x+y

(x+y) 2 =−

x+y

3 (x + y + z)dxdydz =

du

2 vdv (u + 1) tdt = 8.

19. Naći težište homogenog tela gustine µ(x, y, z) = 1 koje zauzima oblast

3 2 2 2 2 2 V = {(x, y, z) ∈ R 2 :x +y ≥z ,x +y +z ≤ 4, z ≥ 0}.

CHAPTER 3. VIŠESTRUKI INTEGRALI Matematika 3

Ako se uvedu sferne koordinate, onda je

(r, φ, θ) ∈ [0, 2] × [0, 2π] ×

4, 2 Masa tela je

Koordinate težišta su

R 2π

1 RR

R xdxdydz = 1 m 3 m cos φdφ sin 2 θdθ r dr = 0,

RR

R ydxdydz = m sin φdφ sin

R zdxdydz = m dφ sin θ cos θdθ r dr = √ .

20. Naći moment inercije homogenog tela gustine µ(x, y, z) = 1 koje zauzima oblast

V = {(x, y, z) ∈ [0, ∞) × [0, ∞) × [0, ∞) :; x+ y+ z ≤ 2} u odnosu na z osu.

Neka je

4 x = r cos 4 φ sin θ

4 y = r sin 4 φ sin θ (r, φ, θ) ∈ [0, 4] × [0, 2π] × [0, π]. . z = r cos 4 θ

2 sin 3 3 Jakobijan date transformacije je J(r, φ, θ) = −16r 7 φ cos φ sin θ cos 3 θ. Tada je,

= RR (x 2 +y )dxdydz

R 2 R 2 R 4 = 16 sin 3 3 φ(cos 8 8 φ cos 15 φ + sin φ)dφ cos 3 θ sin θdθ r 4 dr .

Chapter 4

Krivolinijski i površinski integral

4.1 Krivolinijski integral

4.1.1 Krive

Skup L ⊂ R 3 je gladak Žordanov luk ili prosta glatka kriva ako postoji interval [a, b] i vektorska funkcija ~r : [a, b] → R 3 za koje važi

(a) L = {~r(t) : t ∈ [a, b]} = {(x(t), y(t), z(t)) ∈ R 3 : t ∈ [a, b]}; (b) ~r je bijektivno preslikavanje skupa I na L (zbog injektivnosti, kriva ne preseca

samu sebe) ; (c) ~r je neprekidno diferencijabilna;

(d) ~r ′ (t) 6= ~0, tj. (˙x(t), ˙y(t), ˙z(t)) 6= (0, 0, 0) za svako t ∈ [a, b]. Kažemo da je tada sa

~r(t) = x(t)~ı + y(t)~ + z(t)~k, t ∈ [a, b]

tj. sa

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b]

data glatka parametrizacija krive L. Skup L ⊂ R 3 je po delovima glatka kriva ako je

L=L 1 ∪L 2 ∪...∪L n ,

gde su L 1 ,L 2 ,...,L n glatke krive i svaki par L i ,L j , za i 6= j, može imati najviše konačno mnogo zajedničkih tačaka.

Ako je ~r(a) = ~r(b) kažemo da je kriva L zatvorena. Inače, L ima rubove A = ~r(a)

i ~r(b). Putanja ili prosta po delovima glatka kriva je po delovima glatka kriva sa osobi-

nom da za svako t 1 ,t 2 ∈ (a, b) iz t 1 6= t 2 sledi (x(t 1 ), y(t 1 ), z(t 1 )) 6= (x(t 2 ), y(t 2 ), z(t 2 )) (kriva ne preseca samu sebe na (a, b)). Kažemo da je tada sa x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ I, data glatka parametrizacija putanje L.

CHAPTER 4. KRIVOLINIJSKI I POVRŠINSKI INTEGRAL Matematika 3

4.1.2 Orijentacija glatke krive

Moguće su dve orijentacje glatka krive L u odnosu na datu parametrizaciju:u smeru rasta parametra t i u smeru opadanja parametra t. Orijentacija krive u smeru rasta parametra može za neku drugu parametrizaciju biti smer opadanja parametra.

Po delovima glatka kriva se orijentiše tako da glatki delovi budu saglasno ori- jentisani, što znači da se kraj jednog glatkog dela nadovezuje na početak sledećeg. Ako je L kriva u ravni, onda kažemo da je negativna orijentacija u smjeru kretanja kazaljke na satu, a pozitivna suprotno od kretanja kazaljke na satu.

4.1.3 Definicija krivolinijskog integrala skalarnog polja

Neka je funkcija f : D → R, D ⊆ R 3 , skalarno polje i L ⊂ D glatka kriva data parametrizacijom

~r (t) = (x(t), y(t), z(t), t ∈ [a, b] tj. x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b].

Ako je funkcija (f ◦ ~r)| d~r dt | integrabilna na intervalu [a, b] onda je krivolinijski integral skalarnog polja (prve vrste) f duž krive L, u oznaci R f (~r)dl, definisan sa

f (~r)dl =

(f (~r))| d~r(t)

dt |dt

f (x(t), y(t), z(t)) p(˙x(t)) 2 + (˙y(t)) 2 + (˙z(t)) 2 dt.

Element dužine luka krive je

d~r (t)

dl q = (˙x(t)) 2 + (˙y(t)) 2 + (˙z(t)) 2 dt.

dt Ako je L = L 1 ∪...∪L n po delovima glatka kriva, onda je Z

f (~r)dl =

f (~r)dl + . . . +

f (~r)dl.

4.1.4 Osobine

Neka za funkcije f , g : D → R, D ⊆ R 3 i putanju L ⊂ D postoje integrali R f (~r)dl i

R g (~r)dl. Tada važi:

(αf (~r) + βg(~r))dl = α Z

f (~r)dl + β

g (~r)dl, α, β ∈ R;

Matematika 3

4.1. KRIVOLINIJSKI INTEGRAL

Krivolinijski integral prve vrste ne zavisi od orijentacije krive. Neka je f : D → R, D ⊆ R 3 , nenegativna neprekidna funkcija na putanji L ⊂ D.

Površina cilindrične površi S = {(x, y, z) ∈ R 3 : (x, y) ∈ L, 0 ≤ z ≤ f(x, y)} je

∆S = Z

f (x, y)dl.

Dužina ∆l putanje L ⊂ R 3 je

∆l = Z dl.

Ako je L ⊂ R 3 komad žice i ako je linearna gustina ρ žice L poznata u svakoj tački ~r onda je

ρ (~r)dl

masa žice L.

4.1.5 Definicija krivolinijskog integrala vektorskog polja

Neka je ~ F = (P, Q, R) vektorsko polje i L ⊆ D orijentisana glatka kriva data sa ~r (t) = (x(t), y(t), z(t)). Ako je funkcija ~ F (~r) · d~r dt integrabilna na intervalu [a, b], tada odredjeni integral

d~r (t)

F ~ (~r) · d~r =

(~r(t)) ·

dt

dt

zovemo krivolinijski integral vektorskog polja ~ F (druge vrste) po L od tačke A = ~r(a) do tačke B = ~r(b). Ako je L = L 1 ∪...∪L n po delovima glatka kriva, onda je

F ~ · d~r =

F ~ · d~r + . . . +

F ~ · d~r,

gde su glatke krive L 1 ,...,L n saglasno orijentisane. U ravni. Ako je ~ F = (P, Q) vektorsko polje i L ⊆ D orijentisana glatka kriva data

sa ~r(t) = (x(t), y(t)), onda je Z

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = P (x(t), y(t))˙x(t) + Q(x(t), y(t))˙y(t) dt.

CHAPTER 4. KRIVOLINIJSKI I POVRŠINSKI INTEGRAL Matematika 3

4.1.6 Osobine krivolinijskog integrala

Neka je L ⊆ D orijentisana glatka kriva, ~F i ~G su vektorska polja definisane na D i postoje integrali R F ~

· d~r i R G ~ · d~r. Tada važi

α~ F · d~r + β ~ G · d~r =α

F ~ · d~r + β

G ~ · d~r, α, β ∈ R.

Krivolinijeski integral druge vrste zavisi od orijentacije krive, tj.

F ~ · d~r = −

F ~ · d~r.

L(AB)

L(BA)

Rad polja ~ F duž luka L je krivolinijski integral R F ~ ·d~r. Rad polja ~ F duž zatvorene

krive L naziva se cirkulacija vektorskog polja ~ F.

4.1.7 Nezavisnost krivolinijskog integrala vektorskog polja od putanje

Definicija 4.1.1 Kažemo da krivolinijski integral po koordinatama ne zavisi od putanje ako je njegova vrednost ista za sve putanje koje povezuju početnu i krajnju tačku.

Teorema 4.1.1 Sledeća tvrdjenja su medjusobno ekvivalentna (a) Krivolinijski integral R F ~ · d~r, (AB) ⊂ D, ne zavisi od putanje integracije,

L(AB)

nego samo od tačaka A i B. (b) Postoji skalarna (realna) funkcija f takva da je ~ F = ∇f. (c) ∇ × ~F = 0, tj. H ~ L F · d~r = 0 za svaku zatvorenu krivu L ⊂ D. Teorema 4.1.2 Neka su u zadate neprekidne funkcije P i Q koje imaju neprekidne

parcijalne izvode P y iQ x u otvorenoj jednostruko povezanoj oblasti D ⊆ R 2 . Potreban

i dovoljan uslov da integral R Pdx + Qdy, (AB) ⊂ D, ne zavisi od putanje je da je

(AB)

ispunjena jednakost

P y =Q x .

Dokaz. Teorema 4.1.3 Neka su u otvorenoj jednostruko povezanoj oblasti D ⊆ R 3 zadate neprekidne funkcije P, Q i R, koje imaju neprekidne parcijalne izvode P y ,P z ,Q z ,Q x ,

R R x ,R y . Potreban i dovoljan uslov da integral Pdx + Qdy + Rdz, (AB) ⊂ D, ne

(AB)

zavisi od putanje (AB), jeste da su ispunjene jednakosti

P y =Q x ,Q z =R y ,R x =P z .

Matematika 3

4.2. POVRŠINSKI INTEGRAL

4.1.8 Formula Grina

Teorema 4.1.4 Neka je σ ⊂ R 2 zatvorena oblast ograničena zatvorenompo delovima glatkom krivom bez samopresecanja L. Ako su funkcije P, Q, P y iQ x neprekidne nad

σ i ako je kriva L orijentisana tako da tačke oblasti σ ostaju sa leve strane kada se L obilazi u datom smeru, tada važi

Pdx + Qdy =

(Q x −P y )dxdy.

Sledeća teorema pokazuje da formula Grina važi i u slučaju kada je σ višestruko povezana oblast.

Teorema 4.1.5 Neka je σ ⊂ R 2 zatvorena višestruko povezana oblast ograničena unijom zatvorenih po delovima glatkih krivih bez samopresecanja L 1 ∪...∪L n . Ako

su funkcije P, Q, P y iQ x neprekidne nad σ i ako je kriva L orijentisana tako da taČke oblasti σ ostaju sa leve strane kada se L obilazi u datom smeru, tada važi jednakost

Pdx + Qdy =

(Q x −P y )dxdy.

i=1 L i

Površina figure σ ⊂ R 2 ograničene zatvorenom putanjom L je

2 (xdy − ydx).

4.2 Površinski integral

4.2.1 Površi

Definicija 4.2.1 Skup S ⊂ R 2 je Žordanova površ ako postoje oblast D ⊆ R i funkcije x, y, z : D → R za koje važi

(a) S = {~r(u, v) : (u, v) ∈ D} = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ R 3 : (u, v) ∈ D}; (b) x, y i z su bijekcije skupa D na S.

Kažemo da je S ∗ = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : (u, v) ∈ D ∗ } ivica (rub) površi S, gde je D ∗ rub oblasti D.

Definicija 4.2.2 Žordanova površ S = {~r(u, v) : (u, v) ∈ D} je glatka ako važi (a) ∂~r i ∂~r ∂u ∂v su neprekidne funkcije

(b) ∂~r ∂u × ∂~r ∂v 6= 0

CHAPTER 4. KRIVOLINIJSKI I POVRŠINSKI INTEGRAL Matematika 3

Uslov (b) ekvivalentan je uslovu x u x v

z u z v u oblasti D.

uv

Kažemo da je sa

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ D

data glatka parametrizacija površi S. Specijalni slučaj je površ eksplicitno zadata jednačinom z = z(x, y), (x, y) ∈ D.

Za ovako zadatu površ je

x = u, y = v, z = z(u, v), (u, v) ∈ D.

Ako su izvodi z x iz y neprekidni, onda je površ glatka. Definicija 4.2.3 Za Žordanovu površ se kaže da je po delovima glatka, ako se S može

podeliti na konačno mnogo glatkih površi S i ,i = 1, . . . , n tako da je S = ∪ n i=1 S i i za i 6= j S i ∩S j je ili prazan skup ili kriva koja pripada zajedničkoj ivici površi S i i S j .

4.2.2 Orijentacija Žordanove površi

Neka je data glatka površ S i tačka M ∈ S i neka je L ⊆ S proizvoljna zatvorena kriva koja prolazi kroz tačku M. Postavimo u tačku M vektor normale i neprekidno

ga pomerajmo u istom smeru duž krive L. Ako se vektor normale vrati u tačku M sa istim smerom normale (za svaku proizvoljno izabranu krivu L), onda se površ S ima dve neprekidne glatke orijentacije, tj. S je dvostrana površ.