BAB 1 Rangkuman Materi Eksponensial dan Logaritma

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 1

Eksponensial dan Logaritma

A. Eksponensial

I. Pengertian dan Sifat Eksponensial

Eksponensial merupakan oparasi bilangan dalam bentuk pemangkatan yang dinyatakan dalam bentuk = × × … .× . Eksponensial memilki sifat-sifat dalam pemangkatan, sifat-sifat tersebut adalah

1. _� = − ; ≠

2. ∙ = +

3. : = − ; ≠

4. = ; ≠

5. = ∙

6. ∙ = ∙

II. Penerapan Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial dapat diterapkan dalam kehiupan sehari-hari. Adapun contoh penerapannya sebgai berikut:

Seorang peneliti ingin mengembangkan sebuah virus untuk membuat racun hama padi. Pada awal penelitiannya, peneliti tersebut mengambil 1 virus untuk dikembangkan. Setelah dilakukan penelitian dan pengembangan, virus tersebut mampu membelah diri menjadi 3 virus tiap satu jam. Berapakah jumlah virus setelah 3 jam, 4 jam dan 5 jam? Penyelesaian: Pembelahan virus tersebut dapat diilustrasikan seperti berikut,

Ilustrasi di atas dapat pula disajikan dalam bentuk tabel pasangan jam(x) dan virus(y).

Jam (x) 0 1 2 3 4 5 …

Virus (y) 1 3 9 27 81 243 …

Bentuk … �

Jam(x) = 0  virus(y) =1

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 2 Dari tabel dapat disimpulkan bahwa banyak virus dapat dicari menggunakan sebuah fungsi = �. Fungsi = ini disebut dengan fungsi pemangkatan atau fungsi eksponensial.

III. Fungsi Eksponensial dan Grafiknya 1. Definisi Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial atau fungsi pemangkatan didefinisikan sebagai berikut, = ; > ; ≠

Contoh:

a) = �→ = ; > ; ≠ → � �� � ��

b) = − � → = − ; < ; ≠ → � �

c) = �→ = ; > ; = → � �

d) = �→ = ; > ; ≠ → � �� � ��

2. Melukis Grafik Fungsi Eksponensial

Melukis grafik fungsi eksponensial dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa titik bantu. Titik bantu tersebut dapat diambil beberapa nilai dan kemudian dimasukkan dalam fungsi sehingga menghasilkan . Maka diperoleh pasangan , .

Contoh: Lukislah grafik dari = � dan = �

Solusi: Untuk pengerjaannya dapat diambil beberapa nilai , misalnya diambil dari -2, -1, 0, 1, 2. Maka diperoleh pasangan titik sebagai berikut:

-2 -1 0 1 2

= 0,111 0,333 1 3 9

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 3 Dari pasangan titik di atas dapat dibuat grafik fungsi eksponensial sebagai berikut,

3. Sifat-Sifat Grafik Fungsi Eksponensial

Dari grafik yang telah dibuat, dapat diamati dan dianalisa sifat-sifat grafik fungsi eksponensial = � ; > ; ≠ adalah:

a) Kontinu.

b) Merupakan fungsi satu-satu. c) Domain: −∞, ∞ atau ∈ �. d) Range: , ∞ atau > , ∈ �. e) = � ; > maka grafiknya naik. f) = � ; < < maka grafiknya turun. g) Memotong sumbu di titik , .

h) Mempunyai asimtot datar sumbu .

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 4

IV. Persamaan Eksponensial

Ilustrasi:

Dari grafik di atas terdapat dua fungsi yakni = � dan = . Terdapat titik potong dari grafik kedua fungsi tersebut di titik , . Apakah ada titik potong lain dari kedua grafik tersebut?. Untuk menjawabnya dapat dilakukan langkah analisa sebagai berikut,

=

�₌

�₌

= → ℎ � ,

Dari ilustrasi di atas menunjukkan sebuah persamaan fungsi eksponensial. Persamaan fungsi eksponensial memiliki beberapa bentuk.

= =

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 5

V. Bentuk-Bentuk Persamaan Eksponensial

Persamaan fungsi eksponensial memiliki beberapa bentuk, bentuk-bentuk tersebut adalah:

1. Jika � = ; > ; ≠ , maka = . Contoh:

a. �− = Solusi: �− ₌

�− ₌

�− ₌ − = = = b. √ �+ =

Solusi:

�+ ₌

�+ ₌ + = = =

2. Jika � = � ; > ; ≠ , maka = . Contoh:

a) �− − −�+ = Solusi:

�− ₌ −�+

�− ₌ −�+ − = − + = =

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 6 b) _�+ = √ �−

Solusi:

�+ = √ �−

_�+ = √ �−

− �− ₌ �−

− �− ₌ �−

− − = −

= −2 = −

3. Jika � = � ; > ; ≠ ; > ; ≠ , maka = . Contoh:

a) �− = �− Solusi:

�− ₌ �−

�− ₌ �−

− = = =

b) −�− √ − � = Solusi:

−� _{= √} − �

−� ₌ − �

− � ₌ − �

− =

= =

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 7 4. Jika ℎ � = ℎ � , maka kemungkinannya adalah:

a) =

b) ℎ =

c) ℎ = dengan syarat > dan >

d) ℎ = − dengan syarat dan sama-sama genap atau sama-sama ganjil.

Contoh:

a. + �+ = + �− , untuk mencari yang memenuhi ada empat kemungkinan.

Diketahui: = + ; = − ; ℎ = +

i. =

+ = −

− = − −

− = − =

ii. ℎ =

+ = = − = −

iii. ℎ = syarat > ; > + =

= −  dimasukkan dalam ;

− = − + =  _>

− = − − = − − = −  _<

Jadi = − tidak memenuhi.

iv. ℎ = − syarat ; sama-sama genap atau sama-sama ganjil. + = −

= − −

= −  dimasukkan dalam ;

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 8

− = − − = − − = −  ganjil

Jadi = − memenuhi

Dari empat kemungkinan yang telah dianalisa diperoleh �� = {− , − , }. 5. Jika ℎ � = ℎ � , maka kemungkinannya adalah:

a) =

b) ℎ = dengan syarat ≠ dan ≠ Contoh:

a. + �+ = − �+

Untuk mencari yang memenuhi, ada dua kemungkinan.

Diketahui: = + ; = − ; ℎ = +

i. =

+ = − − = − − = − = −

ii. ℎ = dengan syarat ≠ dan ≠ + =

= −  dimasukkan dalam ; .

− = − + = − + = −  _≠

− = − − = −  _≠

Jadi = − memenuhi.

Dari dua kemungkinan yang dianalisa diperoleh �� = {− }

6. Jika � = , maka kemungkinannya adalah:

a) =

b) = dengan syarat ≠ c) = − dengan syarat genap Contoh:

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 9 Untuk mencari yang memenuhi, ada dua kemungkinan.

Diketahui: = + ; = +

i. =

+ = = − = −

ii. = dengan syarat ≠ + =

= −

= −  dimasukkan dalam

− = − + = − + =  _≠

Jadi = − memenuhi.

iii. = − dengan syarat genap + = −

= −

= −  dimasukkan dalam

− = − + = − − = −  genap

Jadi = − memenuhi.

Dari tiga kemungkinan yang telah dianalisa diperoleh �� = {− , − , − }. 7. Jika persamaan eksponensial memiliki bentuk persamaan kuadrat seperti

( � _{) + (} �_{) + = , maka dapat diselesaikan dengan memisalkan}

� _{= , kemudian menyelesaikan persamaan kuadrat yang terbentuk untuk .} Contoh:

a) �+ − ∙ �+ + √ =

Untuk mengerjakan persamaan di atas kita ubah ke bentuk �.

�+ _{− ∙} �+ _{+ √ =}

�_{∙ − ∙} �_{∙ + =}

∙ �_{− ∙} �_{+ =}

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 10 Kita misalkan �= , maka persamaannya menjadi,

∙ − ∙ + =

∙ − ∙ + = :

− ∙ + =

− − =

= ; =

Kita cari nilai yang memenuhi dari � = .

i. � =

� ₌

� ₌

=

ii. � =

� ₌

� ₌

=

Jadi nilai yang memenuhi untuk persamaan �+ − ∙ �+ + √ = adalah = { , }.

VI. Pertidaksamaan Eksponensial

Pada pembahasan sebelumnya telah dipelajari tentang grafik fungsi eksponensial. Dikatahui bahwa grafik fungsi dari = � naik jika nilai > , dan grafik fungsi

= � _{turun jika < < .}

Untuk lebih memahami pertidaksamaan eksponensial perhatikan ilustrasi berikut.

=

> =< <

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 11 Dari gambar 6.1 dapat disimpulkan bahwa < ↔ < . Dengan memanfaatkan sifat kemonotonan fungsi eksponensial diperoleh,

> ↔ > untuk >

Sedangkan dari gambar 6.2 dapat disimpulkan bahwa < ↔ > . Dengan memanfaatkan sifat kemonotonan fungsi eksponensial diperoleh,

> ↔ < untuk < < Contoh:

a) √ �− �+

Jawab:

√ �− �+

√ �− �+

�− �+

�− �+ _{→ = ; >}

− +

− +

− − b) �+ > �+

Jawab:

( ) �+ > ( )�+ ( )

�+

> ( )�+ ( ) �+ > ( )�+ ( ) �+ > ( )

�+

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 12

+ < + → ( ℎ = ; < < )

− > − > − >

c) � + �

Jawab:

( )� + �

( )� + ( ₋ ) �

( )� + ( ₋ ) �

( )� + ( )− �

+ − → ( ℎ = ; < < )

+ +

+ + = → � ℎ "="

+ + =

= − ; = −

Kemudian diperiksa daerah sekitar = − dan = − .

a. Daerah < − , diambil = − kemudian dimasukkan kedalam = + + .

= + +

− = − + − + = − + = > � ℎ�

Jadi daerah < − tidak memenuhi + + .

b. Daerah − < < − , diambil = − kemudian dimasukkan kedalam

= + + .

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 13

− = − + − + = − + = − < ℎ�

Jadi daerah − < < − memenuhi + + .

c. Daerah > − , diambil = kemudian dimasukkan kedalam = + + .

= + +

= + + = + + = > � ℎ�

Jadi daerah > − tidak memenuhi + + .

Jadi yang memenuhi � + � adalah �� = { │ − − , � �}.

B. Logaritma

I. Pengertian Logaritma

Logaritma adalah kebalikan dari pemangkatan (eksponensial). Pada eksponensial dinyatakan dalam bentuk = . Maka bila dinyatakan dalam logaritma menjadi

��� = .

Contoh:

a) = → l�� =

b) = → l�� =

c) = → l�� =

II. Fungsi Logaritma dan Grafiknya

Jika fungsi eksponensial dinyatakan dalam bentuk = � dengan > dan ≠ . Maka fungsi logaritma dinyatakan dengan bentuk = ��� dengan > ; ≠ dan > .

Contoh:

a) = l�� → >

b) = l�� → >

c) = l�� → >

Fungsi logaritma juga dapat dilukiskan grafiknya dalam bidang cartesius. Untuk melukisnya sama dengan melukis grafik fungsi eksponensial, yang membedakan

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 14 adalah pada pemilihan interval . Untuk fungsi logaritma interval hanya boleh >

. Sebagai contoh akan digambarkan grafik fungsi logaritma = l�� dan = l�� , dengan interval yang diambil = { , , , , , , }. Untuk mengerjakan kita buat tabel pasangan titik dan seperti berikut,

1 2 4 8

= ��� -3 -2 -1 0 1 2 3

= ��� 3 2 1 0 -1 -2 -3

Dari tabel pasangan titik di atas dapat dibuat tabel sebagai berikut,

Dari grafik fungsi logaritma di atas, dapat kita simpulkan mengenai sifat grafik tersebut. Grafik fungsi logaritma mempunyai sifat:

a. Kontinu

b. Merupakan fungsi satu-satu. c. Domain: > , ∈ �. d. Range: −∞, ∞ atau ∈ �. e. Grafik = l�� naik jika > . f. Grafik = l�� turun jika < < . g. Memotong sumbu , .

h. Mempunyai asimtot tegak sumbu .

= ���

= ���

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1

2 3 4

-1 -2 -3

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 15

III. Persamaan Logaritma

Fungsi logaritma juga memiliki beberapa bentuk persamaan, sama halnya dengan persamaan pada fungsi eksponensial. Sebelum mambahas tentang bentuk persamaan pada fungsi logaritma berikut adalah sifat-sifat dari logaritma:

a. ��� = → > .

b. ��� = → >

c. ��� + ��� = ��� ∙ → > ; ≠ ; > ; >

d. ��� − ��� = ��� → > ; ≠ ; > ; >

e. ��� = ���

��� → > ; ≠ ; > ; >

f. ��� = ∙ ��� → > ; ≠ ; >

g. ��� = ∙ ��� → > ; ≠ ; > ; ≠

h. ��� = → > ; ≠ ; >

i. ��� ∙ ��� = ��� → > ; ≠ ; > ; >

j. ��� =

��� → > ; ≠ ; >

k. ��� = − ��� → > ; ≠ ; > ; >

IV. Bentuk-Bentuk Persamaan Logaritma

a) l�� = l�� ; > ; ≠ ; > ; > maka = .

Contoh:

1. l�� + = l��

Jawab:

a. Mencari daerah yang terdefinisi.

l�� + maka + >

> −

b. Mencari nilai yang memenuhi persamaan.

l�� + = l��

+ = → = + >

-2

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 16 + =

= − = > −

Jadi yang terdefinisi dan memenuhi l�� + = l�� adalah = .

2. l�� + =

Jawab:

a. Mencari daerah yang terdefinisi. l�� + maka + > > −

> −

b. Mencari nilai yang memenuhi persamaan.

l�� + =

l�� + = ∙

l�� + = ∙ l��

l�� + = l��

l�� + = l��

+ =

+ = = − =

= > −

Jadi yang terdefinisi dan memenuhi l�� + = adalah = .

b) l�� = l�� ; > ; ≠ ; > ; > maka = .

Contoh:

1. l�� + = l�� −

Jawab:

-5

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 17 a. Menentukan daerah yang terdefinisi.

l�� + maka + >

> −

> −

l�� − maka − >

<

Jadi daerah yang terdefinisi adalah − < < (diantara − dan − ) b. Mencari nilai yang memenuhi persamaan.

l�� + = l�� −

+ = − + = −

= −

= − = − → − < <

Jadi yang terdefinisi dan memenuhi adalah = − .

c) l�� = l�� ; > ; ≠ ; > ; > maka = .

Contoh:

1. l�� − = l�� −

Jawab:

a. Menentukan daerah yang tedefinisi.

l�� − ; l�� −

Maka − > > >

b. Mencari nilai yang memenuhi persamaan.

l�� − = l�� −

− = =

-3

Daerah 2

3

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 18 = = >

Jadi yang terdefinisi dan memenuhi l�� − = l�� − adalah = .

d) ℎ � l�� = ℎ � l�� ; ℎ > ; ℎ ≠ ; > ; >

maka = .

Contoh:

1. �− l�� − = �− l�� + Jawab:

a. Menentukan daerah yang terdefinisi.

ℎ = − ; = − ; = +

ℎ > ℎ ≠ > >

− > − ≠ − > + >

> ≠ > > −

Jadi daerah yang terdefinisi adalah > ; ≠ . b. Mencari nilai yang memenuhi persamaan.

l�� −

�− ₌ �− _{l�� +}

− = +

− = +

=

= > ; = ≠

Jadi yang terdefinisi dan memenuhi adalah = .

e) ∙ l�� + ∙ l�� + = ; > ; ≠ ; > ; dan

, , ∈ � maka untuk mencari nilai yang memenuhi adalah dengan

Daerah

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 19 memisalkan l�� = . Sehingga persamaan di atas menjadi persamaan kuadrat, ∙ + . + = kemudian dicari akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut.

Contoh:

1. l�� − ∙ l�� + =

Jawab:

a. Mencari daerah yang terdefinisi.

l�� → =

> → >

b. Mencari nilai yang memenuhi.

l�� − ∙ l�� + =

( l�� ) − ∙ ( l�� ) + =

Dimisalkan l�� = , maka persamaan di atas menjadi:

− + =

− − =

= ; =

Dicari nilai melalui persamaan l�� = :

a. l�� =

l�� = l�� = l��

= > → ℎ�.

b. l�� =

l�� =

l�� = ∙ l�� l�� = l�� l�� = l��

= > → ℎ�.

Jadi yang memenuhi adalah = { , }.

Daerah 0

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 20

V. Pertidaksamaan Logaritma

Sama halnya denga fungsi eksponensial, pada logaritma juga dibahas masalah pertidaksamaan. Dengan ilustrasi yang sama pada pertidaksamaan eksponensial diperoleh bentuk pertidaksamaan fungsi logaritma sebagai berikut:

A. Untuk >

��� > ��� , > >

��� < ��� , < <

B. Untuk < <

��� > ��� , < <

��� < ��� , > >

Contoh:

1. Tentukan yang memenuhi untuk l�� − < ! Jawab:

a. Menentukan daerah yang terdefinisi.

Dari pertidaksamaan di atas diketahui = − Syarat > → − >

>

Jadi daerah yang terdefinisi adalah > . b. Mencari nilai yang memenuhi.

l�� − <

l�� − < ∙ l��

l�� − < l��

l�� − < l��

− < ,  Tanda tetap karena = ; > < +

<

Jadi yang terdefinisi dan memenuhi l�� − < adalah < < .

Daerah 1

1

Daerah 5 Daerah

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 21 2. Tentukan yang memenuhi untuk l�� − !

Jawab:

a. Menentukan daerah yang terdefinisi.

Dari pertidaksamaan di atas diketahui = − Syarat > → − >

> >

Jadi daerah yang terdefinisi adalah > . b. Mencari nilai yang memenuhi.

l�� −

l�� − < ∙ l�� ( )

l�� − < l�� ( )

l�� − < l�� ( )

− > , _{Tanda b��ubah �a��na = ; < <}

< + < + < < <

Jadi yang terdefini dan memenuhi

l�� − adalah < < .

Daerah 4

Daerah 4

Daerah

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 17

a. Menentukan daerah yang terdefinisi.

l�� + maka + >

> −

> −

l�� − maka − >

<

Jadi daerah yang terdefinisi adalah − < < (diantara − dan − ) b. Mencari nilai yang memenuhi persamaan.

l�� + = l�� −

+ = −

+ = −

= −

= − = − → − < <

Jadi yang terdefinisi dan memenuhi adalah = − .

c) l�� = l�� ; > ; ≠ ; > ; > maka = .

Contoh:

1. l�� − = l�� −

Jawab:

a. Menentukan daerah yang tedefinisi.

l�� − ; l�� −

Maka − >

> >

b. Mencari nilai yang memenuhi persamaan.

l�� − = l�� −

− = =

-3

Daerah

2

3

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 18 = = >

Jadi yang terdefinisi dan memenuhi l�� − = l�� − adalah = .

d) ℎ � l�� = ℎ � l�� ; ℎ > ; ℎ ≠ ; > ; >

maka = .

Contoh:

1. �− l�� − = �− l�� +

Jawab:

a. Menentukan daerah yang terdefinisi.

ℎ = − ; = − ; = +

ℎ > ℎ ≠ > >

− > − ≠ − > + >

> ≠ > > −

Jadi daerah yang terdefinisi adalah > ; ≠ .

b. Mencari nilai yang memenuhi persamaan.

l�� −

�− ₌ �− _{l�� +}

− = +

− = +

=

= > ; = ≠

Jadi yang terdefinisi dan memenuhi adalah = .

e) ∙ l�� + ∙ l�� + = ; > ; ≠ ; > ; dan

, , ∈ � maka untuk mencari nilai yang memenuhi adalah dengan Daerah

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 19

memisalkan l�� = . Sehingga persamaan di atas menjadi persamaan kuadrat, ∙ + . + = kemudian dicari akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut.

Contoh:

1. l�� − ∙ l�� + =

Jawab:

a. Mencari daerah yang terdefinisi.

l�� → =

> → >

b. Mencari nilai yang memenuhi.

l�� − ∙ l�� + =

( l�� ) − ∙ ( l�� ) + =

Dimisalkan l�� = , maka persamaan di atas menjadi:

− + =

− − =

= ; =

Dicari nilai melalui persamaan l�� = :

a. l�� =

l�� = l�� = l��

= > → ℎ�.

b. l�� =

l�� =

l�� = ∙ l�� l�� = l�� l�� = l��

= > → ℎ�.

Jadi yang memenuhi adalah = { , }.

Daerah

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 20

V. Pertidaksamaan Logaritma

Sama halnya denga fungsi eksponensial, pada logaritma juga dibahas masalah pertidaksamaan. Dengan ilustrasi yang sama pada pertidaksamaan eksponensial diperoleh bentuk pertidaksamaan fungsi logaritma sebagai berikut:

A. Untuk >

��� > ��� , > >

��� < ��� , < <

B. Untuk < <

��� > ��� , < <

��� < ��� , > >

Contoh:

1. Tentukan yang memenuhi untuk l�� − < ! Jawab:

a. Menentukan daerah yang terdefinisi.

Dari pertidaksamaan di atas diketahui = − Syarat > → − >

>

Jadi daerah yang terdefinisi adalah > .

b. Mencari nilai yang memenuhi.

l�� − <

l�� − < ∙ l��

l�� − < l��

l�� − < l��

− < ,  Tanda tetap karena = ; >

< + <

Jadi yang terdefinisi dan memenuhi

l�� − < adalah < < .

Daerah

1

1

Daerah

5

Daerah

Eksponensial & Logaritma sandigalesh.blogspot.com | 21

2. Tentukan yang memenuhi untuk l�� − ! Jawab:

a. Menentukan daerah yang terdefinisi.

Dari pertidaksamaan di atas diketahui = − Syarat > → − >

> >

Jadi daerah yang terdefinisi adalah > .

b. Mencari nilai yang memenuhi.

l�� −

l�� − < ∙ l�� ( )

l�� − < l�� ( )

l�� − < l�� ( )

− > , _{Tanda b��ubah �a��na = ; < <} < +

< + < < <

Jadi yang terdefini dan memenuhi

l�� − adalah < < .

Daerah

4

Daerah

4

Daerah