Contoh rute dengan 1-pemindahan verteks
Contoh rute dengan 2-pemindahan verteks Gambar 9 Ilustrasi metode 2-pemindahan
verteks. Sedangkan jika rute pada Gambar 8
dilakukan metode λ-penukaran verteks maka
banyaknya verteks pada setiap rute akan tetap. Pada 1-penukaran verteks, verteks 2 pada
Rute 1 menjadi bagian dari Rute 2 sebagai gantinya verteks 6 menjadi bagian dari Rute 1.
Begitu pula dengan 2-penukaran verteks, yang membedakan hanyalah banyaknya verteks
yang bertukar masing-masing sebanyak 2 verteks yang berurutan.
Contoh λ-penukaran verteks dapat dilihat pada Gambar 10.
Contoh rute dengan 1-penukaran verteks
Contoh rute dengan 2-penukaran verteks Gambar 10 Ilustrasi metode 2-penukaran
verteks.
2.3 Masalah Pemartisian Himpunan
Masalah pemartisian
himpunan juga
diperlukan dalam karya ilmiah ini. Definisi 7 Partisi
Misalkan diberikan dua himpunan, yaitu I={1,2,...,m} dan P = {P
1
,P
2
,...,P
n
} dengan P
j
adalah suatu himpunan bagian dari I, j J
= {1,2,...,n}. Himpunan P
j
,
j J
J
adalah partisi dari I jika:
j
j J
P I
dan untuk
, ,
j k
j k J
j k
P P
. Garfinkel Nemhauser 1972
Ilustrasi dari suatu partisi dapat dilihat pada contoh berikut:
Contoh 3
Misalkan diberikan
himpunan I={1,2,3,4,5,6} dan kelas-kelas himpunan
P
1
={1,2}, P
2
={3}, P
3
={4,6}, P
4
={1,4,5}, P
5
={2,3,6}. Partisi dari I di antaranya ialah {P
4
,P
5
}, karena untuk himpunan J ={4,5}
memenuhi:
j
j J
P I
dan
,
,
j k
j k J
j k
P P
. Sedangkan yang bukan partisi dari I ialah
{P
1
,P
2
,P
3
}, karena gabungannya bukan I. Masalah
pemartisian himpunan
set partitioning problemSPP adalah masalah
menentukan partisi dari himpunan I dengan biaya minimum. Untuk mendapatkan partisi
tersebut, misalkan dengan menggunakan data sebelumnya, P
j
={P
4
,P
5
} , 1, jika termasuk dalam partisi
0, lainnya
j
j x
1, jika elemen terdapat pada 0, lainnya
ij
j
i P
a
dengan P
j
adalah kelas himpunan c
j
adalah biaya dari P
j
. Bentuk umum SPP:
1
min
n c x
j j j
terhadap kendala
1
1 1, 2, ...,
n j
j
ij
a x i
m
x
j
= 0 atau 1 1
a
ij
= 0 atau 1 Model ini memiliki beberapa sifat penting
yaitu: Sifat 1 : Masalah pada model ini memiliki
kendala berbentuk persamaan. Sifat 2 : Nilai sisi kanan semua kendala
adalah 1. Garfinkel Nemhauser 1972
8 4
1 5
7 6
3 2
8 4
1 5
7 6
3 2
8 4
1 5
7 6
3 2
8 4
1 5
7 6
3 2
8 4
1 5
7 6
3 2
8 4
1 5
7 6
3 2
Contoh 4 Masalah pemartisian himpunan
Misalkan diberikan himpunan I beserta kelas-kelas P seperti pada Contoh 3. Misalkan
diketahui biaya dari setiap kelas P
j
yaitu c
j
, dengan
c
1
=15, c
2
=10, c
3
=19, c
4
=18, c
5
=17. Diinginkan himpunan dari P
j
yang dapat memartisi I dengan biaya minimum. Masalah
tersebut dapat dimodelkan sebagai masalah pemartisian himpunan
Min 15x
1
+ 10x
2
+ 19x
3
+ 18x
4
+ 17x
5
terhadap kendala x
1
+ x
4
= 1 x
1
+ x
5
= 1 x
2
+ x
5
= 1 x
3
+ x
4
= 1 x
4
= 1 x
3
+ x
5
= 1 x
j
= 0 atau 1, untuk j
{1,2,3,4,5}. Kendala-kendala masalah tersebut dapat
dituliskan dalam perkalian matriks AX=1, dengan
6 5
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
ij x
A a
1 2
3 4
5
1 1
1 ,
1 1
1 x
x X
x x
x
1
Dengan menggunakan
LINGO 11.0
diperoleh solusi untuk masalah SPP sebagai berikut: x
1
=x
2
=x
3
=0, x
4
=x
5
=1, dan nilai fungsi objektif sebesar 35 detail penghitungan dapat
dilihat di Lampiran 1. Jadi partisi dari I={1,2,3,4,5,6} dengan biaya minimum adalah
P
4
={1,4,5} dan P
5
={2,3,6}. Jika SPP 1 ditambahkan kendala
MX B
, dengan M dan B adalah kendala tambahan yang diinginkan, maka masalah
tersebut dikatakan
Masalah Pemartisian
Himpunan yang Diperumum generalized set partitioning problemGSPP.
Yen Birge 2006 Contoh 5 Masalah pemartisian himpunan
yang diperumum Misalkan diberikan himpunan I beserta
kelas-kelas P seperti pada Contoh 3 dan
dengan menambahkan kendala
1
2
n j
j
n x
pada contoh SPP maka GSPP dapat dimodelkan
Min 15x
1
+ 10x
2
+ 19x
3
+ 18x
4
+ 17x
5
terhadap kendala x
1
+ x
4
= 1 x
1
+ x
5
= 1 x
2
+ x
5
= 1 x
3
+ x
4
= 1 x
4
= 1 x
3
+ x
5
= 1
1 2
3 4
5
5 2
x x
x x
x
x
j
= 0 atau 1, untuk j
{1,2,3,4,5}. Dengan
menggunakan LINGO
11.0 diperoleh solusi untuk masalah GSPP sebagai
berikut: x
1
=x
2
=x
3
=0, x
4
=x
5
=1, dan nilai fungsi objektif sebesar 35 detail penghitungan dapat
dilihat di Lampiran 2.
III PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas deskripsi masalah dan metode-metode yang digunakan
untuk menyelesaikan masalah pada karya ilmiah ini.
3.1 Deskripsi Masalah
