B. PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-
variabel bebas Didit Budi, 2011. Terbentuknya persamaan diferensial sebagai suatu model matematika berasal dari ketertarikan dan
keingintahuan seseorang tentang perilaku atau fenomena perubahan sesuatu di dunia nyata Kartono, 2012. Dengan memperhatikan
banyaknya variabel bebas yang terlibat, ada dua bentuk persamaan diferensial, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial
parsial Kartono, 2012. 1.
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial biasa merupakan persamaan diferensial yang hanya melibatkan satu variabel bebas.
Contoh: +
=
2.
Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan diferensial yang melibatkan dua atau lebih variabel bebas.
Contoh: �
� + �
� = ,
3.
Persamaan Diferensial Linear dan Tak-Linear
Suatu persamaan diferensial dikatakan linear jika tidak ada perkalian antara variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya.
Dengan kata lain, semua koefisiennya adalah fungsi dari variabel- variabel bebas Didit Budi, 2011.
Suatu persamaan diferensial yang tak-linear dalam beberapa variabel tak bebas dikatakan tak-linear dalam variabel tersebut. Suatu
persamaan diferensial yang tak-linear dalam himpunan semua variabel tak bebas secara sederhana dikatakan tak-linear Didit Budi, 2011.
Tabel 2.1 Contoh Persamaan Diferensial Linear dan Tak-Linear
No Persamaan Diferensial
Linearitas
1.
′′
+
′
+ = cos
Linear dalam y 2.
′′
+
′
+ = cos
Tak-linear dalam y karena memuat
′
3. �
� + �
� + + = sin Linear dalam v tetapi tak-linear
dalam u karena memuat sin . Jadi, persamaan adalah
tak-linear.
4. �
� + �
� + = sin
Linear dalam setiap variabel tak bebas x atau y, tetapi tak-
linear dalam himpunan { , }.
Jadi, persamaan adalah tak- linear.
4.
Persamaan Diferensial Homogen dan Tak-Homogen
Suatu fungsi , dikatakan homogen berderajad n jika
� , � = �
�
, . Selanjutnya pandang bentuk persamaan diferensial biasa orde pertama,
, +
, = .
Persamaan diferensial . dikatakan homogen jika
, dan , adalah fungsi homogen dan berderajat sama. Apabila
, dan
, bukan merupakan fungsi homogen, tidak berderajat sama, dan persamaan
, +
, ≠ , maka persamaan
diferensial tersebut dikatakan tak-homogen Kartono, 2012. Contoh:
− = √ +
Penyelesaian: Persamaan tersebut dapat disajikan dalam bentuk
√ + +
− =
, = √ +
+ dan
, = −
Tunjukkan bahwa , dan
, merupakan persamaan homogen.
� , � = √ � + �
+ � = √�
+ � + �
= √� +
+ �
= �√ + + �
= � √ + +
= � ,
dan � , � = −
= − � = � −
= � ,
Jadi, terbukti bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan homogen berderajad satu.
5.
Penyelesaian Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial orde-n, � [ , ,
, … ,
� �
] = dengan F sebagai fungsi real yang argumennya
, , , … ,
� �
. Misalkan f adalah sebuah fungsi real yang didefinisikan dalam
domain bilangan real x dan mempunyai turunan ke-n untuk semua x Said Munzir, 2009. Fungsi f disebut penyelesaian eksplisit dari
persamaan diferensial di atas jika fungsi tersebut memenuhi dua syarat berikut:
�[ , ,
′
, … ,
�
]
terdefinisi untuk setiap x dalam selang , dan
�[ , ,
′
, … ,
�
] = Sebuah relasi
, = disebut penyelesaian implisit dari
persamaan di atas jika relasi ini mendefinisikan paling sedikit sebuah fungsi f dalam x. Fungsi ini merupakan penyelesaian eksplisit dari
persamaan tadi. Kedua penyelesaian di atas, yakni penyelesaian implisit dan eksplisit dari persamaan diferensial biasanya cukup
disebut penyelesaian.
C. JALUR PEMBERIAN OBAT