Matriks dan Vektor dalam Aljabar Max-plus

dan kolom ke- dinotasikan oleh atau [ dengan dan . Matriks A dapat direpresentasikan sebagai berikut. [ ] Penjumlahan matriks, perkalian skalar dengan matriks, perkalian antar matriks, serta transpose matriks dapat didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.5 Diberikan matriks . Elemen ke- dari adalah : [ Dengan dan . Definisi 2.6 Diberikan matriks dan . Elemen ke- dari ⨂ adalah : [ ⨂ ⨂ Dengan dan Definisi 2.7 Diketahui , , elemen ke- dari ⨂ adalah : [ ⨂ ⨂ Dengan dan Definisi 2.8 Diberikan matriks , Elemen ke- dari adalah : [ Dengan dan Contoh 2.4 Diberikan matriks , maka : 1. [ ] 2. ⨂ ⨂ ⨂ ⨂ ⨂ ⨂ 3. ⨂ ⨂ [ ] 4. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Teorema 2.1 Rudhito, 2016 Pernyataan-pernyataan berikut berlaku untuk sebarang skalar dan dan sebarang matriks dan asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi. 1. 2. A 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Selanjutnya akan dibuktikan teorema nomor 4, sedangkan bukti yang lain langsung mengikuti definisi operasi dan sifat-sifat operasi dalam . Bukti : Diambil sebarang . Unsur ke- matriks adalah [ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI [ [ Definisi 2.9 Rudhito, 2016 Didefinisikan matriks dengan { Definisi 2.10 Rudhito, 2016 Didefinisikan matriks dengan , untuk setiap dan . Definisi 2.11 Rudhito, 2016 Untuk sebarang didefinisikan . Definisi 2.12 Schutter, 1996 dalam Rudhito, 2016 Diberikan suatu matriks . Skalar disebut nilai eigen max-plus matriks A jika terdapat suatu vektor dengan sehingga . Vektor tersebut disebut vektor eigen max-plus matriks yang bersesuaian dengan . Teorema 2.2 Diberikan suatu matriks . Jika adalah nilai eigen matriks di , maka merupakan bobot rata-rata suatu sirkuit dalam PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Bukti : Misalkan adalah nilai eigen matriks di , maka untuk setiap berlaku dengan . Akibatnya terdapat suatu indeks sehingga dengan . Karena dan maka dan . Karena maka terdapat suatu indeks sedemikian rupa sehingga . Karena dan maka dan . Demikian seterusnya dengan cara yang sama seperti di atas, maka diperoleh suatu barisan sehingga dengan dan untuk Karena banyak titik dalam graf berhingga, maka terdapat suatu dan sehingga Akibatnya diperoleh suatu sirkuit ̃. Misalkan ̃ adalah , , , sehingga diperoleh . Karena operasi di bersifat komutatif maka diperoleh atau atau . Hal ini berarti merupakan bobot rata-rata sirkuit ̃. Selanjutnya akan dibahas semimodul atas dan relasi urutan di dalamnya. Dalam Rudhito, 2016 , semimodul atas didefinisikan sebagai berikut. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Definisi 2.13 Misalkan adalah semiring komutatif dengan elemen netral 0 dan elemen identitas1. Semimodul M atas S adalah semigrup komutatif bersama operasi perkalian skalar • : , dituliskan sebagai yang memenuhi aksioma berikut. , berlaku : i , ii , iii , iv v Elemen dalam semimodul disebut vektor. Contoh 2.5 Diberikan [ | . Untuk setiap dan untuk setiap didefinisikan operasi dengan [ dan operasi perkalian skalar • dengan [ . Dari teorema 2.1 1 dan 2 terlihat bahwa merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral [ . Selanjutnya dengan memperhatikan teorema 2.1 10, 9, dan 7 dapat disimpulkan bahwa merupakan semimodul atas . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Definisi 2.14 Wohlgemuth,1990 dalam Rudhito 2016 Relasi pada himpunan disebut urutan parsial pada jika untuk semua berlaku : i Sifat refleksif, yaitu ii Sifat antisimetris, yaitu : jika dan , maka . iii Sifat transitif, yaitu : jika dan , maka . Elemen dan dikatakan komparabel comparable jika atau . Penulisan dapat ditulis juga dengan . Jika dan akan dituliskan dengan . Definisi 2.15 Wohlgemuth 1990 dalam Rudhito, 2016 Urutan parsial pada himpunan disebut urutan total pada jika setiap dua elemen dalam komparabel. Teorema 2.3 Rudhito, 2016 Jika semigrup komutatif idempoten maka relasi yang didefinisikan pada dengan merupakan urutan parsial pada . Bukti : Diambil sebarang . i Karena berlaku sifat idempoten maka . ii Jika dan maka dan . Karena berlaku sifat komutatif maka diperoleh . iii Jika dan maka dan . Dari sini karena berlaku sifat asosiatif maka . Dengan demikian . Akibat 2.1 Relasi yang didefinisikan pada dengan merupakan urutan parsial pada . Lebih lanjut relasi ini merupakan urutan total pada . Bukti : Karena merupakan semigrup komutatif idempoten, maka menurut teorema 2.2 relasi yang didefinisikan pada di atas merupakan urutan parsial pada . Selanjutnya diambil maka berlaku atau . Akibat 2.2 Relasi yang didefinisikan pada dengan untuk setiap dan , merupakan urutan parsial pada . Bukti : Dengan menggunakan teorema 2.1 1, 2, dan 11 dapat dilihat bahwa merupakan semigrup komutatif idempoten, sehingga menurut teorema 2.2 relasi yang didefinisikan pada di atas merupakan urutan parsial. Akibat 2.3 Relasi yang didefinisikan pada dengan untuk setiap , merupakan relasi urutan parsial pada . Bukti : Karena merupakan semigrup komutatif idempoten maka relasi yang didefinisikan pada merupakan urutan parsial pada Relasi yang didefinisikan pada bukan merupakan urutan total, karena terdapat dan dengan . Sehingga dan . Demikian juga dengan relasi yang didefinisikan pada bukan merupakan urutan total, karena terdapat vektor [ dan [ dengan [ [ [ . Dengan demikian dan . Teorema 2.4 Diberikan matriks . Jika dengan maka . Bukti : Diambil sebarang dengan maka . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

D. Teori Graf dalam Aljabar Max-plus

Graf didefinisikan sebagai suatu pasangan V, E dengan V adalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik vertices dan E adalah suatu himpunan pasangan takterurut titik-titik. Anggota E disebut rusuk edges. Suatu graf berarah didefinisikan sebagai suatu pasangan V, A dengan V adalah suatu himpunan titik-titik dan A adalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik. Anggota A disebut busur arc. Untuk busur disebut titik awal busur dan w disebut titik akhir busur. Suatu loop adalah busur . Jika suatu graf disajikan dalam gambar, titik digambarkan sebagai noktah yang diberi label dengan nama titik yang diwakilinya. Rusuk digambarkan sebagai kurva atau ruas garis yang menghubungkan noktah- noktah yang bersesuaian pada rusuk atau loop. Busur digambarkan sebagai kurva atau ruas garis berarah yang menghubungkan noktah-noktah yang bersesuaian dengan titik awal dan titik akhir busur, dengan tanda panah pada ujungnya yang menandakan arah busur. Diberikan adalah graf berarah dengan . Suatu lintasan dalam G adalah suatu barisan berhingga busur dengan A untuk suatu l N dan k = 1, 2, ... , l 1 Wilson,1972. Lintasan ini direpresentasikan dengan  ...  . Titik disebut titik awal lintasan dan titik disebut titik akhir lintasan. Untuk suatu lintasan , panjang lintasan didefinisikan sebagai banyak busur yang menyusun dan dinotasikan dengan | | . Diberikan graf berarah G = V, A dengan V = {1, 2, ... , p}. Graf berarah G dikatakan berbobot jika setiap busur j, i A dikawankan dengan suatu bilangan real . Bilangan real disebut bobot busur j, i, dinotasikan dengan wj, i. Dalam penyajiannya dengan gambar untuk graf berarah berbobot, busur diberi label dengan bobotnya. Dari pengertian graf berbobot ini, setiap matriks A  bersesuaian dengan suatu graf berarah berbobot seperti diberikan dalam definisi berikut. Definisi 2.16 Graf bobot, Schutter 1996 Diberikan . Graf bobot dari A adalah graf berarah berbobot dengan dan | Contoh 2.6 Diberikan [ ]. Graf bobot dari A adalah graf berarah berbobot dengan dan }. Perhatikan sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot selalu dapat didefinisikan suatu matriks dengan : {

E. Sistem Persamaan Linear dalam Aljabar Max-plus

Menurut Rudhito, 2016, secara umum terdapat dua bentuk sistem persamaan linear SPL max-plus yaitu SPL max-plus input output dan SPL