Diberikan graf berarah G = V, A dengan V = {1, 2, ... , p}. Graf berarah G dikatakan berbobot jika setiap busur j, i
A dikawankan dengan suatu bilangan real
. Bilangan real disebut bobot busur j, i,
dinotasikan dengan wj, i. Dalam penyajiannya dengan gambar untuk graf berarah berbobot, busur diberi label dengan bobotnya. Dari pengertian graf
berbobot ini, setiap matriks A
bersesuaian dengan suatu graf berarah
berbobot seperti diberikan dalam definisi berikut.
Definisi 2.16 Graf bobot, Schutter 1996
Diberikan . Graf bobot dari A adalah graf berarah berbobot
dengan dan |
Contoh 2.6
Diberikan [
].
Graf bobot dari A adalah graf berarah berbobot dengan
dan }. Perhatikan sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot
selalu dapat didefinisikan suatu matriks
dengan : {
E. Sistem Persamaan Linear dalam Aljabar Max-plus
Menurut Rudhito, 2016, secara umum terdapat dua bentuk sistem persamaan linear SPL max-plus yaitu SPL max-plus input output dan SPL
max-plus iteratif. Pada bagian ini hanya akan dibahas terkait SPL max-plus input-output. Bentuk umum dari sistem persamaan linear max-plus input
output adalah : dimana
, dan .
Untuk mencari solusi dari persamaan tersebut terlebih dulu dapat dicari sub penyelesaiannya.
Definisi 2.17 Rudhito, 2016
Diberikan dan
. Vektor disebut suatu sub
penyelesaian sistem persamaan linear jika vektor tersebut
memenuhi .
Sub penyelesaian selalu ada, karena untuk [
selalu berlaku :
Definisi 2.18
Sub penyelesaian ̂ dari sistem disebut sub penyelesaian terbesar
sistem jika
̂ untuk setiap subpenyelesaian dari sistem .
Teorema 2.5
Diberikan dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya
sama dengan dan
. Sub penyelesaian terbesar ada dan
diberikan oleh ̂ dengan
̂
untuk setiap dan .
Bukti : Perhatikan bahwa:
A
x
m
b
{ ⨂
⨂ ⨂
⨂ ⨂
⨂ ⨂
⨂ ⨂
⨂
⨂
Karena unsur setiap kolom matriks A tidak semuanya sama dengan , maka
untuk setiap j selalu ada i sehingga
yang berarti ada. Mengingat untuk
setiap berlaku
dan maka koefisien- koefisien
tidak akan berpengaruh pada nilai A x. Sehingga berlaku:
Jadi subpenyelesaian sistem di atas adalah setiap vektor yang
komponen-komponennya memenuhi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jika vektor
̂ [ ̂ ̂
̂ didefinisikan
dengan ̂
untuk setiap maka diperoleh :
̂
̂ ̂
⨁ ̂
̂
Jadi vektor
̂ tersebut merupakan subpenyelesaian sistem . Karena
– ̂
maka ̂
. Akibatnya ̂.
Jadi vektor ̂ tersebut merupakan subpenyelesaian terbesar sistem
Dengan demikian untuk menyelesaikan sistem persamaan pertama-tama dihitung subpenyelesaian terbesar kemudian diperiksa apakah
subpenyelesaian terbesar itu memenuhi sistem persamaan atau tidak. Untuk mempermudah perhitungan subpenyelesaian terbesar
dapat digunakan cara berikut ini :
̂ [ ̂
̂ ̂
]
[ ]
[ ]
[ ]
Jadi untuk menghitung subpenyelesaian terbesar dari sistem persamaan terlebih dulu dapat dicari ̂
Jika sistem
persamaan linear
max-plus mempunyai
subpenyelesaian terbesar yang bukan merupakan penyelesaian, maka sistem persamaan linear max-plus tersebut tidak memiliki penyelesaian. Hal ini
ditunjukkan sebagai berikut. Andaikan
̅ adalah penyelesaian sistem linear max-plus yang berarti
̅ untuk setiap
. Misal sistem persamaan linear max-plus
mempunyai subpenyelesaian terbesar ̂ yang bukan merupakan penyelesaian, yang berarti terdapat
sehingga ̂
. Karena ̅ juga merupakan subpenyelesaian, maka
̅ ̂. Akibatnya menurut teorema 2.3 berlaku ̅
̂ yang berarti
̅ ̂
untuk setiap . Hal ini berakibat
terdapat sehingga ̅
̂ yang
kontradiksi dengan pengandaian di atas. Rudhito, 2016. Teorema 2.6 Zimmermann dalam Rudhito, 2016
Andaikan ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem vektor
merupakan subpenyelesaian sistem jika dan hanya jika
̂.
Bukti :
i. Andaikan
̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem
Jika vektor merupakan subpenyelesaian sistem maka
̂. Hal ini terbukti benar sesuai dengan definisi subpenyelesaian terbesar.
ii. Andaikan ̂. Mengingat operasi pada matriks konsisten
terhadap urutan dan ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem
, maka berlaku ̂
. Jadi yang berarti
merupakan subpenyelesaian sistem iii. Karena i dan ii benar, maka teorema tersebut terbukti benar.
Teorema 2.7 Zimmermann dalam Rudhito, 2016
Sistem mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika ̂
dimana vektor ̂ adalah subpenyelesaian terbesar dari sistem .
Bukti :
i. Akan dibuktikan jika ̂
dimana vektor ̂ adalah subpenyelesaian terbesar dari sistem
maka sistem mempunyai penyelesaian. Andaikan ̂
. Karena ̂ adalah subpenyelesaian terbesar dari sistem
maka berlaku ̂
Mengingat berlaku ̂ dan ̂
maka ̂ sehingga ̂ merupakan penyelesaian . Jadi
terbukti benar mempunyai penyelesaian.
ii. Akan dibuktikan jika mempunyai penyelesaian maka
̂ dimana vektor ̂ adalah subpenyelesaian terbesar dari
sistem . Andaikan mempunyai penyelesaian
yaitu vektor , maka atau
dan .
Terlihat bahwa merupakan subpenyelesaian sistem .
Dikarenakan ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem
maka berlaku ̂. Mengingat operasi pada matriks konsisten
terhadap urutan maka berlaku ̂
. Jadi ̂
iii. Karena i dan ii benar maka teorema tersebut terbukti benar.
Akibat 2.4 Schutter dan Boom dalam Rudhito,2016
Diberikan dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya
sama dengan , dan
. Jika ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem
persamaan linear max-plus maka untuk setiap indeks
terdapat suatu indeks sedemikian hingga ̂
.
Bukti :
Karena ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus
maka menurut teorema 2.4 ̂ untuk setiap
dengan . Hal ini berarti untuk setiap indeks
terdapat suatu indeks sedemikian hingga ̂
atau ̂
.
Definisi 2.19
Diberikan [
. Didefinisikan ‖ ‖
| |
untuk PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema 2.8 Schutter dan Boom dalam Rudhito, 2016
Diberikan dengan komponen setiap kolomnya tidak semuanya
sama dengan dan
. Vektor ̂
dengan ̂ subpenyelesaian
terbesar sistem dan ‖ ̂‖
, merupakan vektor yang meminimalkan
‖ ‖ . Selanjutnya
‖ ‖
.
Bukti :
Misalkan ̂ subpenyelesaian terbesar sistem .
i. Jika ̂ merupakan penyelesaian sistem , maka ‖
̂‖ |
̂ | Akibatnya, ̂ meminimalkan ‖
‖ .
ii. Jika ̂ bukan penyelesaian sistem maka ‖ ̂‖
| ̂
| . Karena
̂ maka
| ̂
| ̂
. Himpunan indeks yaitu
dapat dipartisi menjadi tiga himpunan dan sedemikian hingga :
̂ untuk semua
̂ untuk semua
̂ untuk semua , dengan
Karena ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem maka
menurut akibat 2.4 untuk setiap indeks terdapat suatu
indeks sedemikian sehingga
̂ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Akibatnya tidak kosong. Karena ̂ bukan merupakan penyelesaian sistem
, maka terdapat suatu indeks sehingga |
̂ |
. Akibatnya himpunan juga tidak kosong. Sementara himpunan dapat kosong ataupun tidak kosong. Menurut teorema 2.3 untuk setiap
̂ berlaku
̂ yang berakibat |
̂ |
| |
untuk setiap ̂. Dengan memperhatikan
teorema 2.1 6 dan 8 diperoleh bahwa untuk sebarang berlaku
̂ ̂ . Jika , maka ̂ ̂ , yang berakibat
| ̂
| untuk
skalar positif . Didefinisikan
̂ , dengan . Karena
̂ ̂
, maka diperoleh :
Karena dan tidak kosong dan
untuk semua , maka ‖ ‖
| |
| | | | yang
mempunyai nilai minimum untuk . Jadi
̂ merupakan vektor yang meminimumkan
‖ ‖ . Selanjutnya
diperoleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
‖ ‖
| | |
|
Kemudian akan ditunjukkan bahwa tidak ada vektor yang memenuhi
‖ ‖ Misalkan terdapat vektor ̃
sedemikian hingga ‖ ̃ ‖
3.1 Didefinisikan
̃ ̂ maka ̃ ̂ . Karena ̂ merupakan subpenyelesaian terbesar sistem
maka menurut Akibat 2.4 untuk setiap
terdapat suatu indeks sedemikian
hingga ̂
. Karena
̃ ̂
̂ , maka diperoleh
̃ . Karena ketaksamaan 3.1 maka
. 3.2 untuk setiap
Karena ̂ merupakan subpenyelesaian terbesar sistem
maka terdapat suatu indeks sehingga
̂ atau
̂ .
Karena ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
Maka ̂
untuk setiap 3.3
Akibatnya : ̃
̂ Karena ketaksamaan 3.2 maka :
Jadi terdapat suatu indeks sedemikian hingga ̃
atau ̃
. Hal ini berakibat bahwa ‖
̃ ‖ yang bertentangan dengan pemisalan bahwa
‖ ̃ ‖
.
F. Penerapan Aljabar Max-plus dalam Sistem Linear Max-plus Waktu Invarian dan Sistem Produksi Sederhana
Sistem linear max-plus waktu invarian merupakan sistem kejadian diskrit yang mempunyai waktu aktifitas dan barisan kejadian yang
deterministik. Matriks dalam persamaan sistemnya merupakan matriks konstan, yaitu tidak tergantung pada parameter
. Rudhito, 2016.
Definisi 2.20 Sistem Linear Max-plus Waktu Invarian SLMI, Schutter 1996
Sistem Linear Max-plus Waktu Invarian adalah Sistem Kejadian Diskrit SKD yang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut.
untuk dengan kondisi awal
. Vektor menyatakan keadaan atau state,
adalah vektor input, dan adalah vektor output
sistem saat waktu ke- .
SLMI seperti dalam definisi diatas secara singkat dituliskan dengan SLMI dan dituliskan SLMI
jika kondisi awal diberikan.
Contoh 2.7
Diperhatikan suatu sistem produksi sederhana yang disajikan dalam gambar di atas. Sistem ini terdiri dari 3 unit pemrosesan
, ,
. Bahan baku dimasukkan ke
dan , diproses dan dikirimkan ke
. Waktu pemrosesan untuk
, , dan
berturut-turut adalah dan
satuan waktu. Diasumsikan bahwa bahan baku memerlukan satuan waktu untuk dapat masuk dari input ke
dan memerlukan satuan waktu dari produk yang telah diselesaikan di
untuk sampai di ,
sedangkan waktu transportasi yang lain diabaikan. Pada input sistem dan antara unit pemrosesan terdapat penyangga buffer, yang berturut-turut
disebut buffer input dan buffer internal, dengan kapasitas yang cukup besar untuk menjamin tidak ada penyangga yang meluap overflow. Suatu unit
pemrosesan hanya dapat mulai bekerja untuk suatu produk baru jika ia telah menyelesaikan pemrosesan produk sebelumnya.
Gambar 2.1 Contoh Sistem Produksi Sederhana
Diasumsikan bahwa setiap unit pemrosesan mulai bekerja segera setelah bahan tersedia. Didefinisikan Rudhito, 2010:
i : waktu saat bahan baku dimasukkan ke sistem untuk
pemrosesan ke- ,
ii : waktu saat unit pemrosesan ke-i mulai bekerja untuk
pemrosesan ke- ,
iii : waktu saat produk ke-k yang diselesaikan meninggalkan sistem.
Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke-
dapat ditentukan sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk
pemrosesan ke- , maka bahan mentah ini tersedia pada input unit
pemrosesan pada waktu
. hanya dapat mulai
bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-
. Waktu pemrosesan pada
adalah satuan waktu, maka produk
setengah jadi ke-k akan meninggalkan pada saat
. Hal ini dapat dituliskan dengan :
untuk Dengan alasan yang sama untuk
,
dan waktu saat produk ke-k yang diselesaikan meninggalkan sistem, diperoleh:
untuk
Menggunakan operasi Aljabar Max-plus, persamaan-persamaan dalam model sistem produksi sederhana di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
Jika dituliskan dalam bentuk matriks persamaan di atas menjadi : [
] [ ]
[ untuk dan [
. Hasil di atas dapat juga dituliskan dengan: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
untuk ,
dengan [
, keadaan awal ,
[ ]
[ ]
, dan [
.
Analisis Input-Output Sistem Linear Max-plus Waktu-Invariant
Jika kondisi awal dan suatu barisan input diberikan untuk suatu SLMI , maka secara rekursif dapat ditentukan suatu barisan vektor
keadaan sistem dan barisan output sistem. Diperhatikan sistem produksi sederhana Gambar 2.1, misalkan
kondisi awal sistem [
yang berarti unit pemrosesan dan
berturut-turut memulai aktifitasnya saat waktu dan sementara unit
pemrosesan masih kosong dan harus menunggu datangnya input dari
dan . Bahan mentah dimasukkan sistem saat waktu
dan seterusnya yang berarti diberikan barisan input
, dan seterusnya, dengan untuk setiap
Secara rekursif dapat ditentukan barisan vektor keadaan berikut.
[ ] [
] [ ]
[ ] [
] [ ]
[ ] [
] [ ]
[ ] [
] [ ]
[ ] [
] [ ]
[ ] [
] [ ]
[ ] [
] [ ]
[ ] [
] [ ] dan seterusnya.
Kemudian diperoleh barisan output sistem sebagai berikut dengan menggunakan
3 :
dan seterusnya. Hal ini berarti bahwa produk dapat diambil saat 16, 22, 28, 35, dan seterusnya.
Teorema 2.9 Input-Output SLMI
Diberikan suatu
bilangan bulat
positif Jika vektor output
[ dan vektor input
[ pada
SLMI maka :
dengan
[ ] dan [
] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bukti :
Jika diberikan kondisi awal dan barisan input
dengan induksi matematika akan dibuktikan berlaku
untuk
Diperhatikan bahwa
Jadi benar untuk .
Andaikan benar untuk
Maka
Jadi benar untuk .
Akibatnya diperoleh
untuk
Diberikan suatu
bilangan bulat
positif . Jika didefinisikan
[ dan
[ maka dari
persamaan diperoleh :
Atau dalam persamaan matriks dapat dituliskan sebagai :
[ ]
[ ]
[ ] [
]
atau dengan
[ ] dan [
] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 2.8
Diberikan suatu sistem produksi seperti pada Gambar 2.1. Didefinisikan [
. Jika diberikan [
dan [
, maka diperoleh dengan
dan
Diperhatikan bahwa
Hal ini berarti bahwa jika kondisi awal [
dan bahan baku dimasukkan ke dalam sistem pada saat waktu
maka produk akan meninggalkan sistem pada saat waktu
Berikut akan dibahas masalah input paling lambat pada SLMI Masalah input paling lambat pada SLMI
adalah sebagai berikut: Diberikan suatu bilangan bulat positip
. Diketahui vektor output [
. Misalkan vektor
[ adalah
vektor input. Permasalahannya adalah menentukan vektor input u terbesar
waktu paling lambat sehingga memenuhi ,
dengan K dan H seperti dalam Teorema 2.9. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema 2.10
Diberikan SLMI dengan Jika
maka
penyelesaian masalah input paling lambat pada SLMI diberikan
oleh ̂ [ ̂ ̂ ̂
dengan ̂
.
Bukti : Karena , maka
. Akibatnya masalah input paling lambat pada SLMI
menjadi masalah menentukan vektor input
terbesar waktu paling lambat yang
memenuhi
. Masalah ini merupakan masalah menentukan
subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus .
Karena maka komponen setiap kolom matriks tidak semuanya
sama dengan . Menurut Teorema 2.5 subpenyelesaian terbesar sistem
persamaan linear max-plus
diberikan oleh vektor ̂
[ ̂ ̂ ̂ dengan
̂ .
Teorema 2.11
Diberikan SLMI dengan Jika
maka
penyelesaian masalah minimisasi simpangan ouput pada SLMI diberikan oleh
̃ ̂
⁄ , dengan ̂ merupakansubpenyelesaian terbesar
sistem
dan |
̂ |.
Bukti : Karena , maka
.
Akibatnya masalah minimisasi simpangan maksimum output ini menjadi menentukan masalah vektor input
sedemikian hingga |
̂ |
minimal. Karena maka komponen setiap kolom matriks tidak
semuanya sama dengan . Seperti masalah optimisasi yang berkaitan dengan
persamaan linear max-plus
, menurut Teorema 2.8 suatu
penyelesaian ̃ untuk masalah di atas diberikan oleh ̃ ̂
⁄ dengan ̂
merupakansubpenyelesaian terbesar
sistem
dan
| ̂
|. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Untuk mempermudah dalam perhitungan sistem, berikut diberikan list program MATLAB untuk perhitungan masalah-masalah di atas.
Program MATLAB Menghitung INPUT-OUTPUT Sistem Linear Max- plus
Waktu-Invariant Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma
input: A = matriks max-plus Anxn B = matriks nx1
C = matriks 1xn x0 = kondisi awal
u = barisan input output: xk = barisan keadaan sistem
yk = barisan output sistem function io_SLMI = maxio
Memasukkan input disp
disp INPUT-OUTPUT SLMIA, B, C, x0 disp --------------------------------
disp A = input Masukkan matriks Anxn = ;
disp B = input Masukkan matriks Bnx1 = ;
disp C = input Masukkan matriks C1xn = ;
disp x0 = input Masukkan kondisi awal x0nx1 = ;
disp u = input Masukkan barisan input sp kej ke-k ukx1 = ;
disp q = lengthu;
[a1, a2] = sizeA; L = zerosa1,q;
M = zeros1,q; L:,1= x0;
Menghitung x1 = Ax0 + Bu1 [x01, x02] = sizex0;
for i = 1 : a1 for j = 1 : x02
Ax0i, j = -Inf; for p = 1: a2
Ax0i, j = maxAx0i, j , Ai, p + x0p, j; end;
end; end;
x = maxAx0, B+u1;
Menghitung y1 = Cx1 [c1, c2] = sizeC;
[x1, x2] = sizex; for i = 1 : c1
for j = 1 : x2 Cxi, j = -Inf;
for p = 1: c2 Cxi, j = maxCxi, j , Ci, p + xp, j;
end; end;
end; L:,2= x;
M1,1= Cx; Menghitung xk+1 = Axk + Buk+1 dan Menghitung yk =
Cxk utk k=1,2,...,p Menghitung xk+1 = Axk + Buk+1
[a1, a2] = sizeA; [x1, x2] = sizex;
for r = 1 : q-1; for i = 1 : a1
for j = 1 : x2 Axi, j = -Inf;
for p = 1: a2 Axi, j = maxAxi, j , Ai, p + xp, j;
end; end;
end; x = maxAx, B+ur+1;
Menghitung yk = Cxk [c1, c2] = sizeC;
[x1, x2] = sizex; for i = 1 : c1
for j = 1 : x2 Cxi, j = -Inf;
for p = 1: c2 Cxi, j = maxCxi, j , Ci, p + xp, j;
end; end;
end;
L:,r+2= x;
M1,r+1= Cx; end;
Menampilkan hasil perhitungan disp HASIL PERHITUNGAN :
disp =================== disp Matriks A = ,dispA
disp Matriks B = ,dispB disp Matriks C = ,dispC
disp Kondisi awal x0 = ,dispx0 disp Barisan input u = ,dispu
disp Barisan vektor keadaan sistem xk utk k = 0,1, 2, ... : , dispL
disp Barisan output sistem yk utk k = 1, 2, ... : , dispM
Gambar 2.2 List Program MATLAB Input-Output SLMI
Program MATLAB Menghitung OPTIMISASI INPUT-OUTPUT Sistem Linear Max-plus Waktu-Invariant
Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma input: A = matriks max-plus Anxn
B = matriks nx1 C = matriks 1xn
x0 = kondisi awal y = barisan output
output:u_topi = barisan input paling lambat y_topi = barisan outpout untuk u_topi
u_tilde = barisan input minimum simpangan y_tilde = barisan output untuk u_tilde
function opt_input_output = optio Memasukkan input
disp disp OPTIMISASI INPUT-OUTPUT Sistem Linear Max-plus Waktu-
Invariant disp ----------------------------------------------------
disp A = input Masukkan matriks A = ;
disp B = input Masukkan matriks B = ;
disp C = input Masukkan matriks C = ;
disp
x0 = input Masukkan kondisi awal x0 = ; disp
y = input Masukkan barisan output dalam vektor kolom y = ;
disp q = lengthy;
Menghitung CB = CB [c1, c2] = sizeC;
[b1, b2] = sizeB; for i = 1 : c1
for j = 1 : b2 CBi, j = -Inf;
for p = 1: c2 CBi, j = maxCBi, j , Ci, p + Bp, j;
end; end;
end;
Menghitung CA = CA [c1, c2] = sizeC;
[a1, a2] = sizeA; for i = 1:c1
for j = 1: a2 CAi, j = -Inf;
for p = 1: c2 CAi, j = maxCAi, j , Ci, p + Ap, j;
end; end;
end;
L = zerosq,a2;
L1,:= CA;
Menghitung CAB [ca1, ca2] = sizeCA;
[b1, b2] = sizeB; for i = 1:ca1
for j = 1: b2 CABi, j = -Inf;
for p = 1: ca2 CABi, j = maxCABi, j , CAi, p + Bp, j;
end; end;
end; Menghitung Ak = Ak
[a1, a2]= sizeA; D = A;
for r = 1 : q-1 r+1;
for i = 1 : a1 for j = 1 : a2
Aki, j = -Inf; for p = 1: a2
Aki, j = maxAki, j , Ai, p + Dp, j; end;
end; end;
Menghitung CAk = CAk [c1, c2] = sizeC;
[ak1, ak2] = sizeAk; for i = 1 : c1
for j = 1: ak2 CAki, j = -Inf;
for p = 1: c2 CAki, j = maxCAki, j , Ci, p + Akp, j;
end; end;
end; Lr+1,:=CAk;
Menghitung CAkB [cak1, cak2] = sizeCAk;
[b1, b2] = sizeB; for i = 1:cak1
for j = 1: b2 CAkBi, j = -Inf;
for p = 1: cak2 CAkBi, j = maxCAkBi, j , CAki, p + Bp, j;
end; end;
end;
Menyusun matriks H for i = 1 : q
for j = 1 : q if i j
Hi,j = -Inf; end;
if i == j Hi,j = CB;
end; if i-j ==1
Hi,j= CAB; end;
if i-j == r+1 Hi,j= CAkB;
end; if i-j q
Hi,j=[]; end;
end; end;
D = Ak; end;
Menghitung Kx0 [l1, l2] = sizeL;
[x01, x02] = sizex0; for i = 1 : l1
for j = 1 : x02 Kx0i, j = -Inf;
for p = 1: l2 Kx0i, j = maxKx0i, j , Li, p + x0p, j;
end; end;
end; if maxKx0 - y=0
Menghitung input paling lambat u1 H-y Ht=H;
my = -y; [ht1, ht2] = sizeHt;
[my1, my2] = sizemy; for i = 1 : ht1
for j = 1 : my2 Htmyi, j = -Inf;
for p = 1: ht2 Htmyi, j = maxHtmyi, j , Hti, p + myp, j;
end; end;
end; u_topi = -Htmy;
Gambar 2.3 List Program MATLAB Optimasi Input-Output SLMI
Mengitung Hu_topi [h1, h2] = sizeH;
[utp1, utp2] = sizeu_topi; for i = 1 : h1
for j = 1 : utp2 Hutpi, j = -Inf;
for p = 1: h2 Hutpi, j = maxHutpi, j , Hi, p + u_topip, j;
end; end;
end; Hutp;
Menghitung barisan output y untuk u_topi y_topi = maxKx0, Hutp;
Menghitung input minimum simpangan delta = maxabsy - y_topi;
u_tilde = u_topi + delta2; Mengitung Hu_tilde
[h1, h2] = sizeH; [utd1, utd2] = sizeu_tilde;
for i = 1 : h1 for j = 1 : utd2
Hutdi, j = -Inf; for p = 1: h2
Hutdi, j = maxHutdi, j , Hi, p + u_tildep, j; end;
end; end;
Hutd; Menampilkan hasil perhitungan
disp HASIL PERHITUNGAN : disp ===================
dispMatriks A = ,dispA dispMatriks B = ,dispB
dispMatriks C = ,dispC dispKondisi awal x0 = ,dispx0
dispBarisan output y = ,dispy dispBarisan input paling lambat u_topi = ,
dispu_topi dispBarisan output y untuk u_topi = , dispy_topi
dispBarisan input minimum simpangan u_tilde = , dispu_tilde
dispBarisan output y untuk u_tilde = , dispHutd else
dispInput Minimum Simpangan tidak dapat dikerjakan Kx0 y
end;
Program Matlab Menghitung NILAI EIGEN MAX-PLUS Maksimum dan VEKTOR EIGEN
yang bersesuaian untuk suatu Matriks max-plus A Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma
input: matriks max-plus Anxn output: irredusibel tak irredusibel matriks A
nilai eigen max-plus maximum vektor eigen yang bersesuaian
function hasilkali = eigmax disp
disp NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MAX-PLUS MATRIKS disp ----------------------------------------------
disp A = input Matriks yang dihitung A = ;
disp disp HASIL PERHITUNGAN :
disp =================== disp Matriks A = , dispA
Menghitung A pangkat , tracepangkat dan nilai eigen maksimum
[m, n]= sizeA; if m==n
if n==2 for i = 1: n
for j=1: n if i==j
Ai,j = 0; end;
end; end;
A0 = minA; A00 = minA0;
if A00 == -Inf disp Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL
else disp Matriks A IRREDUSIBEL
end; end;
trace = maxdiagA; D=A;
for r=1:n-1 r+1;
for i = 1: m for j = 1: n
Ci, j = -Inf; for p = 1: n
Ci, j = max Ci, j , Ai, p + Dp, j ; end;
end; end;
A_plus = maxD, C;
D=C; trace_perpkr = maxdiagD.r+1;
lambmax = maxtrace_perpk; end;
lambmaxmat = maxtrace, lambmax; for r=1:n-2
r+1; for i = 1: m
for j = 1: n Ci, j = -Inf;
for p = 1: n Ci, j = max Ci, j , Ai, p + Dp, j ;
end; end;
end; A_plus1 = maxD, C;
D=C; end;
if n2 for i = 1 : n
for j = 1 : n if i==j
A_plus1i,j = 0; end;
end; end;
A0_plus1 = minA_plus1; A00_plus1 = minA0_plus1;
if A00_plus1 == -Inf disp Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL
else disp Matriks A IRREDUSIBEL
end; end;
dispNILAI EIGEN max-plus maksimum matriks A = displambmaxmat;
Menghitung matriks normal B, B pangkat dan B+ B = A-lambmaxmat;
disp G=B;
for s=1:n-1 s+1;
for i = 1: m for j = 1: n
Fi, j = -Inf; for p = 1: n
Fi, j = max Fi, j , Bi, p + Gp, j ; end;
end; end;
Gambar 2.4 List Program MATLAB Nilai Eigen Maksimum
B_plus = maxG, F;
G = F; end;
Menghitung matriks E dan B for i = 1 : n
for j = 1 : n if i ~= j
Ei,j = -Inf; end;
end; end;
B_star= maxE, B_plus; Menentukan vektor eigen yang bersesuaian
disp VEKTOR EIGEN max-plus yang bersesuaian = x= diagB_plus;
for t = 1 : n if xt=0
VE = B_star:,t; dispVE end;
end; Perhatian jika yang diinputkan bukan matriks nxn
else disp
disp P E R H A T I A N dispBUKAN matriks bujursangkar, nilai eigen tidak
didefinisikan end;
57
BAB III PEMODELAN WAKTU PRODUKSI DENGAN MENGGUNAKAN
SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai cara membuat model matematika pada graf ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar max-
plus. Penjelasan dilakukan dengan mengelompokkan graf ke dalam 3 sub-bab sesuai jenisnya yaitu loop tunggal, loop berganda multi loop, dan loop berganda
dengan banyak titik multi loop multi vertex. Masing-masing sub-bab akan diawali dengan penyajian graf sistem produksi ber-loop. Selanjutnya akan dibuat
graf modifikasi dari graf yang telah tersedia sesuai dengan kondisi awal. Berdasarkan graf modifikasi yang telah dibuat kemudian dibuat aturan
sinkronisasi yang sesuai dan selanjutnya akan disusun model matematika dan representasi bentuk matriks yang sesuai dengan menggunakan sistem persamaan
linear aljabar max-plus. Pada bab ini untuk masing-masing sub-bab akan diberikan dua graf. Graf
yang pertama merupakan graf flowshop ber-loop, sedangkan graf yang kedua merupakan modifikasi dari graf flowshop ber-loop. Graf flowshop ber-loop
dimodifikasi dengan penambahan unit pemrosesan sehingga graf berubah menjadi flowshop tanpa loop.
Dalam kasus ini, pekerjaan yang direpresentasikan dengan loop merupakan pekerjaan yang identik, dilihat dari segi bahan yang dimasukkan
maupun waktu pemrosesan. Untuk suatu mesin yang melakukan beberapa kali pekerjaan tetapi dengan bahan dan waktu pemrosesan yang berbeda untuk
masing-masing pekerjaan, graf yang tersaji bukan mengandung loop.
A. Loop Tunggal
Pada bagian ini akan disajikan graf suatu produksi dengan loop tunggal. Graf dengan loop tunggal menandakan bahwa mesin yang
mengandung loop tersebut melakukan dua kali pekerjaan job dalam satu kali periode produksi. Dengan mengandaikan bentuk segiempat sebagai
pemrosesan serta anak panah menunjukkan jalur produksi, graf tersebut dapat tersaji sebagai berikut.
Pada Gambar 3.1 di atas, anak panah merah menunjukkan alur produksi untuk pekerjaan job kedua pada mesin
. melakukan pekerjaan
job pertama dan mendistribusikannya pada .
yang telah menyelesaikan pekerjaan pertamanya kemudian memulai lagi pekerjaan keduanya dan
mendistribusikannya ke . Dengan kata lain untuk setiap satu kali produksi
Gambar 3.1 Graf Sistem Produksi Loop Tunggal
