Deret Bilangan Kelas 09 SMP Matematika Siswa
MATEMATIKA 79
Sumber: http:stdiis.ac.id
Gambar 2.20
0HQDEXQJ
Kegiatan 2.8
Menabung
Ayo Kita Amati
Setiap akhir minggu Nita selalu menyisihkan uang saku yang ia dapatkan untuk ditabung. Ia bertekad untuk
dapat menabung uang lebih banyak pada minggu-minggu berikutnya. Pada akhir minggu pertama Nita menabung
VHEHVDU 5S DNKLU PLQJJX NHGXD LD PHQDEXQJ VHEHVDU 5S DNKLU PLQJJX NHWLJD LD PHQDEXQJ
VHEHVDU5SEHJLWXVHWHUXVQ\DLDVHODOXPHQDEXQJ 5S OHELK EDQ\DN GDUL PLQJJX VHEHOXPQ\D
3HUKDWLNDQ MXPODK XDQJ \DQJ GLWDEXQJ ROHK 1LWD VHWLDS akhir minggunya.
Ayo Kita Mencoba
REDNDPXWXOLVNDQMXPODKXDQJ\DQJGLWDEXQJVHUWDMXPODKWRWDOXDQJWDEXQJDQ 1LWDVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\DGHQJDQPHOHQJNDSLWDEHOGLEDZDKLQL
7DEHO-XPODKXDQJ\DQJGLWDEXQJGDQWRWDOWDEXQJDQ1LWD
Akhir Minggu ke- Uang yang Ditabung
Total Tabungan
1
1.000 1.000
2
2.000 6.000
4 4.000
10.000 5
5.000 …
6 …
… 7
… …
8 …
… 9
… …
10 …
…
Kelas IX SMPMTs Semester 1
80 Ayo Kita
Menalar D DSDWNDKNDPXPHQJKLWXQJMXPODKXDQJ\DQJGLWDEXQJ1LWDSDGDDNKLUPLQJJX
NHGDQDNKLUPLQJJXNHHUDSDNDKMXPODKQ\D b. Berapakah total uang tabungan Nita pada akhir minggu ke-20?
F DJDLPDQDFDUDPXPHQHQWXNDQKDVLOSDGDE-HODVNDQ d. Berapakah total uang tabungan Nita pada akhir minggu ke-25?
H DJDLPDQDFDUDPXXQWXNPHQGDSDWNDQKDVLOSDGDGMLNDPHOLEDWNDQE
Ayo Kita Menanya
Buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan kegiatan yang telah kamu lakukan di atas. Berikut adalah salah satu contoh pertanyaan: Bagaimana hubungan antara uang yang
ditabung oleh Nita dengan uang total tabungan Nita pada tiap akhir minggu?
Diskusi dan Berbagi
0HQXUXWPXDSDNDKPXQJNLQNLWDGDSDWPHQHQWXNDQMXPODKWRWDOWDEXQJDQ1LWDSDGD DNKLUPLQJJXNHMLNDKDQ\DGLNHWDKXLXDQJ\DQJGLWDEXQJ1LWDSDGDDNKLUPLQJJX
NHNHGDQNHDJDLPDQDNDKFDUDQ\DHUDSDNDKEDQ\DNXDQJWDEXQJDQ Nita pada akhir minggu ke-n? Diskusikan dengan teman sebangkumu dan paparkan
hasilnya di depan kelas.
Informasi Utama
6HSHUWL\DQJWHODKGLMHODVNDQSDGDEDEEDULVDQELODQJDQGDSDWGLOLKDWEDKZDXDQJ yang ditabung oleh Nita pada tiap akhir minggu membentuk suatu barisan bilangan.
Banyaknya uang yang ditabung oleh Nita pada tiap akhir minggu menyatakan VXNXGDULEDULVDQELODQJDQWHUVHEXW7RWDOXDQJWDEXQJDQ1LWDWLDSDNKLUPLQJJX
PHQ\DWDNDQMXPODKDQGDULEHEHUDSDVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQWHUVHEXW
\DQJVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQderet bilangan. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan disimbolkan dengan S
n
. Dalam hal ini S
2
PHQ\DWDNDQ MXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQWHUVHEXWS
= 6.000 dan S
4
= 10.000 PDVLQJPDVLQJPHQ\DWDNDQMXPODKVXNXSHUWDPDGDQMXPODKVXNXSHUWDPDGDUL
barisan bilangan tersebut
MATEMATIKA 81
Ayo Kita Simpulkan
x Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan disimbolkan dengan … x Apakah yang dimaksud dengan deret bilangan? Jawablah dengan menggunakan
kata-katamu sendiri.
Kegiatan 2.9 Penjumlahan Suku-suku pada Barisan Bilangan Genap
Ayo Kita Mencoba
REDNDPXWXOLVNDQMXPODKXDQJ\DQJGLWDEXQJVHUWDMXPODKWRWDOXDQJWDEXQJDQ 1LWDVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\DGHQJDQPHOHQJNDSLWDEHOGLEDZDKLQL
7DEHO-XPODKEHEHUDSDVXNXSHUWDPDSDGDEDULVDQELODQJDQJHQDS
Suku ke- Nilai
Jumlah Suku
1
2 2
2
4 6
4 8
5 10
… 6
… …
7 …
… 8
… …
9 …
… 10
… …
Kelas IX SMPMTs Semester 1
82
D HUDSDNDKMXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQJHQDSWHUVHEXW E HUDSDNDKMXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQJHQDSWHUVHEXW
F DJDLPDQDFDUDPXPHQHQWXNDQEGHQJDQPHOLEDWNDQD
Ayo Kita Mencoba
-LNDMXPODKn suku pertama dinotasikan dengan S
n
, maka S
4
PHQ\DWDNDQMXPODK VXNXSHUWDPDGDULVXDWXEDULVDQ6HNDUDQJFREDNDPXMXPODKNDQVXNXSHUWDPDGDUL
barisan bilangan genap. S
4
L HULNXWQ\DFREDNDPXMXPODKNDQVXNXSHUWDPDGDULELODQJDQJHQDSGLDWDV
GHQJDQFDUDPHQXOLVNDQEHQWXNSHQMXPODKDQGLDWDVGDODPXUXWDQWHUEDOLN S
4
LL RED MXPODKNDQ L GDQ LL PHODOXL ODQJNDKODQJNDK EHULNXW LQL GHQJDQ FDUD
mengisi bagian yang kosong S
4
S
4
2S
4
4 suku 2S
4
= ... u
S
4
= 2
} u } LLL
Ayo Kita Menalar
Coba kamu perhatikan kembali langkah-langkah dalam menghitung S4 pada EDULVDQ ELODQJDQ JHQDS GL DWDV VHKLQJJD GLGDSDWNDQ KDVLOQ\D VHSHUWL SDGD LLL
Perhatikan nilai yang terdapat pada bagian di dalam tanda kurung. Jawablah pertanyaan di bawah ini:
a. Berapakah dari suku pertama pada barisan bilangan genap? E -LND PHQJKLWXQJ MXPODK VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ ELODQJDQ JHQDS VXNX
PDQDNDK\DQJPHQMDGLVXNXWHUDNKLUGDODPSHUKLWXQJDQWHUVHEXW
MATEMATIKA 83
F HUDSDNDKVXNXWHUDNKLUGDODPSHQMXPODKDQVXNXSDGDEDULVDQELODQJDQJHQDS G .DPX WHODK PHQMXPODKNDQ VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ ELODQJDQ JHQDS
PHQXUXWPXDQJNDSDGDEDJLDQLLLPHQXQMXNNDQLQIRUPDVLDSD
Ayo Kita Simpulkan
Jumlah 4 suku pertama pada barisan bilangan genap disimbolkan dengan … LODQJDQ « SDGD EDJLDQ LLL PHQXQMXNNDQ VXNX NH GDUL EDULVDQ ELODQJDQ
JHQDSVHGDQJNDQDQJND«PHQXQMXNNDQVXNXNHGDULEDULVDQELODQJDQJHQDS 3HQMXPODKDQVXNXVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQEHODQJDQJHQDSVHODQMXWQ\DGLVHEXW
dengan deret bilangan genap.
Diskusi dan Berbagi
HUDSDNDKMXPODKVXNXSHUWDPDEDULVDQELODQJDQJHQDSWHUVHEXW7HPXNDQ FDUD WHUFHSDW WDQSD SHUOX PHQMXPODKNDQ VDWX SHUVDWX VHPXD VXNXQ\D 3HUKDWLNDQ
NHPEDOLODQJNDKODQJNDK\DQJWHODKNDPXODNXNDQGDODPPHQJKLWXQJMXPODKVXNX pertama barisan bilangan genap di atas. Diskusikan dengan teman sebangkumu agar
GDSDWPHQMDZDESHUWDQ\DDQWHUVHEXWGDQSDSDUNDQMDZDEDQPXGLGHSDQNHODV
Informasi Utama
0LVDONDQ GDODP VXDWX EDULVDQ DULWPHWLND VXNX SHUWDPD U
1
= a, dan beda pada barisan aritmetika tersebut adalah b
0DNDVXNXNHNHNHNHNHGDQ ke-n dapat dituliskan dalam bentuk:
U
2
= a b
U = a
b U
4
= a b
U
5
= a b
U
6
= a b
ڭ U
n
= a n±b
6HFDUD XPXP MXPODK n suku pertama pada barisan aritmetika dapat dituliskan sebagai berikut :
S
n
= a ababan±îban±îbL
Kelas IX SMPMTs Semester 1
84
HQWXNSHQMXPODKDQGLDWDVMLNDGLWXOLVGDODPXUXWDQWHUEDOLNGLPDQDVXNXWHUDNKLU \DQJEHUDGDSDGDSRVLVLSDOLQJGHSDQGDQVHEDOLNQ\DPDNDLDNDQPHQMDGLEHQWXN
di bawah ini: S
n
an±îbaQ±îb«ababaLL HULNXWQ\DMXPODKNDQLGDQLLVHKLQJJDGLGDSDWNDQEHQWXNGLEDZDKLQL
S
n
= a ababan±îban±îb
S
n
an±îbaQ±îb«ababa 2S
n
aan±îbaan±îbaan±îb n suku
DU
n
DU
n
DU
n
n suku = n
îDU
n
S
n
= 2
n
n a
U u
Ayo Kita Simpulkan
DUL,QIRUPDVL8WDPDGLDWDVNHVLPSXODQDSD\DQJNDPXSHUROHK -LND«PHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DVXNXGDULVXDWXEDULVDQDULWPHWLND«PHQXQMXNNDQ
VXNX SHUWDPD « PHQXQMXNNDQ VXNX NHn dari barisan aritmetika, maka rumus MXPODKn suku pertama dari barisan aritmetika yang disimbolkan dengan … adalah
…
Ayo Kita Menalar
Dengan menggunakan rumus U
n
= a n ± b EXNWLNDQ EDKZD MXPODK n suku
pertama dari deret aritmetika dapat dituliskan sebagai berikut 2
n a n±b
MATEMATIKA 85
Kegiatan 2.10
Koleksi Kelereng
Ayo Kita Amati
Amin memiliki
hobi mengumpulkan
Sumber: http:www.bimbingan.org
Gambar 2.21 Kelereng
NHOHUHQJ7LDSDNKLUPLQJJXLDVHODOXPHPEHOL kelereng untuk dikoleksi. Pada akhir minggu
SHUWDPDLDPHPEHOLVHEDQ\DNEXDKNHOHUHQJ Pada akhir minggu kedua ia membeli lagi
sebanyak 6 buah kelereng, dan pada akhir minggu ketiga ia membeli sebanyak 12 buah
kelereng. Begitu seterusnya, tiap akhir minggu ia selalu membeli kelereng sebanyak 2 kali lipat
dari akhir minggu sebelumnya.
Ayo Kita Mencoba
3HUKDWLNDQODKMXPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOLROHKPLQVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\DRED NDPX WXOLVNDQ MXPODK NHOHUHQJ \DQJ GLEHOL VHUWD MXPODK WRWDO WRWDO NHOHUHQJ \DQJ
dimiliki oleh Amin setiap akhir minggunya dengan melengkapi tabel di bawah LQL7RWDONHOHUHQJ\DQJGLPLOLNLPLQVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\DVHODQMXWQ\DGLVHEXW
GHQJDQMXPODKNHOHUHQJ 7DEHO-XPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOLVHUWDWRWDONHOHUHQJPLOLNPLQ
Minggu ke- Kelereng yang dibeli
Jumlah Kelereng
1 2
6 12
4 24
5 48
… 6
… …
7 …
… 8
… …
Kelas IX SMPMTs Semester 1
86
a. Berapakah banyak total kelereng yang dimiliki oleh Amin pada akhir minggu ke-6 dan akhir minggu ke-8?
b. Apakah kamu dapat menebak banyak total kelereng Amin pada akhir minggu ke- HUDSDMXPODKQ\D
c. Apakah banyaknya kelereng yang dibeli Amin antara dua minggu yang berurutan memiliki perbandingan yang tetap?
Ayo Kita Mencoba
-LNDMXPODKn suku pertama dinotasikan dengan S
n
, maka S
5
PHQ\DWDNDQMXPODK VXNXSHUWDPDGDULVXDWXEDULVDQ6HNDUDQJFREDNDPXMXPODKNDQVXNXSHUWDPD
GDULEDULVDQELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DNHOHUHQJ\DQJGLEHOLPLQWLDS minggunya.
S
5
L Berikutnya coba kamu kalikan masing-masing suku di dalam barisan bilangan
tersebut dengan 2, sehingga didapatkan 2S
5
= 2 u
u«u«u«u … 2S
5
LL RED NXUDQJNDQ LL GHQJDQ L PHODOXL ODQJNDKODQJNDK EHULNXW LQL GHQJDQ FDUD
mengisi bagian yang kosong 2S
5
S
5
2S
5
– S
5
«± RED SHUKDWLNDQ WLDSWLDS DQJND SDGD UXDV NDQDQ GDUL SHQJXUDQJDQ S
5
terhadap S
5
MLNDWHUGDSDWQLODL\DQJVDPDPDNDNDPXGDSDWPHQJXUDQJNDQVHFDUDODQJVXQJ VHKLQJJDKDVLOSHQJXUDQJDQQ\DPHQMDGL
S
5
± «± S
5
± î
…
± S
5
± î
…
± S
5
=
}
u LLL
–
MATEMATIKA 87
Ayo Kita Menalar
Coba kamu perhatikan kembali langkah-langkah dalam menghitung S
5
di atas VHKLQJJDGLGDSDWNDQKDVLOQ\DVHSHUWLSDGDLLL3HUKDWLNDQQLODLQLODLELODQJDQ\DQJ
WHUGDSDWSDGDUXDVNDQDQGDULLLL-DZDEODKSHUWDQ\DDQGLEDZDKLQL D REDNDPXSHUKDWLNDQELODQJDQSDGDLLLHUDSDNDKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQ
ELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQMXPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOLPLQWLDSPLQJJXQ\D Apa kamu dapat menarik suatu kesimpulan sederhana terkait hal ini?
E REDNDPXSHUKDWLNDQELODQJDQSDGDEDJLDQDWDVLLL3HUKDWLNDQSXODELODQJDQ SDGD EDJLDQ EDZDK LLL HUDSDNDK SHUEDQGLQJDQ DQWDU VXNX GDUL EDULVDQ
ELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQMXPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOLPLQWLDSPLQJJXQ\D Apa kamu dapat menarik suatu kesimpulan sederhana terkait hal ini?
Ayo Kita Simpulkan
Dari Kegiatan 2.10 di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? -XPODK VXNX SHUWDPD SDGD EDULVDQ ELODQJDQ \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D
kelereng yang dibeli oleh Amin tiap minggunya disimbolkan dengan … Bilangan « SDGD EDJLDQ LLL PHQXQMXNNDQ VXNX SHUWDPD EDULVDQ ELODQJDQ VHGDQJNDQ
ELODQJDQ « PHQXQMXNNDQ SHUEDQGLQJDQ UDVLR DQWDU VXNX \DQJ EHUXUXWDQ GDUL barisan bilangan tersebut.
Informasi Utama
0LVDONDQ GDODP VXDWX EDULVDQ JHRPHWUL VXNX SHUWDPD 8
1
= a , dan rasio pada barisan geometri tersebut adalah r
0DNDVXNXNHNHNHNHNHGDQ ke-n dapat dituliskan dalam bentuk:
U
2
= ar U
3
= ar
2
U
4
= ar U
5
= ar
4
U
6
= ar
5
ڭ U
n
= ar
n – 1
Kelas IX SMPMTs Semester 1
88
6HFDUD XPXP MXPODK n suku pertama pada barisan geometri dapat dituliskan sebagai berikut:
S
n
= a arar
2
ar ar
n – 1
L .HPXGLDQNDOLNDQLGHQJDQr, sehingga didapatkan hasil berikut ini.
rS
n
= ar ar
2
ar ar
n – 1
ar
n
LL .XUDQJNDQLLGHQJDQLGDQGHQJDQFDUD\DQJKDPSLUVDPDGHQJDQODQJNDK
ODQJNDKNHWLNDNDPXPHQJKLWXQJMXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQ\DQJ PHQXQMXNNDQMXPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOLPLQWLDSPLQJJXQ\DPDNDGLGDSDWNDQ
rS
n
= ar ar
2
ar ar
n – 1
ar
n
S
n
= a arar
2
ar ar
n – 1
rS
n
– S
n
= ar
n – a
S
n
r± ar
n
± S
n
= 1
n
a r r
Ayo Kita Simpulkan
DUL,QIRUPDVL8WDPDGLDWDVNHVLPSXODQDSD\DQJNDPXSHUROHK -LND«PHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DVXNXGDULVXDWXEDULVDQJHRPHWUL«PHQXQMXNNDQ
VXNXSHUWDPD«PHQXQMXNNDQUDVLRGDULEDULVDQJHRPHWULPDNDUXPXVMXPODK Q VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ JHRPHWUL GLVHEXW GHQJDQ GHUHW JHRPHWUL \DQJ
disimbolkan dengan … adalah …
Deret Bilangan
Materi Esensi
6HSHUWL\DQJWHODKGLMHODVNDQSDGDSHPEDKDVDQVHEHOXPQ\DNLWDGDSDWPHQXOLVNDQ suku-suku pada barisan bilangan sebagai U
1
, U
2
, U , …, U
n
. Jika suku-suku pada EDULVDQWHUVHEXWNLWDMXPODKNDQPDNDEHQWXNSHQMXPODKDQQ\DGLVHEXWGHQJDQGHUHW
bilangan, dan dapat dituliskan sebagai U
1
U
2
U «U
n
.