Gambar 3.2 merupakan diagram pemberian obat untuk
pengobatan ISK melalui Intravena.
B. FORMULASI MODEL PEMBERIAN OBAT
Dari Gambar 3.1 dibentuk model matematika yang menunjukkan pengobatan penyakit infeksi saluran kemih untuk pemberian obat melalui
oral. 1.
Kasus I: Pemberian obat melalui oral dan obat dari lambung langsung masuk ke darah
Asumsi-asumsi yang digunakan untuk membentuk model matematika pada kasus I adalah sebagai berikut:
a. Pengobatan manusia yang terserang infeksi saluran kemih bagian
atas dan bagian bawah sama, yaitu melalui darah. b.
Obat diberikan satu kali dan dalam selang waktu tertentu. Obat diberikan satu kali artinya manusia yang terserang infeksi saluran
kemih hanya memasukkan obat ke dalam tubuh satu kali selama Gambar 3.2 Diagram Pemberian Obat melalui Intravena
Darah
Target Aksi
Pemberian Obat
terserang penyakit. Sedangkan, obat yang diberikan selama selang waktu tertentu artinya obat dimasukkan ke dalam tubuh selama
selang waktu tertentu sampai manusia yang terserang infeksi saluran kemih dapat dikatakan sembuh.
c. Obat dari lambung langsung menuju darah.
Sebelum didistribusikan ke seluruh tubuh oleh darah, obat melewati lambung dengan jumlah obat dalam lambung
� . Setelah itu, obat masuk ke dalam darah dengan konstanta laju serap obat dari
lambung ke darah . Gambar 3.3 merupakan diagram
kompartemen pertama yang terbentuk untuk kasus I.
Berdasarkan Gambar 3.3, laju perubahan obat di dalam lambung dapat dinyatakan dengan
{ ℎ
} = { } − {
ℎ }
Gambar 3.3 Diagram Kompartemen Pertama untuk Kasus I Lambung
� Pemberian
Obat
dengan: {
} = , dan
{ −
ℎ } =
�
Sehingga laju perubahan obat di dalam lambung adalah sebagai berikut: �
= − �
� = −
� .
Solusi dari persamaan . adalah
� = −
�
∫ � � = ∫− � = −
+ Misalkan
� = � , maka persamaan menjadi
� = −
+ �
= � =
Substitusikan persamaan ke
, sehingga menjadi � = −
+ �
� − � = −
� � = −
� � =
−
� = �
−
.
Berikut grafik penyelesaian persamaan . .
Diberikan jumlah awal obat � = , dan konstanta serap obat
dari lambung
menuju darah
= . .
Gambar 3.4
menunjukkan grafik terserapnya obat dalam waktu tertentu yang meninggalkan lambung menuju darah.
Gambar 3.4 Grafik Penyelesaian Kompartemen Pertama untuk Kasus I
Obat yang berada di lambung kemudian masuk ke darah. Setelah obat yang didistribusikan dari lambung sampai ke darah, obat langsung
didistribusikan menuju target aksi. Berikut diagram kompartemen kedua untuk kasus I.
Berdasarkan Gambar 3.5, laju perubahan obat di dalam darah dapat dinyatakan dengan
{ ℎ
ℎ } = {
ℎ } − {
ℎ }
dengan: {
ℎ } =
� , dan
{ ℎ
} = �
Gambar 3.5 Diagram Kompartemen Kedua untuk Kasus I Darah
�
Target Aksi
Sehingga laju perubahan obat di dalam darah adalah sebagai berikut: �
= � −
� .
Substitusikan persamaan . ke persamaan . , sehingga persamaan
menjadi �
= �
−
− �
� =
�
−
− � .
Persamaan . merupakan persamaan diferensial linear orde satu. Solusi
dari persamaan . adalah
� +
� = �
−
Misalkan, =
dan =
�
−
, solusi dari persamaan tersebut adalah
�
∫ �
= ∫
∫ �
�
∫
= ∫ �
− ∫
�
∫
= � ∫
− ∫
� =
� ∫
−
� =
� ∫
− +
Misalkan, = −
+
= − +
− +
=
Substitusikan = −
+ dan
=
− +
ke persamaan ,
sehingga menjadi �
= � ∫ − +
� =
� −
+ ∫
� =
� −
+ +
� =
� −
+
− +
+
� =
�
−
− +
+
� = �
−
− +
+
� = �
−
− +
+
� = �
−
− +
+
−
Misalkan pada awalnya tidak ada obat dalam darah atau �
= , maka persamaan
menjadi =
�
−
− +
+
−
= �
− +
+
= �
− +
+
= �
−
Substitusikan persamaan ke
, sehingga menjadi � =
�
−
− +
+ �
−
−
� = �
−
− +
+ �
−
− � =
�
−
− −
�
−
− � =
� −
−
−
−
.
Berikut grafik penyelesaian persamaan . .
Gambar 3.6 Grafik Penyelesaian Kompartemen Kedua untuk Kasus I
Jumlah awal obat � = , yang terlebih dahulu masuk ke
lambung dengan konstanta serap obat dari lambung menuju darah =
. kemudian masuk ke darah. Gambar 3.6 menunjukkan grafik
terserapnya obat dalam waktu tertentu di dalam darah. Grafik tersebut menyatakan bahwa berkurangnya jumlah obat dalam darah setelah
melewati lambung. Misalkan obat diberikan setiap 8 jam sekali, maka grafik
penyelesaian kompartemen kedua untuk kasus I sebagai berikut.
Gambar 3.7 menunjukkan penyelesaian untuk pemberian obat yang diberikan 8 jam sekali. Setelah 8 jam, obat akan diberikan kembali. Jumlah
obat yang diberikan 8 jam sebelumnya masih tersisa di dalam tubuh, sehingga ketika obat diberikan kembali setiap 8 jam sekali maka jumlah
Gambar 3.7 Grafik Penyelesaian untuk Pemberian Obat 8 jam sekali
obat akan terus bertambah. Obat akan habis atau hilang di dalam tubuh ketika pemberian obat dalam waktu 8 jam sekali dihentikan.
2. Kasus II: Pemberian obat melalui oral, sebagian obat dari lambung
masuk ke usus dan sebagian masuk ke darah Asumsi-asumsi yang digunakan untuk membentuk model
matematika dari kasus II adalah sebagai berikut: a.
Pengobatan manusia yang terserang infeksi saluran kemih bagian atas dan bagian bawah sama, yaitu melalui darah.
b. Obat diberikan satu kali dan dalam selang waktu tertentu. Obat
diberikan satu kali artinya manusia yang terserang infeksi saluran kemih hanya memasukkan obat ke dalam tubuh satu kali selama
terserang penyakit. Sedangkan, obat yang diberikan selama selang waktu tertentu artinya obat dimasukkan ke dalam tubuh selama
selang waktu tertentu sampai manusia yang terserang infeksi saluran kemih dapat dikatakan sembuh.
c. Sebagian obat dari lambung langsung terserap ke dalam darah dan
sebagian lagi terserap ke usus. Setelah obat masuk ke dalam lambung, sebagian obat langsung terserap ke dalam darah dan
sebagian lagi terserap ke dalam usus bersamaan dengan makanan yang dikonsumsi.
Berikut diagram kompartemen pertama untuk kasus II.
Berdasarkan Gambar 3.8, laju perubahan obat di dalam lambung dapat dinyatakan dengan
{ ℎ
} = { } − {
ℎ }
− { } − {
ℎ }
− { ℎ
}
dengan: {
} =
{ ℎ
} = �
Usus Lambung
Pemberian Obat
Gambar 3.8 Diagram Kompartemen Pertama untuk Kasus II
{ } =
�
{ ℎ
} = � , dan
{ ℎ
} = �
Sehingga laju perubahan obat di dalam lambung adalah sebagai berikut: �
= − � −
� − � −
�
� = −
� − � −
� − � .
Jumlah obat dalam lambung sama dengan jumlah obat yang masuk ke dalam lambung dikurangi jumlah obat yang meninggalkan lambung.
Obat meninggalkan lambung menuju usus. Secara matematis dapat dituliskan dengan
� = � − � , sehingga � = � − � . Oleh karena itu, persamaan
. menjadi �
= − � −
� − � − � −
� − � �
= − � −
� − � +
� − � +
�
� = −
� − � −
� + � −
� + �
� = −
� − � +
� + � −
� − � .
Persamaan . merupakan persamaan diferensial linear orde satu. Solusi
dari persamaan . adalah
� +
� + � −
� − � = −
� − �
� +
+ −
− � = −
− �
Misalkan, =
+ −
− dan
= − −
� , solusi dari persamaan tersebut adalah
�
∫ �
= ∫
∫ �
�
∫ +
− −
= ∫ − −
�
∫ +
− −
�
∫ +
− −
= − −
� ∫
∫ +
− −
�
+ −
−
= − −
� ∫
+ −
−
Misalkan, =
+ −
− =
+ −
−
+ −
− =
Substitusikan =
+ −
− dan
=
+ −
−
ke persamaan
, sehingga menjadi �
+ −
−
= − −
� ∫ +
− −
�
+ −
−
= −
− �
+ −
− ∫
�
+ −
−
= −
− �
+ −
− +
�
+ −
−
= −
− �
+ −
−
+ −
−
+
�
+ −
−
= −
− �
+ −
−
+ −
− +
� = −
− �
+ −
−
+ −
−
+ −
−
+
+ −
−
� = −
− �
+ −
− +
+ −
−
� = −
− �
+ −
− +
− +
− −
Misalkan �
= � , maka persamaan menjadi
� = −
− �
+ −
− +
− +
− −
� = −
− �
+ −
− +
� = −
− �
+ −
− +
= +
− −
� − − −
� +
− −
= � +
� − � −
� + � +
� +
− −
= � +
� +
− −
= +
� +
− −
Substitusikan persamaan ke
, sehingga menjadi � =
− −
� +
− −
+ +
� +
− −
− +
− −
� = −
− �
+ −
− +
+ �
− +
− −
+ −
− .
Berikut grafik penyelesaian persamaan . .
Diberikan jumlah awal obat � = , , konstanta laju serap obat
dari lambung menuju darah = .
, konstanta laju serap obat Gambar 3.9 Grafik Penyelesaian Kompartemen Pertama untuk Kasus II
dari lambung menuju usus = .
, konstanta laju serap obat dari usus menuju darah
= . , dan konstanta laju serap obat
dari usus menuju organ tubuh lainnya = .
. Gambar 3.9 menunjukkan grafik terserapnya obat dalam waktu tertentu. Sebagian dari
obat masuk ke dalam usus dan sebagian lagi menuju darah. Kompartemen kedua terjadi di darah. Setelah obat yang melewati
lambung dan usus sampai ke darah, obat langsung didistribusikan menuju target aksi dengan jumlah obat dalam darah
� dan konstanta laju serap obat dari darah ke target aksi
. Berikut diagram kompartemen kedua untuk kasus II.
Berdasarkan Gambar 3.10, laju perubahan distribusi obat di dalam darah dapat dinyatakan dengan
{ ℎ
ℎ } = {
ℎ } − {
ℎ }
Gambar 3.10 Diagram Kompartemen Kedua untuk Kasus II Darah
�
Target Aksi
dengan:
{ ℎ
} = � , dan
{ ℎ
} = � .
Sehingga laju perubahan obat di dalam darah adalah �
= � −
� .
Substitusikan persamaan . ke persamaan . , sehingga persamaan menjadi
� =
− −
� +
− −
+ +
�
− +
− −
+ −
− −
� .
Persamaan .
merupakan persamaan diferensial linear orde satu. Solusi dari persamaan .
adalah �
+ � =
− −
� +
− −
+ +
�
− +
− −
+ −
−
Misalkan, =
dan =
− −
� +
− −
+
+ �
− +
− −
�
+ −
−
, solusi dari persamaan tersebut adalah
�
∫ �
= ∫
∫ �
�
∫
= ∫ −
− �
+ −
− +
+ �
− +
− −
+ −
−
∫
� = ∫
− −
� +
− −
+ +
�
− +
− −
+ −
− �
= ∫ −
− �
+ −
− + ∫
+ �
− +
− −
+ −
− �
= −
− �
+ −
− ∫
+ +
� +
− −
∫
− +
− −
� =
− −
� +
− −
∫ +
+ �
+ −
− ∫
− +
− +
+
Misalkan, =
= =
= − +
− +
+
= − +
− +
+
− +
− +
+ =
Substitusikan =
, =
, = − +
− +
+ , dan
=
− +
− +
+
ke persamaan , sehingga menjadi
� =
− −
� +
− −
∫ +
+ �
+ −
− ∫
− + − + +
� =
− −
� +
− −
∫
+ +
� +
− −
− + − + + ∫
� =
− −
� +
− −
+ +
� +
− −
− + − + +
� =
− −
� +
− −
+ +
� +
− −
− + − + +
− +
− +
+
+
� = −
− �
+ −
− +
+ �
+ −
− − + − + +
− +
− +
+
+
� = −
− �
+ −
− +
+ �
+ −
− − + − + +
− −
+ +
+
−
Misalkan �
= , maka persamaan menjadi
= −
− �
+ −
−
+ +
� +
− −
− + − + +
− −
+ +
+
−
= −
− �
+ −
− +
+ �
+ −
− − + − + + +
= −
− �
+ −
− +
+ �
+ −
− − + − + + +
= − −
− �
+ −
− −
+ �
+ −
− − + − + +
Substitusikan persamaan ke
, sehingga menjadi � =
− −
� +
− −
+ +
� +
− −
− + − + +
− −
+ +
+ − −
− �
+ −
−
− +
� +
− −
− + − + +
−
� = −
− �
+ −
− −
− −
� +
− −
−
+ +
� +
− −
− + − + +
− −
+ +
+ − +
� +
− −
− + − + +
−
� = −
− �
+ −
− −
−
+ +
� +
− −
− + − + +
− −
+ +
−
−
Berikut grafik penyelesaian persamaan .
.
Gambar 3.11 menunjukkan jumlah obat yang tersisa di dalam darah. Setelah melewati lambung dan masuk ke usus, obat akan terserap
ke dalam darah. Obat yang terserap ke dalam darah akan didistribusikan ke organ tubuh lainnya.
Misalkan obat diberikan setiap 8 jam sekali, maka grafik penyelesaian kompartemen kedua untuk kasus II sebagai berikut.
Gambar 3.11 Grafik Penyelesaian Kompartemen Kedua untuk Kasus II
Gambar 3.12 Grafik Penyelesaian untuk Pemberian Obat 8 jam sekali
Grafik pada Gambar 3.12 menunjukkan penyelesaian untuk pemberian obat yang diberikan 8 jam sekali untuk kasus II. Obat akan
diberikan kembali dalam selang waktu 8 jam. Gambar 3.12 menunjukkan bahwa dalam selang waktu 8 jam, obat yang tersedia di dalam darah masih
ada. Dengan kata lain, obat akan terus bertambah selama pemberian obat dalam waktu 8 jam sekali diberikan. Obat akan habis atau hilang ketika
pemberian obat dalam waktu 8 jam sekali dihentikan. Waktu habisnya obat di dalam tubuh untuk kasus II lebih lama dibandingkan kasus I.
Dari Gambar 3.2 dibentuk model matematika yang menunjukkan pengobatan penyakit infeksi saluran kemih untuk pemberian obat melalui
intravena. 3.
Kasus III: Pemberian obat melalui intravena Untuk kasus ketiga III, asumsi-asumsi yang digunakan untuk
membentuk model matematika tersebut adalah sebagai berikut: a.
Pengobatan manusia yang terserang infeksi saluran kemih bagian atas dan bagian bawah sama, yaitu melalui darah.
b. Obat diberikan satu kali dan dalam selang waktu tertentu. Obat
diberikan satu kali artinya manusia yang terserang infeksi saluran kemih hanya memasukkan obat ke dalam tubuh satu kali selama
terserang penyakit. Sedangkan, obat yang diberikan selama selang waktu tertentu artinya obat dimasukkan ke dalam tubuh selama
selang waktu tertentu sampai manusia yang terserang infeksi saluran kemih dapat dikatakan sembuh.
c. Obat yang diberikan langsung menuju darah.
Kompartemen yang terbentuk untuk pemberian obat melalui intravena hanya terjadi di darah. Setelah sampai di darah dengan jumlah
obat dalam darah � , obat didistribusikan lagi menuju target aksi dengan
konstanta laju serap obat dari darah ke target aksi . Berikut diagram
pemberian obat untuk kasus III:
Berdasarkan Gambar 3.13, laju perubahan obat di dalam darah dapat dinyatakan dengan
{ ℎ
ℎ } = {
ℎ } − {
ℎ }
Darah �
Pemberian Obat
Target Aksi
Gambar 3.13 Diagram Pemberian Obat untuk Kasus III
dengan: {
ℎ } = , dan
{ ℎ
} = �
Sehingga laju perubahan obat di dalam darah adalah sebagai berikut. �
= − �
� = −
� .
Solusi dari persamaan .
adalah �
= − �
∫ � � = ∫− � = −
+
Misalkan �
= � , maka persamaan menjadi �
= − +
� =
� =
Substitusikan persamaan ke
, sehingga menjadi � = −
+ �
� − � = −
� � = −
� � =
−
� = �
−
. Berikut grafik penyelesaian persamaan
.
Diberikan jumlah awal obat � = , dan konstanta laju serap
obat dari darah menuju target aksi = .
. Gambar 3.4 menunjukkan grafik terserapnya obat dalam waktu tertentu yang
meninggalkan darah menuju target aksi atau organ tubuh lainnya. Jumlah obat akan berkurang bahkan habis dalam selang waktu tertentu karena
tidak diberikan obat kembali. Gambar 3.14 Grafik Penyelesaian untuk Kasus III
Dari penyelesaian kasus III, misalkan pemberian obat dilakukan setiap 8 jam sekali, maka grafik penyelesaian untuk kasus III sebagai
berikut.
Gambar 3.15 menunjukkan grafik penyelesaian untuk pemberian obat yang diberikan 8 jam sekali untuk kasus III. Jumlah obat akan terus
bertambah apabila obat diberikan dalam selang waktu 8 jam sekali. Jika pemberian obat dalam selang waktu 8 jam sekali dihentikan, maka jumlah
obat yang diberikan untuk kasus III lebih cepat habis dibandingkan dengan kasus I dan II. Hal ini disebabkan pada kasus III obat langsung masuk ke
dalam darah.
C. FORMULASI MODEL PERTUMBUHAN BAKTERI E. COLI