Loop Berganda dengan Banyak Titik Multi Loop Multi Vertex

: proses pendinginan : proses pengepakan Gambar 3.5 menunjukkan bahwa pada unit pemrosesan dan masing-masing memuat 1 loop. Hal ini berarti bahwa dan masing- masing melakukan 2 pekerjaan untuk setiap satu kali periode produksi. Unit pemrosesan dan yang memuat masing-masing 5 loop dan 8 loop melakukan 6 kali pekerjaan dan 9 kali pekerjaan untuk setiap satu kali periode produksi. Dengan kata lain untuk satu kali produksi kue terjadi proses pemisahan putih telur dengan kuning telur sebanyak 2 kali, proses pencampuran putih telur dengan gula pasir sebanyak 2 kali, proses pemanggangan lapisan terjadi sebanyak 15 kali pelapisan 6 kali pada dan 9 kali pada . Pada sistem produksi di atas, unit pemrosesan dan bekerja pada mesin yang sama tetapi memiliki bahan dan waktu pemrosesan yang berbeda sehingga tidak memungkinkan untuk membuat loop pada . Hal ini membuat dan dipisahkan oleh unit pemrosesan yang berbeda. Dengan alasan yang sama, hal ini berlaku juga untuk dan . Graf modifikasi yang dapat dibentuk dari Gambar 3.5 adalah sebagai berikut. Gambar 3.6 Graf Sistem Produksi Modifikasi Multi Loop Multi Vertex Keterangan : : waktu proses pemindahan bahan yan g akan diproses, i = 1,2,…,34 : waktu saat pencampuran adonan tepung terigu, air, dan butter pada 1 : waktu saat pemisahan kuning telur dan putih telur tahap 1 : waktu saat pencampuran adonan tepung terigu, air, dan butter pada 2 : waktu saat pemisahan kuning telur dan putih telur tahap 2 : waktu saat pencampuran adonan 1 dengan kuning telur : waktu saat pencampuran adonan 2 dengan kuning telur : waktu saat pencampuran putih telur dengan gula pasir tahap 1 : waktu saat pencampuran adonan 1 dengan campuran putih telur : waktu saat pencampuran putih telur dengan gula pasir tahap 2 : waktu saat pencampuran adonan 2 dengan campuran putih telur : waktu saat pemanggangan lapisan pertama pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kedua pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan ketiga pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan keempat pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kelima pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan keenam pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan ketujuh pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kedelapan pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kesembilan pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kesepuluh pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kesebelas pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kedua belas pada oven PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI : waktu saat pemanggangan lapisan ketiga belas pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan keempat belas pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kelima belas pada oven : waktu saat proses pendinginan : waktu saat proses pengepakan : pencampuran adonan tepung terigu, air, dan butter pada 1 : pemisahan kuning telur dan putih telur tahap 1 : pemisahan kuning telur dan putih telur tahap 2 : pencampuran adonan tepung terigu, air, dan butter pada 2 : pencampuran adonan 1 dengan kuning telur : pencampuran putih telur dengan gula pasir tahap 1 : pencampuran putih telur dengan gula pasir tahap 2 : pencampuran adonan 2 dengan kuning telur : pencampuran adonan 1 dengan campuran putih telur : pencampuran adonan 2 dengan campuran putih telur : pemanggangan lapisan pertama pada oven : pemanggangan lapisan kedua pada oven : pemanggangan lapisan ketiga pada oven : pemanggangan lapisan keempat pada oven : pemanggangan lapisan kelima pada oven : pemanggangan lapisan keenam pada oven : pemanggangan lapisan ketujuh pada oven : pemanggangan lapisan kedelapan pada oven : pemanggangan lapisan kesembilan pada oven : pemanggangan lapisan kesepuluh pada oven : pemanggangan lapisan kesebelas pada oven : pemanggangan lapisan kedua belas pada oven : pemanggangan lapisan ketiga belas pada oven : pemanggangan lapisan keempat belas pada oven pemanggangan lapisan kelima belas pada oven : proses pendinginan : proses pengepakan Berdasarkan Gambar 3.6, unit pemrosesan bayangan ditambahkan untuk merepresentasikan unit pemrosesan yang memuat loop pada . Hal yang sama juga dilakukan untuk semua unit pemrosesan yang mengandung loop. Banyaknya unit pemrosesan bayangan yang ditambahkan sesuai dengan banyaknya loop yang ada pada unit pemrosesan tersebut. Setelah melakukan modifikasi graf, diperlukan penyusunan aturan sinkronisasi sebelum membuat sistem persamaan linear aljabar max-plus. Pembuatan aturan sinkronisasi terlebih dulu diawali dengan pemberian nilai untuk masing-masing waktu transfer dan waktu pemrosesan pada yang sesuai dengan Gambar 3.6. Waktu transfer dan waktu pemrosesan tersaji pada tabel di bawah ini Transfer Waktu detik Pemrosesan Waktu detik 10 934 5 435 10 934 5 435 Tabel 3.6 Waktu Pemrosesan Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex Tabel 3.5 Waktu Transfer Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex 295 5 295 5 365 5 295 5 365 295 13 212 15 212 13 212 15 212 15 212 85 212 85 212 58 212 48 212 41 212 66 212 41 212 55 212 68 212 66 212 68 2217 80 848 72 86 87 149 82 156 Berdasarkan pada Tabel 3.5 dan Tabel 3.6 kemudian disusun aturan sinkronisasi yang sesuai dengan Gambar 3.6. Pada Gambar 3.6 terlihat bahwa sistem produksi modifikasi yang ada terdiri dari 27 unit pemrosesan dan . Proses produksi tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut. i : waktu saat bahan baku dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke ii : waktu saat bahan dilakukan pemrosesan ke- dan mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dengan waktu pemrosesan sebesar . iii : waktu saat produk kue ke- yang diselesaikan meninggalkan sistem. 1 Aturan sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke- , maka bahan mentah ini akan tersedia pada input pemrosesan pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . Selain itu pemrosesan dan dilakukan dengan menggunakan mesin yang sama, maka hanya dapat memulai pemrosesan ke- segera setelah selesai mengerjakan pemrosesan sebelumnya yaitu pemrosesan ke- . Sehingga waktu yang diperlukan adalah . 2 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke- , maka bahan mentah ini akan tersedia pada input pemrosesan pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . Selain itu pemrosesan dan menggunakan mesin yang sama, sehingga dapat memulai pemrosesan ke- segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya yakni pemrosesan ke- . Sehingga waktu yang diperlukan adalah 3 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 4 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke- , maka bahan mentah ini akan tersedia pada input pemrosesan pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . Selain itu, pemrosesan dan menggunakan mesin yang sama, maka hanya dapat memulai pemrosesan ke- segera setelah selesai mengerjakan pemrosesan sebelumnya yaitu pemrosesan ke- . Sehingga waktu yang diperlukan adalah . 5 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari dan selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu dan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 6 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Unit pemrosesan dan menggunakan mesin yang sama sehingga dapat memulai pemrosesan ke- pada waktu Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 7 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari dan selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu serta akan tersedia dari pada waktu Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 8 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari dan selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu dan akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 9 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari dan selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu serta akan tersedia dari pada waktu Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 10 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari dan selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu serta akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 11 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . Selain itu, pemrosesan pada sampai menggunakan mesin yang sama sehingga dapat memulai proses ke- setelah menyelesaikan pemrosesan ke- . Produk setengah jadi ke- meninggalkan pada waktu . 12 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 13 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 14 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 15 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 16 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 17 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari dan selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu serta akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 18 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 19 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 20 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 21 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 22 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 23 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 24 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 25 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 26 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 27 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . 28 Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat produk jadi ke- keluar dari sistem adalah saat pemrosesan pada telah selesai dan meninggalkan , sehingga waktu yang diperlukan saat produk jadi selesai adalah . Berdasarkan aturan sinkronisasi model matematika yang dapat disusun adalah sebagai berikut. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Sistem persamaan di atas dapat dituliskan sebagai : , dengan matriks dan yang didefinisikan pada tabel-tabel selanjutnya. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Matriks adalah sebagai berikut. KOLOM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BARIS 1 934 -inf -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 2 -inf 435 -inf 435 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 3 -inf -inf 934 -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 4 -inf 875 -inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 5 1868 875 -inf 875 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 6 -inf 1315 1868 1315 -inf 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 7 -inf 875 -inf 875 -inf -inf 365 -inf 365 -inf -inf -inf -inf 8 2176 1255 -inf 1255 1537 -inf 745 295 745 -inf -inf -inf -inf 9 -inf 1315 -inf 1315 -inf -inf 745 -inf 745 -inf -inf -inf -inf 10 -inf 1695 2176 1695 -inf 1537 1125 -inf 1125 295 -inf -inf -inf 11 2556 1635 -inf 1635 1917 -inf 1125 675 1125 -inf 212 -inf -inf 12 2826 1905 -inf 1905 2187 -inf 1395 945 1395 -inf 482 212 -inf 13 3086 2165 -inf 2165 2447 -inf 1655 1205 1655 -inf 742 472 212 14 3339 2418 -inf 2418 2700 -inf 1908 1458 1908 -inf 995 725 465 15 3617 2696 -inf 2696 2978 -inf 2186 1736 2186 -inf 1273 1003 743 16 3870 2949 -inf 2949 3231 -inf 2439 1989 2439 -inf 1526 1256 996 17 4137 3216 2556 3216 3498 1917 2706 2256 2706 675 1793 1523 1263 18 4417 3496 2836 3496 3778 2197 2986 2536 2986 955 2073 1803 1543 19 4695 3774 3114 3774 4056 2475 3264 2814 3264 1233 2351 2081 1821 20 4975 4054 3394 4054 4336 2755 3544 3094 3544 1513 2631 2361 2101 21 5267 4346 3686 4346 4628 3047 3836 3386 3836 1805 2923 2653 2393 22 5551 4630 3970 4630 4912 3331 4120 3670 4120 2089 3207 2937 2677 23 5849 4928 4268 4928 5210 3629 4418 3968 4418 2387 3505 3235 2975 24 6148 5227 4567 5227 5509 3928 4717 4267 4717 2686 3804 3534 3274 25 6509 5588 4928 5588 5870 4289 5078 4628 5078 3047 4165 3895 3635 26 6803 5882 5222 5882 6164 4583 5372 4922 5372 3341 4459 4189 3929 27 9176 8255 7595 8255 8537 6956 7745 7295 7745 5714 6832 6562 6302 Tabel 3.7 Matriks A Graf Multi Loop Multi Vertex Kolom 1-13 KOLOM 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 BARIS 1 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 2 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 3 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 4 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 5 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 6 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 7 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 8 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 9 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 10 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 11 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 212 -inf -inf 12 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 482 -inf -inf 13 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 742 -inf -inf 14 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 995 -inf -inf 15 490 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1273 -inf -inf 16 743 465 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1526 -inf -inf 17 1010 732 479 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1793 -inf -inf 18 1290 1012 759 492 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf 2073 -inf -inf 19 1568 1290 1037 770 490 212 -inf -inf -inf -inf -inf 2351 -inf -inf 20 1848 1570 1317 1050 770 492 212 -inf -inf -inf -inf 2631 -inf -inf 21 2140 1862 1609 1342 1062 784 504 212 -inf -inf -inf 2923 -inf -inf 22 2424 2146 1893 1626 1346 1068 788 496 212 -inf -inf 3207 -inf -inf 23 2722 2444 2191 1924 1644 1366 1086 794 510 212 -inf 3505 -inf -inf 24 3021 2743 2490 2223 1943 1665 1385 1093 809 511 212 3804 -inf -inf 25 3382 3104 2851 2584 2304 2026 1746 1454 1170 872 573 4165 -inf -inf 26 3676 3398 3145 2878 2598 2320 2040 1748 1464 1166 867 4459 2217 -inf 27 6049 5771 5518 5251 4971 4693 4413 4121 3837 3539 3240 6832 4590 848 Tabel 3.8 Tabel Matriks A Graf Multi Loop Multi Vertex Kolom 14-27 Matriks : KOLOM 1 BARIS 1 10 2 5 3 10 4 445 5 944 6 944 7 445 8 1252 9 885 10 1265 11 1632 12 1902 13 2162 14 2415 15 2693 16 2946 17 3213 18 3493 19 3771 20 4051 21 4343 22 4627 23 4925 24 5224 25 5585 26 5879 27 8252 Matriks : KOLOM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BARIS 1 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 BARIS 1 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 848 Tabel 3.9 Matriks B Graf Multi Loop Multi Vertex Tabel 3.10 Matriks C Graf Multi Loop Multi Vertex Berdasarkan matriks yang telah tersusun, kemudian akan dicari nilai eigen maksimum dari matriks dengan bantuan MATLAB. Nilai eigen maksimum yang bersesuaian dengan matriks pada sistem di atas adalah 4165.

D. Analisis Model

Selanjutnya akan dilakukan analisis berdasarkan pengamatan yang dilakukan terhadap beberapa graf yang disajikan. Pengamatan pertama dilakukan pada graf sistem produksi ber-loop tunggal. Loop tunggal yang disajikan merupakan graf sistem produksi yang hanya memiliki satu loop. Unit pemrosesan yang ada pada Gambar 3.1 graf sistem produksi loop tunggal sebanyak 5 unit. Unit pemrosesan yang ada pada Gambar 3.2 graf sistem produksi modifikasi loop tunggal sebanyak 6 unit.Unit pemrosesan yang awalnya sebanyak 5 unit bertambah menjadi 6 unit karena terdapat satu loop. Entry matriks pada diagonal utama menunjukkan lama waktu yang dibutuhkan dari suatu unit pemrosesan untuk menyelesaikan pekerjaannya. Dapat dilihat bahwa pada diagonal utama , entry dan berturut-turut menunjukkan lama waktu untuk menyelesaikan pekerjaannya. Nilai dan secara berturut- turut merupakan dan . Perbedaan terjadi pada yang merepresentasikan waktu menyelesaikan pekerjaannya. merupakan unit pemrosesan bayangan yang digunakan untuk menunjukkan pekerjaan kedua dari , sehingga waktu untuk menyelesaikan pekerjaan hingga dapat memulai pekerjaan selanjutnya harus menunggu selesai. Nilai 22 pada diperoleh dari waktu proses ditambah waktu transfer untuk memastikan mesin sudah kosong dan siap dimulai pekerjaan selanjutnya , dan ditambah waktu proses . Nilai 22 pada juga merupakan nilai eigen maksimum dari matriks . Dengan kata lain waktu pemrosesan terlama yang dibutuhkan suatu mesin pada contoh tersebut untuk menyelesaikan pekerjaannya adalah 22 satuan waktu yang dalam kasus ini merupakan pemrosesan pada . Pengamatan selanjutnya dilakukan pada graf sistem produksi ber-loop ganda. Multi loop yang disajikan merupakan graf sistem produksi yang memiliki lebih dari satu loop. Unit pemrosesan yang ada pada Gambar 3.3 graf sistem produksi loop ganda sebanyak 6 unit. Unit pemrosesan yang ada pada Gambar 3.4 graf sistem produksi modifikasi loop ganda sebanyak 8 unit. Unit pemrosesan yang awalnya sebanyak 6 unit bertambah menjadi 8 unit karena terdapat dua loop. Sama seperti pada loop tunggal, entry matriks pada diagonal utama menunjukkan lama waktu yang dibutuhkan dari suatu unit pemrosesan untuk menyelesaikan pekerjaannya. Pada diagonal utama matriks , entry terbesar terlihat pada yang merupakan waktu menyelesaikan pekerjaannya. merepresentasikan pekerjaan ketiga pada unit pemrosesan . Sehingga dapat menyelesaikan pekerjaannya pada waktu , dan selesai bekerja. Nilai 34 yang merupakan entry memiliki nilai yang sama dengan nilai eigen maksimum matriks . Dengan kata lain waktu pemrosesan terlama yang dibutuhkan suatu mesin pada contoh tersebut untuk menyelesaikan pekerjaannya adalah 34 satuan waktu yang dalam kasus ini merupakan pemrosesan pada . Pengamatan yang terakhit dilakukan pada graf sistem produksi ber- loop ganda dengan beberapa titik Multi loop multi vertex. Multi loop multi vertex yang disajikan merupakan graf sistem produksi yang memiliki lebih dari satu loop pada beberapa mesin. Unit pemrosesan yang ada pada Gambar 3.5 graf sistem produksi multi loop multi vertex sebanyak 12 unit. Unit pemrosesan yang ada pada Gambar 3.6 graf sistem produksi modifikasi multi loop multi vertex sebanyak 27 unit.Unit pemrosesan yang awalnya sebanyak 12 unit bertambah menjadi 27 unit karena berdasarkan Gambar 3.5 terdapat 15 loop yang terdiri dari 1 loop pada dan , 5 loop pada , dan 8 loop pada . Sama seperti pada loop tunggal dan loop ganda, entry matriks pada diagonal utama menunjukkan lama waktu yang dibutuhkan dari suatu unit pemrosesan untuk menyelesaikan pekerjaannya. Pada diagonal utama matriks , entry terbesar terlihat pada yang merupakan waktu menyelesaikan pekerjaannya. merepresentasikan pekerjaan kesembilan pada unit pemrosesan . Selain itu karena mesin yang digunakan pada unit pemrosesan sama dengan maka dapat menyelesaikan pekerjaannya pada waktu , , hingga selesai bekerja. Nilai 4165 yang merupakan entry memiliki nilai yang sama dengan nilai eigen maksimum matriks . Dengan kata lain waktu pemrosesan terlama yang dibutuhkan suatu mesin pada contoh tersebut untuk menyelesaikan pekerjaannya adalah 4165 satuan waktu yang dalam kasus ini merupakan pemrosesan pada . Berdasarkan pengamatan yang dilakukan dapat dilihat bahwa banyaknya unit pemrosesan modifikasi setara dengan jumlahan unit pemrosesan ber-loop ditambah dengan banyaknya loop. Hal ini dapat dirumuskan sebagai berikut: Teorema 3.1 Jika suatu graf ber-loop memiliki unit pemrosesan dan memiliki total loop sebanyak , maka banyaknya unit pemrosesan modifikasi yang terjadi sebanyak . Bukti : Diberikan suatu graf dengan unit pemrosesan tak identik dan . menandakan terdapat pemrosesan identik yang terjadi sehingga terdapat unit pemrosesan. Banyaknya unit pemrosesan yang terjadi atau . Selain itu terdapat perbedaan pada entry matriks diagonal utama yang menunjukkan waktu proses unit pemrosesan bayangan. Entry yang menunjukkan unit pemrosesan bayangan merupakan hasil penjumlahan dari PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI waktu proses unit pemrosesan asal dan waktu transfernya, sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut. Teorema 3.2 Jika menunjukkan suatu unit pemrosesan dengan loop sebanyak dan menunjukkan unit pemrosesan bayangan ke- maka pada matriks sama dengan , dengan menunjukkan waktu pemrosesan pada unit pemrosesan dan menunjukkan total waktu transfer dari hingga . Bukti : Diberikan suatu graf seperti berikut. Diambil : ⨂ Untuk Karena dan bekerja pada mesin yang sama, waktu pemrosesan yang dibutuhkan sampai selesai harus menunggu selesai. Waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan pada adalah 1 mesin Gambar 3.7 Graf Sistem Produksi dengan n loop Gambar 3.8 Graf Sistem Produksi Modifikasi n loop pada loop pertama Untuk Dengan prinsip yang sama, waktu pemrosesan sampai selesai harus menunggu pemrosesan selesai pemrosesan. Sehingga waktu yang diperlukan untuk mesin tersebut hingga menyelesaikan pekerjaan sama dengan waktu proses untuk menyelesaikan ditambah dengan waktu transfer ditambah dengan waktu pemrosesan pada sehingga dapat dituliskan : ⨂ Dengan menggunakan prinsip yang sama, pada Waktu pemrosesan hingga dapat ditulistkan : ⨂ ⨂ ⨂ Karena waktu merosesan menunjukkan lama waktu dapat memulai pekerjaan ke- setelah menyelesaikan pekerjaan ke- dengan maka menurut Definisi 2.16, lama waktu pemrosesan pada unit pemrosesan jika disajikan ke dalam bentuk matriksnya akan bersesuaian dengan . Hal ini mengakibatkan, . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 119

BAB IV ANALISIS WAKTU OPTIMUM DAN PENJADWALAN PRODUKSI

SECARA PERIODIK A. Analisis Barisan Keadaan Sistem dan Output Pada bagian ini dibuat analisis atas persamaan yang telah diperoleh dari graf sistem produksi modifikasi. Analisis ini dilakukan dengan cara menghitung barisan keadaan sistem dan barisan output sistem dengan bantuan program MATLAB. Berdasarkan hasil yang diperoleh, dapat ditentukan waktu optimum serta dapat dibuat jadwal produksi yang periodik. Perhitungan barisan keadaan sistem dan barisan output sistem pada Gambar 3.2 dimulai dengan memberikan kondisi awal sebagai berikut. [ – – – – Selain dengan memberikan input kondisi awal diberikan pula input berupa matriks dan seperti yang telah dijelaskan pada Bab III. Hasil dari perhitungan barisan keadaan sistem dan barisan output pada Gambar 3.2 dengan menggunakan program MATLAB untuk dengan barisan input [ akan tersaji dalam Tabel 4.1. 1 2 3 4 5 6 1 11 33 55 77 99 121 2 10 18 26 37 50 62 -inf 23 45 67 89 111 133 -inf 23 45 67 89 111 133 -inf 35 57 79 101 123 145 -inf 48 70 92 114 136 158 60 82 104 126 148 170 Berdasarkan Tabel 4.1 terlihat bahwa selisih waktu mulai produksi antara produksi ke- dengan produksi ke- pada masing-masing unit pemrosesan tidak sama. Dengan kata lain sistem belum periodik. Untuk itu diperlukan suatu perhitungan yang membuat sistem menjadi periodik. Berdasarkan pada barisan keadaan output pada Tabel 4.1 akan dihitung waktu mulai paling lambat ̂ . Waktu mulai paling lambat membuat keadaan sistem menjadi periodik serta mampu mempertahankan kualitas barang yang diolah. Perhitungan waktu paling lambat dilakukan dengan bantuan program MATLAB. Hasil dari perhitungan waktu paling lambat ̂ adalah sebagai berikut. Barisan input paling lambat ̂ = [ Barisan output y untuk ̂ = [ Barisan input minimum simpangan ̃ = [ Barisan output y untuk ̃ =[ Dari hasil perhitungan tersebut, input paling lambat akan digunakan lagi untuk mencari barisan keadaan sistem dengan bantuan program MATLAB. Tabel 4.1 Barisan Keadaan Sistem dan Output Graf Sistem Produksi Loop Tunggal Hasil dari perhitungan barisan keadaan sistem dengan input paling lambat adalah sebagai berikut. 1 2 3 4 5 6 1 11 33 55 77 99 121 2 12 34 56 78 100 122 -inf 23 45 67 89 111 133 -inf 23 45 67 89 111 133 -inf 35 57 79 101 123 145 -inf 48 70 92 114 136 158 60 82 104 126 148 170 Pada Tabel 4.2 terlihat bahwa barisan keadaan sistem dan output telah periodik pada saat mulai produksi ke-1. Keperiodikan barisan keadaan sistem dan output tercermin dari kesamaan selisih waktu mulai produksi ke- dengan waktu mulai produksi ke- pada setiap unit pemrosesan. Selisih waktu mulai produksi untuk setiap unit pemrosesan pada Gambar 3.2 adalah 22 satuan waktu. Dengan menggunakan cara yang sama dihitung pula barisan keadaan sistem dan output pada Gambar 3.4 dan 3.6. Hasil akhir barisan keadaan sistem dan output pada Gambar 3.4 dengan barisan input paling lambat ̂ [ adalah sebagai berikut. 1 2 3 4 5 10 44 78 112 146 1 11 45 79 113 147 -Inf 16 50 84 118 152 -Inf 28 62 96 130 164 -Inf 28 62 96 130 164 -Inf 43 77 111 145 179 -Inf 40 74 108 142 176 Tabel 4.2 Barisan Keadaan Sistem dan Output pada Graf Loop Tunggal dengan Input Paling Lambat Tabel 4.3 Barisan Keadaan Sistem dan Ouput pada Graf Multi Loop dengan Input Paling Lambat -Inf 57 91 125 159 193 67 101 135 169 203 Tabel 4.3 menunjukkan bahwa barisan keadaan sistem mulai periodik setelah produksi ke-1. Barisan keadaan sistem dan output pada Gambar 3.4 periodik dengan periode 34 satuan waktu. Selanjutnya dengan menggunakan cara yang sama ditentukan barisan keadaan sistem dan ouput pada Gambar 3.6 dengan input paling lambat. Barisan keadaan sistem dan output pada Gambar 3.6 dengan menggunakan input paling lambat ̂ [ adalah sebagai berikut. 1 2 3 4 5 10 944 5109 9274 13439 17604 5 939 5104 9269 13434 17599 10 944 5109 9274 13439 17604 -inf 1379 5544 9709 13874 18039 -inf 1878 6043 10208 14373 18538 -inf 1878 6043 10208 14373 18538 -inf 1379 5544 9709 13874 18039 -inf 2186 6351 10516 14681 18846 -inf 1819 5984 10149 14314 18479 -inf 2199 6364 10529 14694 18859 -inf 2566 6731 10896 15061 19226 -inf 2836 7001 11166 15331 19496 -inf 3096 7261 11426 15591 19756 -inf 3349 7514 11679 15844 20009 -inf 3627 7792 11957 16122 20287 -inf 3880 8045 12210 16375 20540 -inf 4147 8312 12477 16642 20807 -inf 4427 8592 12757 16922 21087 -inf 4705 8870 13035 17200 21365 Tabel 4.4 Barisan Keadaan Sistem dan Ouput pada Graf Multi Loop Multi Vertex dengan Input Paling Lambat -inf 4985 9150 13315 17480 21645 -inf 5277 9442 13607 17772 21937 -inf 5561 9726 13891 18056 22221 -inf 5859 10024 14189 18354 22519 -inf 6158 10323 14488 18653 22818 -inf 6519 10684 14849 19014 23179 -inf 6813 10978 15143 19308 23473 -inf 9186 13351 17516 21681 25846 10034 14199 18364 22529 26694 Pada Tabel 4.4 terlihat bahwa barisan keadaan sistem dan output telah periodik pada saat mulai produksi ke-1. Keperiodikan barisan keadaan sistem dan output tercermin dari kesamaan selisih waktu mulai produksi ke- dengan waktu mulai produksi ke- pada setiap unit pemrosesan. Selisih waktu mulai produksi untuk setiap unit pemrosesan pada Gambar 3.6 adalah 4165 satuan waktu. Berikut ini akan dianalisis keterhubungan antara entry dan nilai eigen matriks A pada sistem persamaan linear aljabar max-plus terhadap waktu input paling lambat dan keperiodikan barisan keadaan sistem dan output sistem produksi berdasarkan pada contoh-contoh yang telah dipaparkan sebelumnya. Pengamatan yang pertama dilakukan pada barisan keadaan sistem pada sistem produksi loop tunggal. Barisan keadaan sistem pada graf sistem produksi loop tunggal dengan persamaan , dengan matriks dan yang didefinisikan sebagai berikut. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI [ ] , [ ] , [ dan memiliki nilai eigen yang bersesuaian dengan matriks = 22 ,menunjukkan keperiodikannya pada produksi pertama untuk waktu input paling lambat ̂ [ dengan periode 22 satuan waktu. Waktu input paling lambat pada produksi pertama untuk graf loop tunggal mempunyai nilai yang sama dengan entry matriks A yang terletak pada baris pertama dan kolom pertama yaitu 10 yang juga merupakan nilai maksimum waktu pemrosesan untuk unit-unit pemrosesan yang dapat memulai pekerjaan tanpa menunggu unit pemrosesan yang lain. Dalam kasus ini dan . Selain itu, periode barisan keadaan sistem dan ouput memiliki nilai yang sama dengan nilai eigen matriks A. Hal yang sama juga berlaku pada periode waktu input paling lambat yaitu 22 satuan waktu yang merupakan nilai eigen dari matriks A. Pengamatan selanjutnya dilakukan pada barisan keadaan sistem pada sistem produksi loop ganda Multi loop. Barisan keadaan sistem pada graf sistem produksi multi loop dengan persamaan , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI