Optimasi Definisi dan Sifat-sifat Aljabar Max-plus

i merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral 0, yaitu memenuhi , ii adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu memenuhi iiiSifat penyerapan elemen netral 0 terhadap operasi yaitu memenuhi iv Operasi distributif terhadap yaitu berlaku . Contoh 2.1 Diberikan dengan adalah himpunan semua bilangan real dan . Pada didefinisikan operasi dan , sehingga berlaku : . Selanjutnya akan ditunjukkan merupakan semiring dengan elemen netral dan elemen satuan . Bukti : merupakan semiring karena untuk setiap berlaku : 1. komutatif, asosiatif, dan memiliki elemen netral a. b. c. 2. asosiatif dan memiliki elemen identitas a. b. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 3. Sifat penyerapan elemen netral terhadap operasi 4. Operasi distributif terhadap a. b. Definisi 2.2 Suatu semiring dikatakan komutatif jika operasi bersifat komutatif, yaitu berlaku . Definisi 2.3 Suatu semiring dikatakan idempoten jika operasi bersifat idempoten, yaitu berlaku . Menurut Baccelli, et.al 2001 dalam Rudhito 2016:14 istilah semiring idempoten disebut dioid. Contoh 2.2 Semiring merupakan semiring komutatif yang sekaligus idempoten. Bukti : berlaku : dan Definisi 2.4 Suatu semiring komutatif disebut semifield jika setiap elemen tak netralnya mempunyai invers terhadap operasi yaitu Contoh 2.3 Semiring komutatif merupakan semifield. Bukti : terdapat – sehingga berlaku Dari contoh 2.2 dan 2.3 dapat disimpulkan bahwa merupakan semifield idempoten. Struktur aljabar disebut aljabar max-plus, yang selanjutnya cukup ditulis . Elemen-elemen dari disebut juga skalar. Rudhito, 2016

C. Matriks dan Vektor dalam Aljabar Max-plus

Himpunan matriks berukuran dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan untuk . Elemen pada baris ke- dan kolom ke- dinotasikan oleh atau [ dengan dan . Matriks A dapat direpresentasikan sebagai berikut. [ ] Penjumlahan matriks, perkalian skalar dengan matriks, perkalian antar matriks, serta transpose matriks dapat didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.5 Diberikan matriks . Elemen ke- dari adalah : [ Dengan dan . Definisi 2.6 Diberikan matriks dan . Elemen ke- dari ⨂ adalah : [ ⨂ ⨂ Dengan dan Definisi 2.7 Diketahui , , elemen ke- dari ⨂ adalah : [ ⨂ ⨂ Dengan dan