normal. Derajat keanggotaannya dipetakan dari bilangan riil Ʀ ke interval tertutup
[0,1], yang mana digambarkan sebagai berikut:
2. 18 dimana
�
��
∶ [�, �] → [0, 1] ��� �
��
∶ [�, �] → [0, 1] .
2.5 Derajat Keanggotaan untuk Durasi Aktivitas Kegiatan
Banyak derajat keanggotaan dapat didefinisikan berdasarkan definisi di atas. Dua jenis bilangan fuzzy yang paling populer adalah bilangan fuzzy trapezoidal dan
bilangan fuzzy triangular.
Definisi Bilangan Fuzzy Trapezoidal Bector dan Chandra 2005 Suatu bilangan fuzzy
� dikatakan bilangan fuzzy trapezoidal jika derajat keanggotaan
�
�
diberikan sebagai berikut :
2. 19
Bilangan fuzzy trapezoidal
� dinotasikan sebagai quadruplet � = ��
�
, �, �, �
�
� dan memiliki bentuk sebuah trapesium sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.5. Bilangan Fuzzy Trapezoidal � = ��
�
, �, �, �
�
� Andaikan
� = ��
�
, �, �, �
�
� dan � = ��
�
, �, �, �
�
� adalah dua buah bilangan fuzzy trapezoidal, maka operasi aritmetikanya dapat disajikan sebagai
berikut :
Operasi Penjumlahan
A + B =
�
�
+ �
�
, �
+ �, �
+ �, �
�
+ �
�
Operasi Pengurangan
A −
B =
�
�
− �
�
, � − �, � − �, �
�
− �
�
Demeulemeester dan Herroelen 2002 mengemukakan bahwa bilangan fuzzy triangular merupakan suatu bilangan fuzzy trapezoidal yang khusus spesial
dengan syarat � = � dan biasanya dinotasikan � = ��
�
, �, �, �
�
� atau � = �
�
, �, �
�
. Kelebihan dengan menggunakan bilangan fuzzy trapezoidal ataupun bilangan fuzzy triangular, adalah operasi aritmetikanya yang lebih sederhana.
Dalam bilangan fuzzy, operator yang digunakan sangat berbeda seperti pada kasus bilangan crisp klasik.
Definisi Bilangan Fuzzy Triangular Bector dan Chandra 2005 Suatu bilangan fuzzy
� dikatakan bilangan fuzzy triangular jika derajat keanggotaan
�
�
diberikan sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
2. 20
Bilangan Fuzzy Triangular � yang dinotasikan oleh triplet � = �
�
, �, �
�
memiliki bentuk segitiga seperti berikut :
Gambar 2.6. Bilangan Fuzzy Triangular � = �
�
, �, �
�
Andaikan � = �
�
, �, �
�
��� � = �
�
, �, �
�
adalah dua buah bilangan fuzzy triangular, maka operasi aritmetika disajikan sebagai berikut:
Operasi Penjumlahan
A + B = �
�
+ �
�
, a + b
, �
�
+ �
�
Operasi Pengurangan
A −
B = �
�
− b
u
, a
− b
, �
�
− �
�
Universitas Sumatera Utara
2.6 Peringkat Bilangan Fuzzy
Dalam banyak aplikasi, peringkat bilangan fuzzy adalah komponen penting dari proses pembuatan keputusan. Dalam prakteknya, banyak permasalahan dunia
nyata yang membutuhkan penanganan dan pengevaluasian data yang fuzzy untuk membuat suatu keputusan. Untuk mengevaluasi dan membandingkan pilihan
alternatif–alternatif yang berbeda, maka perlu memeringkatkan bilangan fuzzy. Dalam penambahannya, konsep optimal atau pilihan terbaik secara lengkap
diselesaikan berdasarkan pada pemeringkatan atau perbandingan.
Susilo 2006 mengungkapkan bahwa dalam banyak kejadian, hasil pengukuran terhadap data yang dianalisis seringkali disajikan dalam bentuk
bilangan–bilangan fuzzy. Kalau hasil pengukuran tersebut terdiri dari beberapa alternatif yang harus dipilih untuk mengambil suatu keputusan, maka diperlukan
cara untuk membandingkan alternatif-alternatif itu. Salah satu cara yang dapat dipakai adalah dengan menyusun peringkat bilangan–bilangan fuzzy yang
dibandingkan itu dengan aturan tertentu.
Bilangan–bilangan fuzzy diketahui hanya dapat diurutkan secara parsial sehingga bilangan fuzzy tersebut tidak dapat dibandingkan. Jadi untuk
membandingkan bilangan–bilangan fuzzy, terlebih dahulu harus ditransformasikan menjadi bilangan riil yang tegas. Oleh karenanya proses penyusunan peringkat
bilangan fuzzy biasanya diawali dengan proses penegasan defuzzification yang mengubah bilangan fuzzy menjadi bilangan tegas yang kemudian diurutkan
dengan aturan tertentu. Karena ada berbagai metode penegasan yang dapat dipakai, maka pemeringkatan bilangan fuzzy juga sangat bervariasi. Metode
penegasan yang berbeda akan menghasilkan pemeringkatan yang berbeda pula untuk bilangan–bilangan fuzzy yang sama.
Dalam literatur terdapat banyak cara yang diusulkan untuk membandingkan bilangan–bilangan fuzzy, masing – masing dengan kelebihan dan
kekurangannya. Terdapat 3 cara yang umum digunakan yaitu dengan potongan- �,
dengan jarak Hamming dan dengan nilai integral Susilo, 2006.
2.7 Ukuran Fuzziness Menggunakan Metric Distance
Salah satu ukuran fuzziness dalam suatu bilangan fuzzy adalah berdasarkan konsep metric distance. Adapun untuk ukuran fuzziness kekaburan dinyatakan sebagai
sebuah indeks kekaburan index of fuzziness yang didefinisikan secara terminologi sebagai sebuah metric distance Hamming distance atau Euclidean
Universitas Sumatera Utara
distance A untuk setiap himpunan crisp terdekat crisp sets C Klir dan Folger, 1988.
�
�
� = 0 ���� �
�
� ≤
1 2
2. 21 �
�
� = 1 ���� �
�
�
1 2
2. 22
Gambar 2.7. Himpunan Fuzzy �
Gambar 2.8. Himpunan Fuzzy �′
Gambar 2.7 dan gambar 2.8 merupakan ukuran fuzziness untuk � ��� �′.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.9. Himpunan Fuzzy � dan hubungannya pada Himpunan Crisp C
Lee 2005 mengemukakan bahwa jika himpunan crisp � didefinisikan
dengan selayaknya, maka suatu ukuran fuzziness adalah sebuah distance jarak antara himpunan fuzzy
� dan himpunan crisp �. Untuk ukuran distance, bisa
menggunakan Hamming distance atau Euclidean distance.
2.7.1 Hamming Distance
Andaikan �̃ ��� �� merupakan dua buah bilangan fuzzy, maka dengan
menggunakan Hammming distance yang disimbolkan dengan � �̃, �� , dapat
didefinisikan sebagai berikut: � ��,
� ��� =
∑ |
µ
��
�
�
− µ
��
�
�
|
� �=1,�
�
∈�
2. 23 Hamming distance secara matematis memuat sebagai berikut:
1. � �, �
≥ 0. 2.
� �, � = � �, �
komutatif
3. � �, � ≤ � �, � + � �, �
transitif
4. � �, � = 0.
Definisi Hamming distance
Lee 2005 Ukuran fuzziness fA dinyatakan sebagai berikut :
� � = ∑ |
µ
�
� − µ
�
�|
� ∈�
2. 24
2.7.2 Euclidean Distance Definisi Euclidean distance Lee 2005 Jika himpunan crisp C didefinisikan
sedemikian hingga, maka ukuran fuzziness adalah distance jarak diantara himpunan fuzzy A dan himpunan crisp C. Ukuran fuzziness
�� adalah ��
= ∑
[ µ
�
� − µ
�
� ]
2 � ∈�
1 2
2. 25
Universitas Sumatera Utara
2.8 Metric Distance Rank
Chen dan Cheng 2005 mengusulkan sebuah metode metric distance untuk memeringkatkan bilangan fuzzy.
Andaikan �
� dan � � merupakan dua buah bilangan fuzzy yang didefinisikan sebagai berikut:
2. 26
dimana �
��
dan �
��
adalah nilai mean dari �̃
dan ��. Metric distance diantara �̃ dan �� dapat dihitung sebagai berikut:
2. 27
dimana �
�� �
, �
�� �
, �
�� �
, dan �
�� �
adalah fungsi invers dari �
�� �
, �
�� �
, �
�� �
, dan �
� �
secara berturut-turut.
Jika bilangan fuzzy �� = 0, maka metric distance diantara �̃ dan 0 dihitung sebagai
berikut:
2. 28
Nilai yang lebih besar dari � ��̃, 0� merupakan peringkat yang lebih baik dari �̃.
Menurut Chen dan Cheng 2005 menyatakan bahwa suatu bilangan fuzzy trapezoidal
�̃ = �
1
, �
2
, �
3
, �
4
dapat diperkirakan sebagai sebuah bilangan fuzzy simetri
� [µ, �], dimana µ dinotasikan sebagai mean dari �̃, dan σ dinotasikan sebagai standar deviasi dari
�̃, serta derajat keanggotaan fungsi keanggotaan �̃ didefinisikan sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
2. 29
dimana µ dan � dihitung sebagai berikut:
� =
2 �
4
− �
1
+�
3
−�
2
4
2. 30
µ =
�
1
+ �
2
+ �
3
+�
4
4
2. 31
Jika �
2
= �
3
, maka �̃ menjadi bilangan fuzzy triangular, dimana �̃ = �
1
, �
2
, �
4
dan µ dan σ dapat dihitung sebagai berikut:
� =
�
4
− �
1
2
2. 32
µ =
�
1
+2�
2
+�
4
4
2. 33
