pekerjaan yang mulai dikerjakan sebelum pekerjaan yang mendahuluinya selesai. Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa CPM tidak dapat mempertahankan
kontinuitas tingkat produktifitas aktivitas berulang sehingga terjadi inefisiensi penggunaan alokasi sumber daya akibat terdapatnya penumpukan pekerjaan pada
suatu waktu.
2.2.1 Jaringan Kerja CPM Critical Path Method
Untuk meningkatkan kualitas perencanaan dan pengendalian dalam menghadapi jumlah aktivitas dan kompleksitas proyek yang cenderung bertambah, salah satu
usahanya dengan menggunakan analisis jaringan kerja yang merupakan penyajian perencanaan dan pengendalian khususnya jadwal kegiatan proyek secara analitis
dan sistematika. Jaringan kerja ini merupakan jaringan yang terdiri dari serangkaian kegiatan untuk menyelesaikan suatu proyek berdasarkan urutan–
urutan dan ketergantungan aktivitas satu dengan aktivitas lainnya.
Untuk menyikapi jaringan proyek secara lengkap, dalam arti siap pakai untuk tugas–tugas perencanaan, menyusun jadwal pekerjaan dan tolak ukur
pengendalian, dibutuhkan proses yang panjang dan bertingkat–tingkat. Hal ini diawali dengan teknik membuat jaringan kerja dan diakhiri dengan meningkatkan
kualitasnya serta memasukkan faktor–faktor lain. Diantaranya yang terpenting adalah:
1. Model Kegiatan
Kegiatan-kegiatan yang merupakan komponen proyek dan hubungan antara satu dengan yang lainnya disajikan dengan menggunakan tanda-tanda, yaitu:
a. Kegiatan pada anak panah, atau Activity on Arrow AOA. Kegiatan
digambarkan dengan anak panah yang menghubungkan dua lingkaran yang mewakili dua peristiwa. Ekor anak panah adalah awal dan ujungnya adalah
akhir kegiatan. Peristiwa terdahulu
Peristiwa berikut nya Kegiatan
Kurun waktu Gambar 2.1. Kegiatan
Activity on Arrow
i j
Universitas Sumatera Utara
b.
Kegiatan ditulis dalam kotak atau lingkaran, yang disebut Activity on Node AON. Anak panah menjelaskan hubungan ketergantungan diantara kegiatan-
kegiatan.
Garis Penghubung
Gambar 2.2. Kegiatan Activity on Node
2. Notasi yang digunakan
Untuk memudahkan perhitungan penentuan waktu digunakan notasi–notasi sebagai berikut:
TE = earliest event occurence time, yaitu saat paling cepat terjadinya event.
TL = latest event occurence time, yaitu saat paling lama terjadinya event..
ES = earliest activity start time, yaitu saat paling cepat dimulainya aktivitas.
EF = earliest activity finish time, yaitu saat paling cepat diselesaikannya
aktivitas. LS =
latest activity start time, yaitu saat paling lama dimulainya aktivitas. LF =
latest activity finish time, yaitu saat paling lama diselesaikannya aktivitas. t =
activity duration time, yaitu waktu yang diperlukan untuk suatu aktivitas biasa dinyatakan dalam hari.
S = total float total slack.
3. Asumsi dan cara perhitungan
Dalam melakukan perhitungan penentuan waktu digunakan tiga buah asumsi dasar, yaitu:
a. Proyek hanya memiliki satu
initial event dan satu terminal event. b.
Saat paling cepat terjadinya initial event adalah hari ke–nol.
c. Saat paling lama terjadinya
terminal event adalah TL = TE untuk event ini.
Kegiatan B Kegiatan A
Universitas Sumatera Utara
Adapun cara perhitungan yang harus dilakukan terdiri atas dua cara, yaitu cara perhitungan maju
forward computation dan perhitungan mundur backward computation. Pada perhitungan maju, perhitungan bergerak mulai dari initial
event menuju ke terminal event. Maksudnya ialah menghitung saat paling cepat terjadinya
events dan saat paling cepat dimulainya serta diselesaikannya aktivitas– aktivitas TE, ES dan EF.
Pada perhitungan mundur, perhitungan bergerak dari terminal event
menuju ke initial event. Tujuannya ialah untuk menghitung saat paling lama
terjadinya events dan saat paling lama dimulainya dan diselesaikannya aktivitas–
aktivitas TL, LS dan LF. Dengan selesainya kedua perhitungan ini, barulah float
dapat dihitung.
2.2.2 Perhitungan Maju Ada tiga langkah yang dilakukan pada perhitungan maju, yaitu:
1.Saat paling cepat terjadinya initial event ditentukan pada hari ke–nol sehingga
untuk initial event berlaku TE = 0. Asumsi ini tidak benar untuk proyek yang
berhubungan dengan proyek–proyek lain. 2.Jika
initial event terjadi pada hari yang ke-nol, maka: ��
�,�
= ��
�
= 0 ��
�,�
= ��
�,�
+ �
�,�
2. 1 ��
�,�
= ��
�
+ �
�,�
2. 2 3.
Event yang menggabungkan beberapa aktivitas merge event. ��
�
1
, �
��
�
2
, �
��
��
3
, �
Gambar 2.3. Bentuk merge event yang menggabungkan beberapa aktivitas
j
Universitas Sumatera Utara
Sebuah event hanya dapat terjadi jika aktivitas–aktivitas yang mendahuluinya
telah diselesaikan. Maka saat paling cepat terjadinya sebuah event sama dengan
nilai terbesar dari saat paling cepat untuk menyelesaikan aktivitas–aktivitas yang berakhir pada
event tersebut. ��
�
= max ���
�
�
, �
, ��
�
�
, �
, … , ��
�
�
, �
� 2. 3
2.2.3 Perhitungan Mundur Seperti halnya pada perhitungan maju, pada perhitungan mundur juga terdapat
tiga langkah yaitu:
1. Pada
terminal event berlaku TL = TE. 2.
Saat paling lama untuk memulai suatu aktivitas sama dengan saat paling lama untuk menyelesaikan aktivitas itu dikurangi dengan
duration aktivitas tersebut.
�� = �� − � 2. 4
��
�,�
= �� ������ �� = �� ; maka
��
�,�
= ��
�
− �
�,�
2. 5 3.
Event yang “mengeluarkan” beberapa aktivitas burst event. ��
�,�
1
��
�,�
2
��
�,�
3
Gambar 2.4. Bentuk burst event yang mengeluarkan beberapa aktivitas
Setiap aktivitas hanya dapat dimulai apabila event yang mendahuluinya telah
terjadi. Oleh karena itu, saat paling lama terjadinya sebuah event sama dengan
nilai terkecil dari saat–saat paling lama untuk memulai aktivitas–aktivitas yang berpangkal pada
event tersebut.
i
Universitas Sumatera Utara
��
�
= min ���
�,�
1
, ��
�,�
2
, … , ��
�,�
�
� 2. 6
2.2.4 Perhitungan Kelonggaran Waktu F loat atau Slack
Setelah perhitungan maju dan perhitungan mundur selesai dilakukan, maka berikutnya harus dilakukan perhitungan kelonggaran waktu
float slack dari aktivitas i, j yang terdiri atas
total float dan free float. Total float adalah jumlah waktu dimana waktu penyelesaian suatu
aktivitas dapat diundur tanpa mempengaruhi saat paling cepat dari penyelesaian proyek secara keseluruhan. Karena itu,
total float ini dihitung dengan cara mencari selisih antara saat paling lama dimulainya aktivitas dengan saat paling
cepat dimulainya aktivitas LS – ES, atau bisa juga dengan mencari selisih antara saat paling lama diselesaikannya aktivitas dengan saat paling cepat
diselesaikannya aktivitas LF-EF, dalam hal ini cukup dipilih salah satu saja.
Jika akan menggunakan persamaan � = �� − �� , maka total float
aktivitas �, � adalah :
�
�,�
= ��
�,�
− ��
�,�
2. 7 Dari perhitungan mundur diketahui bahwa
��
�,�
= ��
�
− �
�,�
. Sedangkan dari perhitungan maju
��
�,�
= ��
�
. Maka: �
�,�
= ��
�
− �
�,�
− ��
�
2. 8 Jika akan menggunakan persamaan
� = �� − �� , maka total float aktivitas
�, � adalah: �
�,�
= ��
�,�
− ��
�,�
2. 9 Dari perhitungan maju diketahui bahwa
��
�,�
= ��
�
+ �
�,�.
Sedangkan dari perhitungan mundur ��
�,�
= ��
�
. Maka: �
�,�
= ��
�
− ��
�
− �
�,�
2. 10 Suatu aktivitas yang tidak mempunyai kelonggaran waktu
float disebut aktivitas kritis, dengan kata lain aktivitas kritis mempunyai S
Float = 0.
Universitas Sumatera Utara
2.3 Teori Himpunan
F uzzy Pada awal tahun 1965, Lotfi Asker Zadeh, seorang professor di Universitas
California di Barkley memberikan sumbangan yang berharga untuk teori pembangunan sistem yaitu teori himpunan
fuzzy samar. Teori ini dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang, antara lain: algoritma kontrol, diagnosa
medis, sistem pendukung keputusan, ekonomi, teknik, psikologi, lingkungan, keamanan dan ilmu pengetahuan Setiadji, 2009.
Klir dan Folger 1988 mengemukakan bahwa himpunan crisp ditegaskan
dengan membagi individu ke dalam dua bagian kelompok di dalam semesta pembicaraannya, yaitu: anggota yang termasuk di dalam himpunan dan bukan
anggota yang tidak termasuk di dalam himpunan. Kejelasan dan ketidaksamaran yang ada diantara anggota dan bukan anggota dari suatu kelas atau kategori
dihadirkan dalam sebuah himpunan
crisp. Lee 2005 mengemukakan bahwa konsep himpunan
fuzzy merupakan pengembangan dari sebuah himpunan
crisp. Sebuah himpunan semesta �
didefinisikan ke dalam suatu semesta pembicaraan dan dimasukkan ke dalam semua kemungkinan elemen–elemen yang berhubungan dengan persoalan yang
diberikan. Jika didefinisikan sebuah himpunan � dalam suatu himpunan semesta
�, maka � merupakan himpunan bagian dari �. � ⊆ �
Dalam kasus ini, dikatakan bahwa himpunan � tersebut termasuk ke dalam
himpunan semesta �. Jika � tidak termasuk ke dalam �, hubungan ini dinotasikan
sebagai berikut: � ⊈ �
Definisi Himpunan Fuzzy Andaikan
� adalah himpunan semesta dimana elemennya dinotasikan sebagai
� . Maka himpunan fuzzy � dinotasikan �̃
dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut.
�̃ = {�, �
��
�|� ∈ �} 2. 11
Derajat keanggotaan dinyatakan dengan suatu bilangan riil dalam selang tertutup [
0 , 1]. Dengan perkataan lain derajat keanggotaan dari suatu himpunan fuzzy
A � dalam semesta � adalah pemetaan µ
A�
dari � ke selang [0 , 1], yaitu:
Universitas Sumatera Utara
µ
A�
∶ � → [0 , 1]. 2. 12
Nilai fungsi µ
A�
� menyatakan derajat keanggotaan unsur � ∊ � dalam himpunan fuzzy
A �. Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh,
dan nilai fungsi sama dengan 0 menyatakan sama sekali bukan anggota himpunan fuzzy tersebut Susilo, 2006.
�
�
� = � 1,
� ∈ � 0,
� ∉ � 2. 13
2.4
Bilangan Fuzzy Definisi Bilangan Fuzzy Susilo 2006 Secara formal suatu bilangan fuzzy
�̃ didefinisikan sebagai himpunan fuzzy dalam semesta himpunan semua bilangan
riil Ʀ yang memenuhi empat sifat sebagai berikut:
1. �
� haruslah himpunan fuzzy yang normal 2.
��������� ��������� ���� �������� 3.
����� �������� � − ��� �����ℎ ������ �������� ����� Ʀ 4.
�̃ �����ℎ �������
Definisi Himpunan Fuzzy Normal
Bector dan Chandra 2005 Andaikan �̃ adalah suatu himpunan fuzzy dalam X.
Tinggi ℎ�̃ dari suatu himpunan fuzzy �̃ didefinisikan sebagai berikut :
ℎ��̃� = sup
� ∈�
�
��
� 2. 14
Jika ℎ��̃� = 1, ���� ℎ������� ����� �̃ dikatakan sebagai himpunan fuzzy
yang normal, akan tetapi dikatakan subnormal apabila ℎ��̃� 1, dan
himpunan fuzzy subnormal dapat dijadikan himpunan fuzzy normal dengan cara mendefinisikan ulang fungsi keanggotaan
�
��
� ℎ��̃� , � ∈ �.
Definisi Pendukung Himpunan Fuzzy. Andaikan
�̃ adalah sebuah himpunan fuzzy dalam
�. Maka Pendukung �̃, dinotasikan oleh ��̃, adalah himpunan crisp yang memuat semua unsur dari semesta yang mempunyai derajat
keanggotaan tak nol dalam �̃, yaitu :
���̃� = { � ∈ � ∶ �
��
� 0}. 2. 15
Universitas Sumatera Utara
Definisi � − ���. Andaikan �̃ adalah sebuah himpunan fuzzy dalam � dan
� ∈ 0,1]. � − ��� ���� ℎ������� ����� �̃ �����ℎ ℎ������� ����� �̃
�
����� ∶ �̃
�
= { � ∈ � ∶ �
��
� ≥ �}. 2. 16
Definisi Himpunan Fuzzy Konveks.
Suatu himpunan fuzzy �̃ ����� Ʀ
�
dikatakan sebuah himpunan fuzzy yang konveks apabila � − ���
�̃
�
nya adalah himpunan crisp yang konveks untuk semua �
∈ ,
1].
Definisi Himpunan Fuzzy Terbatas. Suatu himpunan fuzzy
�̃ ����� Ʀ
�
dikatakan himpunan fuzzy yang terbatas apabila � − ��� �̃
�
− nya adalah himpunan crisp yang terbatas untuk semua
�
∈ ,
1].
Bector dan Chandra 2005 mengungkapkan bahwa suatu himpunan fuzzy �̃ dalam Ʀ
�
yang konveks dan yang terbatas disebut juga sebagai himpunan fuzzy konveks dan terbatas. Teorema berikut memberikan sebuah definisi yang
ekuivalen dengan himpunan fuzzy konveks.
Teorema 2.1 Suatu himpunan fuzzy
�̃ ����� Ʀ
�
adalah himpunan fuzzy konveks jika dan hanya jika untuk semua
�
1
, �
2
∈ Ʀ
�
��� 0 ≤ � ≤ 1, µ
��
��
1
+ 1 − ��
2
≥ minµ
��
�
1
, µ
��
�
2
2. 17
Bukti. Andaikan
�̃ adalah himpunan fuzzy konveks berdasarkan definisi. ����� � = µ
��
�
1
≤ µ
��
�
2
. ���� �
1
∈ �̃
�
, �
2
∈ �̃
�
, ��
1
+ 1 − ��
2
∈ �̃
�
���ℎ ����������� �̃
�
. Oleh karena itu, µ
��
��
1
+ 1 − ��
2
≥ � = minµ
��
�
1
, µ
��
�
2
. Sebaliknya, jika derajat keanggotaan
µ
��
dari himpunan fuzzy �̃ dipenuhi
dalam pertidaksamaan Teorema 1, dengan mengambil � = µ
��
�
1
, �̃
�
dapat dipandang sebagai himpunan di semua titik
�
2
yang mana µ
��
�
2
≥ � = µ
��
�
1
. Oleh karena untuk semua
�
1
, �
2
∈ �̃
�
, µ
��
��
1
+ 1 − ��
2
≥ minµ
��
�
1
, µ
��
�
2
= µ
��
�
1
= �,
yang menyatakan bahwa ��
1
+ 1 − ��
2
∈ �̃
�
. Oleh karenanya �̃
�
merupakan himpunan konveks untuk setiap
� ∈ 0,1]. Demeulemeester dan Herroelen 2002 mengungkapkan bahwa sebuah
bilangan fuzzy �̃ didefinisikan sebagai suatu himpunan fuzzy yang konveks dan
Universitas Sumatera Utara
normal. Derajat keanggotaannya dipetakan dari bilangan riil Ʀ ke interval tertutup
[0,1], yang mana digambarkan sebagai berikut:
2. 18 dimana
�
��
∶ [�, �] → [0, 1] ��� �
��
∶ [�, �] → [0, 1] .
2.5 Derajat Keanggotaan untuk Durasi Aktivitas Kegiatan
Banyak derajat keanggotaan dapat didefinisikan berdasarkan definisi di atas. Dua jenis bilangan fuzzy yang paling populer adalah bilangan fuzzy trapezoidal dan
bilangan fuzzy triangular.
Definisi Bilangan Fuzzy Trapezoidal Bector dan Chandra 2005 Suatu bilangan fuzzy
� dikatakan bilangan fuzzy trapezoidal jika derajat keanggotaan
�
�
diberikan sebagai berikut :
2. 19
