32
2.4.3. Bayes Berhierarkhi pada Model SAE
Dalam pendekatan hierarki Bayes HB, kita harus terlebih dahulu dapat menetapkan sebaran prior untuk seluruh parameter model,
sedangkan sebaran posteriornya kemudian diturunkan berdasarkan sebaran prior sebelumnya. Inferensi terhadap parameter model
didasarkan pada sebaran posterior, yaitu parameter akan diperoleh berdasarkan nilai harapan sebaran posteriornya, sedangkan presisinya
diukur berdasarkan ragam sebaran posterior yang bersesuaian. Perhatikan
model Fay
dan Herriot
1979 yang
juga mempertimbangkan Y
i
= logZ
i
dimana Z
i
adalah penduga langsung berdasarkan metode survei. Mereka mengeksplorasi hubungan antara
penduga koefisien keragaman CV dengan ukuran populasi area kecil. CV untuk Z didefinisikan sebagai [VarZ]
12
EZ dimana VarZ adalah ragam dari Z dan EZ adalah nilai harapan Z. CV kemudian
diduga dengan s
Z
Z, dimana s
Z
adalah standar deviasi penduga langsung Z. Mereka menemukan bahwa s
Z
Z = 3 N dengan N adalah
ukuran populasi area. Dengan demikian, Fay dan Herriot menyatakan bahwa VarZ dapat diduga dengan baik oleh 9N[EZ]
2
. Pengembangan terhadap model Fay-Herriot dimana Y
i
adalah fungsi dari suatu penduga langsung Z
i
, sehingga Y
i
= gZ
i
. Model diasumsikan :
i Y
i
|
i
~ N
i
= g
i
,
2 i
dimana g. merupakan suatu fungsi hubung dan
2 i
diketahui. ii Sebaran prior bagi
i
adalah Nx
i T
,
2
, Untuk g. = log., model tersebut dapat ditulis menjadi
log
T i
i i
i i
Y Z
x e
dengan
i
~ N0,
2
dan bersifat saling bebas dengan
i
e
~ N0,
2 i
untuk i = 1, 2, ..., m. Model di atas tidak lain adalah bentuk khusus generalized linear mixed model dengan fungsi
hubung logaritma. Masalah yang dihadapi dalam kasus seperti ini
33
adalah pendugaan terhadap
1 i
i
g
. Jika
. g
adalah fungsi identitas, sehingga
i i
i
g
, maka model tersebut adalah sama
dengan model pada pembahasan sebelumnya. Perhatikan untuk kondisi-kondisi berikut:
y = y
1
, y
2
, ..., y
m T
=
1
,
2
, …,
m T
x
T
= x
1
, x
2
, ..., x
m T
D = Diag
2 1
,
2 2
...,
2 m
. Fungsi sebaran bersama untuk y,
jika dan
2
diketahui adalah fy,
|,
2
=
2 2
m 2
2 1
1 i
i i
2 2
2 2
i 1
1 1
exp - -
exp - 2
2
i
T i
i
y x
Untuk kasus ini pada Sub-bab 2.4.2 telah diperlihatkan bahwa
i
|y
i
, ,
2
~ N
1 1
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
,
T i
i i
i i
y x
~ N
2 2
2 2
1 ,
T i
i i
i i
i
y x
. Penduga bagi
i
adalah
i
θˆ
B
= E
i
|y
i
, ,
2
sehingga penduga bagi
i
adalah
i
ˆ
B
=E[g
-1
i
|y
i
, ,
2
] dengan Var
i
ˆ
B
=Var{E[g
-1
i
|y
i
, ,
2
]}.
Dalam prakteknya baik maupun
2
tidak diketahui. Jika
2
diketahui tetapi
tidak diketahui sehingga diasumsikan mengikuti suatu sebaran tertentu, maka akan diperoleh fy
i
,
i
, |
2
dan fungsi kepekatan peluang marginal bersama y,
adalah fy
i
,
i
|
2
merupakan solusi dari integral fy
i
,
i
, |
2
terhadap dengan asumsi
34
kontinu. Sebaran posterior bagi adalah f
i
|y
i
,
2
dan penduga bagi
i
adalah
i
θˆ
B
= E
i
|y
i
,
2
.
Lebih lanjut, dalam prakteknya sangat jarang
2
diketahui. Jika diasumsikan
2
~
2
, sehingga fy
i
,
i
,
2
= fy
i
,
i
|
2
2
. Fungsi marginal bersama y
i
, , setelah diintegralkan terhadap
2
, adalah fy
i
,
i
. Sebaran posterior bagi adalah f
i
|y
i
dan penduga bagi
i
adalah
i
θˆ
B
= E
i
|y
i
.
35
BAB III METODE PENDUGAAN LANGSUNG
Kategori