Model Autoregressive AR Analisis Spektral

dan stasioner lemah. Deskripsi umum kestasioneran adalah sebagai berikut, data deret Z1, Z2,... disebut stasioner kuat jika distribusi gabungan Z t1 , Z t2 , Z+ sama dengan distribusi gabungan Z t1+k , Z t2+k , ...,Z tn+k untuk setiap nilai t1, t2,.., tn, dan k. Sedangkan data disebut stasioner lemah, jika rata-rata hitung data konstan, E Zt = µ, dan autokovariansnya merupakan fungsi dari lag, ? k = fk. Sedangkan ketidakstasioneran data diklasifikasikan atas tiga bentuk, yaitu: 1. Tidak stasioner dalam rata-rata hitung, jika trend tidak datar tidak sejajar sumbu waktu, dan data tersebar 2. Tidak stasioner dalam varians, jika trend datar atau hampir datar tapi data tersebar membangun pola menyebar atau menyempit yang meliput secara seimbang trendnya pola terompet. 3. Tidak stasioner dalam rata-rata hitung dan varians, jika trend tidak datar dan data membangun pola terompet. Untuk menelaah ketidakstasioneran data secara visual, tahap pertama dapat dilihat pada plot data atas waktu. Jika belum mendapatkan kejelasan, maka tahap berikutnya dapat dilakukan dengan melihat gambar plot ACF. Pada gambar ACF, jika datanya tidak stasioner maka gambarnya akan membangun pola: a. Menurun, jika data tidak stasioner dalam rata-rata hitung tren naik atau turun b. Alternating, jika data tidak stasioner dalam varians c. Gelombang, jika data tidak stasioner dalam rata-rata hitung dan varians Mulyana, 2004. Apabila data yang menjadi input dari model ARIMA tidak stasioner, perlu dimodifikasi untuk menghasilkan data yang stasioner. Salah satu metode yang umum dipakai adalah metode pembedaan defferencing. Metode ini dilakukan dengan cara mengurangi nilai data pada suatu periode dengan nilai periode sebelumnya. 2.8 Prakiraan dengan Time Series Dalam klimatologi dibedakan dua kelompok metode peramalan, yaitu metode kausal dan time series. Metode kausal mengasumsikan adanya hubungan sebab akibat antara masukan dan keluaran sistem, sedangkan metode Time Series Box-Jenkins memperlakukan sistem seperti suatu kotak hitam black box tanpa berusaha mengetahui fakor-faktor yang mempengaruhi sistem tersebut. Sistem semata-mata dianggap sebagai suatu pembangkit proses, karena tujuan utama dari metode ini adalah ingin menduga APA yang akan datang, bukan mengetahui MENGAPA hal itu terjadi. Bey A, 1988. ARIMA Autoregressive Integrated Moving Average merupakan salah satu model peramalaan yang berbasis time series yang dikembangkan oleh Box dan Jenkins 1976, dan nama mereka sering disinonimkan dengan proses ARIMA yang diterapkan untuk analisis deret berkala, peramalan, dan pengendalian. ARIMA telah diakui mempunyai kemampuan ramalan yang cukup memuaskan untuk jangka peramalan yang panjang Tapliyal dalam Bey, A. 1988. ARIMA adalah suatu model gabungan yang meliputi model Autoregressive AR Yule, 1926 dan Moving Average MA Slutzky, 1937 dalam Makridakis et al., 1988. Kata integrated disini menyatakan tingkat pembedaan degree of defferencing. ARIMA dikatakan sebagai model yang komplek, karena selain model ini merupakan gabungan antara AR dan MA, model ini dapat dipergunakan untuk pola time series seasonal musiman dan nonseasonal tidak musiman secara bersamaan. Metode ARIMA memiliki keunggulan dibanding metode lainnya, yaitu metode Box- Jenkins disusun secara logis dan secara statistik akurat, metode ini memasukkan banyak informasi dari data historis, dan metode ini menghasilkan kenaikan akurasi peramalan dan pada waktu yang sama menjaga jumlah parameter seminimal mungkin Jarret, 1991 Metode ini menggunakan pendekatan iteratif yang mengindikasikan kemungkinan model yang bermanfaat. Model terpilih, kemudian dicek kembali dengan data historis apakah telah mendiskripsikan data tersebut dengan tepat. Model terbaik akan diperoleh apabila residual antara model peramalan dan data historis memiliki nilai yang kecil, distribusinya random, dan independen. Analisis deret waktu seperti pedekatan Box- Jenkins, mendasarkan analisis pada data deret waktu yang stasioner.

2.8.1 Model Autoregressive AR

Proses Autoregresif seperti namanya, adalah regresi pada dirinya sendiri. Proses autoregresif {Zt} orde p disingkat AR p memenuhi persamaan, 1 1 2 2 ... t t t p t p t Z Z Z Z a φ φ φ − − − = + + + + 2.5 Dimana, Z t = deret waktu stasioner Ø 1 , ..., Ø p = koefisien atau parameter dari model autoregressive Z t-1 , ..., Z t-p = Nilai masa lalu yang berhubungan a t = residual pada waktu t Model Autoregressive Orde Pertama AR 1 Model AR 1 memenuhi, 1 t t t Z Z a φ − = + 2.6 Cryer, 1986. 2.8.2 Model Moving Average MA Pada model moving average, nilai Z t bergantung error orde q sebelumnya. Moving average orde q atau disingkat MA q memenuhi persamaan, 1 1 2 2 ... t t t t q t q Z a a a a θ θ θ − − − = − − − − 2.7 Dimana, Z t = deret waktu stasioner ? 1 , ..., ? p = koefisien atau parameter dari model moving average a t-q = residual lampau yang digunakan oleh model Model Moving Average Orde Pertama MA Model MA 1 memenuhi, 1 1 t t t Z a a θ − = − 2.8 Cryer, 1986. 2.8.3 Model Autoregressive-Moving Average ARMA Jika diasumsikan deret waktu merupakan campuran dari autoregressive dan moving average maka modelnya menjadi, 1 1 2 2 1 1 2 2 ... ... t t t p t p t t t q t q Z Z Z Z a a a a φ φ φ θ θ θ − − − − − − = + + + + − − − − 2.9 Cryer, 1986. Dimana Z t dan a t sama seperti sebelumnya, Z t adalah konstanta, Ø dan ? adalah koefisien model. {Z t } dikatakan proses campuran autoregressive moving average orde p dan q, disingkat ARMA p,q. 2.8.4 Model Autoregressive-Integrated - Moving Average ARIMA Tidak selamanya data yang akan dianalisis akan menunjukkan kestasioneran. Data yang tidak stasioner seringkali didapatkan di kehidupan nyata. Deret waktu tanpa mean yang konstan misalnya, termasuk tidak stasioner. Salah satu cara menstasionerkan data adalah melalui differencing pembedaan. Tinjau model AR1: 1 t t t Z Z a φ − = + 2.1 0 Terlihat dari persamaan 2.10 bahwa a t tidak berkolerasi dengan Z t-1 , Z t-2 , .... Agar solusinya stasioner memenuhi persamaan 2.10 haruslah -1 Ø 1. Jika Ø=1, maka persamaan 2.10 menjadi 1 t t t Z Z a − = + 2.1 1 atau t t Z a ∇ = 2.12 dimana 1 t t t Z Z Z − ∇ = − adalah pembedaan pertama dari Z . Proses stasioner dapat diperoleh dari hasil pembedaan data yang tidak stasioner. Variabel acak {Z t } dikatak an model integrasi autoregresif-moving average jika dibedakan sebanyak d kali dan merupakan proses ARMA yang stasioner. Disingkat ARIMA p,d,q. Biasanya tingkat pembedaannya d=1 atau 2. Secara umum persamaan untuk model ARIMA p,1,q, 1 1 2 2 1 1 2 2 ... ... t t t p t p t t t q t q W W W W a a a a φ φ φ θ θ θ − − − − − − = + + + + − − − − 2.13 dimana 1 t t t W Z Z − = − , sehingga 1 1 1 2 2 2 3 ... t t t t t t Z Z Z Z Z Z φ φ − − − − − − = − + − + 1 1 1 2 2 ... p t p t p t t t q t q Z Z a a a a φ θ θ θ − − − − − − + − + − − − − Sehingga model ARIMA 1,1,1 memenuhi persamaan: 2.14 Cryer, 1986. Nilai ordo dari proses autoregressive dan moving average diduga secara visual dari plot PACF dan ACF dari data. Plot tersebut menampilkan distribusi koefisien autokorelasi dan koefisien autokorelasi parsial. Pola yang tampak dalam plot ACF dan PACF dapat digunakan dalam pendugaan ordo MA dan AR karena masing-masing model memiliki pola yang khusus. Secara teoritis ? k =0 bagi k q dalam model MAq dan Ø kk =0 bagi k p dalam model AR p Cryer, 1986. Model ARIMA biasanya dilambangkan dengan ARIMAp,d,q yang mengandung pengertian bahwa model tersebut menggunakan p nilai lag dependen orde AR, d tingkat proses pembedaan, dan q lag residual orde MA.

2.8.5 Keterandalan Peramalan