Contoh 4 Masalah pemartisian himpunan
Misalkan diberikan himpunan I beserta kelas-kelas P seperti pada Contoh 3. Misalkan
diketahui biaya dari setiap kelas P
j
yaitu c
j
, dengan
c
1
=15, c
2
=10, c
3
=19, c
4
=18, c
5
=17. Diinginkan himpunan dari P
j
yang dapat memartisi I dengan biaya minimum. Masalah
tersebut dapat dimodelkan sebagai masalah pemartisian himpunan
Min 15x
1
+ 10x
2
+ 19x
3
+ 18x
4
+ 17x
5
terhadap kendala x
1
+ x
4
= 1 x
1
+ x
5
= 1 x
2
+ x
5
= 1 x
3
+ x
4
= 1 x
4
= 1 x
3
+ x
5
= 1 x
j
= 0 atau 1, untuk j
{1,2,3,4,5}. Kendala-kendala masalah tersebut dapat
dituliskan dalam perkalian matriks AX=1, dengan
6 5
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
ij x
A a
1 2
3 4
5
1 1
1 ,
1 1
1 x
x X
x x
x
1
Dengan menggunakan
LINGO 11.0
diperoleh solusi untuk masalah SPP sebagai berikut: x
1
=x
2
=x
3
=0, x
4
=x
5
=1, dan nilai fungsi objektif sebesar 35 detail penghitungan dapat
dilihat di Lampiran 1. Jadi partisi dari I={1,2,3,4,5,6} dengan biaya minimum adalah
P
4
={1,4,5} dan P
5
={2,3,6}. Jika SPP 1 ditambahkan kendala
MX B
, dengan M dan B adalah kendala tambahan yang diinginkan, maka masalah
tersebut dikatakan
Masalah Pemartisian
Himpunan yang Diperumum generalized set partitioning problemGSPP.
Yen Birge 2006 Contoh 5 Masalah pemartisian himpunan
yang diperumum Misalkan diberikan himpunan I beserta
kelas-kelas P seperti pada Contoh 3 dan
dengan menambahkan kendala
1
2
n j
j
n x
pada contoh SPP maka GSPP dapat dimodelkan
Min 15x
1
+ 10x
2
+ 19x
3
+ 18x
4
+ 17x
5
terhadap kendala x
1
+ x
4
= 1 x
1
+ x
5
= 1 x
2
+ x
5
= 1 x
3
+ x
4
= 1 x
4
= 1 x
3
+ x
5
= 1
1 2
3 4
5
5 2
x x
x x
x
x
j
= 0 atau 1, untuk j
{1,2,3,4,5}. Dengan
menggunakan LINGO
11.0 diperoleh solusi untuk masalah GSPP sebagai
berikut: x
1
=x
2
=x
3
=0, x
4
=x
5
=1, dan nilai fungsi objektif sebesar 35 detail penghitungan dapat
dilihat di Lampiran 2.
III PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas deskripsi masalah dan metode-metode yang digunakan
untuk menyelesaikan masalah pada karya ilmiah ini.
3.1 Deskripsi Masalah
Masalah pada pendistribusian minuman ringan ini dinyatakan sebagai sebuah graf
G=V,A, dengan V ={0,1,2,3,…,n} adalah
himpunan verteks dan A adalah himpunan sisi berarah. Verteks 0 merupakan depot dan
sisanya berupa
verteks pelanggan.
Pendistribusian dilakukan
menggunakan beberapa tipe kendaraan yang dilihat dari
kapasitas pengangkutannya dan setiap tipe kendaraan terdiri atas beberapa kendaraan.
Biaya tetap kendaraan akan muncul bila kendaraan
tersebut digunakan
dalam pendistribusian dan biaya variabel dihitung
berdasarkan jarak tempuhnya.
Pada pendistribusian ini terdapat dua aktivitas yaitu pengiriman barang delivery
dan pengambilan barang pick-up. Barang yang dikirim merupakan produk baru,
sedangkan barang yang diambil merupakan produk daur ulang botol kosong. Pada karya
ilmiah ini, pengambilan barang pick-up tidak menjadi prioritas sehingga terkadang dapat
diabaikan. Aktivitas ini baru menjadi perhatian saat rute optimal telah terbentuk.
3.2 Langkah-langkah Penyelesaian Secara
Umum Metode
yang dilakukan
untuk menyelesaikan permasalahan pada karya
ilmiah ini ialah: 1.
Pembangkitan rute dengan metode NNH a.
Pengantaran barang dimulai oleh kendaraan dengan kapasitas terkecil
yang ada di depot. b.
Kendaraan tersebut mengunjungi pelanggan terdekat dari depot.
c. Jika kapasitas pada kendaraan masih
tersedia untuk pelanggan berikutnya, maka kunjungi pelanggan terdekat
dari pelanggan
pertama; jika
melebihi kapasitas yang tersisa, maka kendaraan
dapat mengunjungi
pelanggan lain yang cukup dekat dari pelanggan pertama sehingga tidak
melebihi kapasitas. Lakukan hingga tidak ada lagi permintaan pelanggan
yang dapat dimuat.
d. Setelah
seluruh permintaan
didistribusikan oleh
kendaraan, kemudian
kendaraan tersebut
kembali ke depot. e.
Dengan menggunakan tipe kendaraan yang sama bangkitkan rute-rute
lainnya sehingga permintaan seluruh pelanggan terpenuhi.
f. Pada tipe kendaraan lainnya, lakukan
hal yang sama. 2.
Perbaikan rute yang telah dibangkitkan sebelumnya dengan metode 2-0pt
a. Biaya yang dihasilkan oleh rute-rute
yang telah dibangkitkan kemudian dihitung.
b. Rute diperbaiki dengan metode 2-opt
dan biaya yang dihasilkan dihitung kembali.
c. Jika biaya hasil metode 2-opt lebih
kecil dari biaya sebelumnya, maka rute yang telah diperbaiki yang
kemudian akan digunakan, jika tidak maka rute awal yang digunakan.
3. Penentuan rute yang akan digunakan dari
rute-rute yang ada dengan metode PH akan dijelaskan pada 3.2.1.
4. Rute yang telah ditetapkan dari metode
PH diperbaiki dengan metode 3-opt, 2- interchange terbatas, dan penggabungan
rute akan dijelaskan pada 3.2.2. 3.2.1
Petal Heuristic PH
Petal heuristic PH mengonstruksi satu himpunan rute berdasarkan pada metode
NNH, kemudian memilih rute yang optimal dengan menyelesaikan masalah pemartisian
himpunan yang diperumum. Misalkan F adalah himpunan verteks yang digunakan
sebagai verteks seed yaitu verteks awal yang dikunjungi pertama kali dari depot verteks 0
karena memiliki jarak terdekat dari depot. Misalkan U adalah himpunan konsumen yang
belum dikunjungi, dan R adalah himpunan rute yang dibangkitkan. Untuk membuat rute
awal PH, maka digunakanlah pencarian rute NNH beberapa kali dari sebuah verteks seed.
Algoritme yang digunakan adalah sebagai berikut :
1. Inisialisasi
F ={0} dan
R
2. Pemilihan verteks seed i
Jika F=V maka dilanjutkan ke Langkah 4. Jika tidak, dipilih verteks dari V\F sebagai
verteks seed selanjutnya, didefinisikan sebagai i, yaitu verteks terdekat dari depot.
F
{i} menjadi F, U=V\{0,i}, rute 0,i,0 dimasukkan ke R .
3. Perluasan rute
Rute diperluas dengan cara memilih sebuah verteks j yang memungkinkan
untuk ditambahkan pada rute. Jika \
U F maka j dipilih dari U\F. Jika
tidak, j dipilih dari F\{i}. Himpunan U diperbarui
menjadi U\{j}
kemudian prosedur 2-opt digunakan pada rute
{0,i,..,j,0}, lalu hasilnya ditambahkan ke himpunan R. Lanjutkan ke Langkah 2.
4. Pengevaluasian rute
Pada tahap ini dilakukan evaluasi pada rute dengan menugaskan kendaraan pada
setiap rute serta menghitung biaya yang dikeluarkan tiap kendaraannya. E adalah
himpunan pasangan rute dengan kendaraan yang digunakan. Biaya yang dikeluarkan
setiap rute e sebesar
π
e
yaitu penjumlahan biaya tetap dan biaya variabel pada rute e.
5. Penentuan solusi masalah pemartisian
himpunan yang diperumum Misalkan
didefinisikan variabel
0-1 sebagai berikut:
Variabel : 1, jika rute digunakan
0, lainnya e
xe
Parameter: 1, konsumen dikunjungi di rute
0, lainnya i
e ei
1, rute ditetapkan untuk tipe 0, lainnya
e k
ek
π
e
biaya rute e m
k
banyaknya kendaraan tiap tipe
Fungsi objektif:
3.1
min
e e
e E
x
terhadap kendala 3.2
1
ei e
e E
i I
x
3.3
ek e
k e E
k K
x m
Fungsi objektif pada persamaan 3.1 adalah meminimumkan biaya kendaraan dari
keseluruhan rute yang ada. Kendala 3.2 menggambarkan bahwa setiap konsumen
hanya dikunjungi satu kali, sedangkan kendala 3.3 menggambarkan bahwa banyaknya rute
kendaraan yang akan dilewati pada setiap kendaraan maksimal sebanyak m
k
. 3.2.2
Tahap Perbaikan
Tahap perbaikan dilakukan pada setiap solusi dari metode yang ada yaitu NNH dan
PH. Pada tahap ini dilakukan tiga langkah perbaikan guna mencapai hasil yang terbaik,
yaitu prosedur 3-opt, prosedur 2-interchange terbatas, dan penggabungan rute.
Setelah terbentuk rute baru dari metode 2- interchange terbatas, jika terdapat kendaraan
yang dapat melayani dua rute sekaligus, maka digunakan NNH untuk menggabungkan kedua
rute tersebut. Jika hasil yang diperoleh dapat menghemat biaya maka rute gabungan
tersebut dapat menggantikan kedua rute tadi.
IV APLIKASI PERMASALAHAN
Misalkan suatu perusahaan minuman ringan dalam botol memiliki sebuah depot dan
mempunyai 9 pelanggan. Permintaan tiap pelanggan berbeda-beda, serta memiliki lima
kendaraan dengan
tiga tipe
kapasitas. Perusahaan depot merupakan tempat berawal
dan berakhirnya suatu rute pendistribusian. Misalkan perusahaan menerima pesanan dari
para pelanggan
setiap waktunya
dan mengantarkannya sesuai dengan pesanan yang
diinginkan. Selain pengiriman barang pesanan, distributor juga dapat melakukan
pengangkutan botol
kosong di
setiap pelanggan, namun pengangkutan ini hanya
dilakukan bila tersedia ruang di kendaraan tersebut.
Jika memungkinkan semua botol kosong pada pelanggan tersebut akan diangkut; jika
tidak, hanya beberapa saja yang diangkut dengan tetap memperhatikan sisa kapasitas
kendaraan. Pengangkutan botol kosong akan menghasilkan pendapatan bagi distributor
sebesar 0.1 ribu rupiahkrat. Biaya tetap kendaraan akan muncul bila kendaraan
tersebut digunakan
sedangkan biaya
perjalanan adalah biaya kendaraan yang bergantung pada jarak tempuh. Asumsi
pengantaran dan pengoperasian pickup diatur sebagai berikut:
1. Awal dan akhir rute kendaraan adalah
depot. 2.
Setiap pelanggan hanya boleh dikunjungi satu kali.
3. Semua permintaan diantarkan kepada para
pelanggan. 4.
Setiap satu hari sekali kendaraan yang akan digunakan diisi di depot.
5. Banyaknya pelanggan yang dikunjungi
oleh sebuah kendaraan harus memenuhi kendala kapasitas kendaraan.
6. Banyaknya botol kosong hasil dari
pengambilan barang pick-up dihitung setelah rute akhir terbentuk.
Berikut ini diberikan tabel mengenai permintaan pelanggan, informasi mengenai
kendaraan yang
dimiliki, serta
jarak antarpelanggan.
Tabel 2 Data permintaan di setiap pelanggan Pelanggan Permintaan
krat Botol minuman
kosong krat 1
17 17
2 3
2 3
7 7
4 17
18 5
8 6
6 12
15 7
19 19
8 17
17 9
2 5
Tabel 3 Data tiap tipe kandaraan Tipe kendaraan
1 2
3 Kapasitas
krat 25
30 40
Banyak kendaraan
buah 2
2 1
Biaya tetap ribu rupiah
100 150
150 Biaya
perjalanan ribu rupiah
1.5km 1 km
1.5km Kecepatan
kmjam 60
60 60
Tabel 4 Data jarak antarpelanggan 1
2 3
4 5
6 7
8 9
0 0.00 11.52 18.24 14.16 12.48 13.08 18.00 13.92 13.44 14.12 1
0.00 6.72 2.64 1.56 2.16 6.00
4.32 4.32
4.56 2
0.00 4.32 8.28 8.88 10.44 6.60
6.60 7.56
3 0.00 1.80 1.56 4.92
4.56 4.32
3.36 4
0.00 0.60 4.44 2.76
2.76 3.00
5 0.00 3.84 2.16
2.16 2.40
6 0.00 4.08
3.84 2.88
7 0.00
0.24 1.20
8 0.00
0.96 9
0.00 Keterangan: 0 menunjukkan depot sedangkan 1-9 menunjukkan pelanggan, data jarak
diadaptasi dari Raditya 2009
4.1 Konstruksi Rute dari Setiap Metode
