48
BAB IV METODE PENDUGAAN TIDAK LANGSUNG
4.1. Latar Belakang
Analisis regresi merupakan suatu teknik statistik yang luas pemakaiannya. Teknik ini memiliki sifat pendugaan yang sangat baik
powerful tool jika asumsi-asumsi yang melandasinya terpenuhi, termasuk di dalamnya adalah hubungan antara peubah respon dengan
peubah penjelas dapat digambarkan dengan suatu fungsi tertentu yang terdefinisi seperti pola garis lurus, berbentuk polinomial, atau
berpola eksponensial. Di dalam banyak aplikasi, bagaimanapun untuk memperoleh fungsi-fungsi tersebut secara tepat sangat sulit bahkan
banyak gejala
menunjukkan data-data
yang diperoleh
tidak menunjukkan suatu pola hubungan yang mudah untuk digambarkan.
Dalam pendugaan area kecil, khususnya pendugaan berbasis model, konsep model linier menjadi inti dari analisis yang dilakukan.
Keterpenuhan asumsi linier tentu menjadi syarat penting dalam melakukan analisis lebih lanjut.
4.2. Pendekatan Generalized Additive Mixed Model
Untuk mengatasi kesulitan-kesulitan pada model linier seperti disampaikan sebelumnya, Stone 1985 mengajukan penggunaan
model aditif. Model ini menduga pendekatan secara aditif dari fungsi regresi multivariate. Keuntungan penggunaan pendekatan ini paling
tidak ada dua hal. Pertama, karena setiap suku aditif diduga secara individu menggunakan pemulus univariate, maka tidak terjadi masalah
“curse of dimensionality”. Kedua, pendugaan setiap suku secara individual dapat menjelaskan bagaimana perubahan peubah respon
terhadap perubahan peubah penjelas.
49
Untuk memperluas penggunaan model aditif dalam berbagai keluarga sebaran, Hastie dan Tibshirani 1990 mengusulkan model aditif
terampat generalized
additive model,
GAM. Model
ini menghubungkan nilai harapan peubah respon dengan prediktor aditif
melalui fungsi hubung yang tidak linier. Model ini memungkinkan sebaran dari peubah respon berasal dari keluarga sebaran
eksponensial. Rao 2003 menyajikan secara intensif ulasan berbagai teknik dalam
pendugaan area kecil yang sering digunakan oleh peneliti maupun pemakai statistika, termasuk didalamnya teknik atau pendekatan
synthetic, composite estimator, empirical best unbiased linear predictors, empirical Bayes and hierarchical Bayes. Seluruh metode-
metode tersebut menggunakan pendekatan parametrik. Pendekatan GAM memiliki keuntungan yang lebih dibandingkan
dengan pendekatan parametrik khususnya dalam memodelkan pola hubungan peubah respon dengan peubah penjelas auxiliary variable.
Kelebihan tersebut yang selanjutnya digunakan untuk pemodelan yang dilakukan dalam pendugaan area kecil.
Dengan berlandaskan pada model Fay-Herriot 1979 pada model taraf area:
T i
i i
i
y x
e
, i = 1, 2, ..., m
dengan adalah koefisien regresi,
i
adalah pengaruh acak area, dan
i
e
adalah galat contoh. Dalam model ini juga diasumsikan bahwa
i
e
~ 0,
2 i
,
i
~ 0,
2
dan keduanya bersifat saling bebas serta biasanya
2 i
diasumsikan diketahui.
Kita asumsikan bahwa
i
y
dan
i
x
memiliki suatu pola hubungan yang dapat didekati oleh suatu fungsi pemulus m.. Untuk
i
x
sebagai peubah penjelas, maka
50
i i
i i
y m x
e
, i = 1, 2, ..., m
4.1 dengan
|
i i
x
~ 0,
, e
i
~ 0,
2 i
, serta
i
e dengan
i
saling bebas. Fungsi nilai tengah area kecil dapat dituliskan sebagai berikut:
i i
i i
x m x
yang merupakan kombinasi linier dari nilai tengah
i
m x dan pengaruh acak
i
. Kita dapat menggunakan suatu teknik pendugaan untuk mendapatkan fungsi pemulus seperti menggunakan fungsi pemulus
linier meliputi pemulus spline, regresi spline, dan local polynomial regression. Lebih lanjut pembahasan mendetail metode-metode
tersebut dapat dilihat pada Hastie dan Tibshirani 1990. Jika digunakan fungsi pemulus kernel untuk menduga mx
i
, penduga terbaik best predictor bagi nilai tengah area kecil
i
dapat dituliskan sebagai berikut
E
i
|y
i
=
i
y
i
+ 1 -
i
h
m ˆ
x
i
4.2 dengan
i
=
+
2 i
. Hampiran MSE bagi penduga parameter tersebut dapat dilakukan dengan mengadopsi pendekatan yang
diberikan Prasad dan Rao 1990 dengan mensubstitusi x
i T
dalam model linier campuran dengan
h
m ˆ
x
i
, sehingga diperoleh formulasi sebagai berikut :
mse
i
θˆ
=
2 i u
2 i
u
D D +
ˆ ˆ
+
2 h
i
1- mse m
x ˆ
ˆ
+
-3 2
2 2
i u
i u
2D + D
mse ˆ
ˆ
. 4.3
4.3. Pendekatan Nonparametrik P-Spline
Kategori