TINJUAN SINGKAT TRANSFORMASI LAPLACE
6.1 TINJUAN SINGKAT TRANSFORMASI LAPLACE
Analisis dan sintesis sistem pengendalian dengan menggunakan transformasi Laplace adalah hal yang umum dilakukan para ahli khususnya jalur akademik. Dengan perangkat transformasi Laplace, penyelesaian persamaan diferensial dan integral menjadi lebih sederhana. Ini sangat membantu memahami hubungan antara masukan dan keluaran sistem. Sayangnya transformasi Laplace hanya dapat diterapkan pada sistem linier yang tak berubah (time invariant) dan kurang populer di kalangan praktisi industri. Selain terasa abstrak, transformasi Laplace terasa sangat teoritis.
Pemakaian transformasi Laplace pada buku ini semata-mata ditujukan untuk menambah wawasan, yang sangat boleh jadi, bermanfaat di kelak kemudian hari. Untuk menghindari pembahasan yang cenderung teoritis dan membosankan, sengaja penyelesaian
analisis dan sintesis memakai bantuan program paket MATLAB TM .
6.1.1 DEFINISI
Transformasi Laplace adalah pengubahan bentuk fungsi waktu, f(t), menjadi bentuk dalam ranah frekuensi (frequuency domain), F(s), yang memenuhi hubungan,
− F st ( s ) = ∫ f ( t ) e dt (6.1)
atau dapat dituliskan,
F(s) = L {f(t)}
dengan L adalah operator Laplace. Transformasi Laplace hanya berlaku untuk waktu lebih besar atau sama dengan nol dan f(t) kontinyu dalam rentang tersebut.
Transformasi Laplace pada dasarnya merupakan perangkat (tools) untuk menyelesaikan persamaan diferensial dan integral. Bentuk persamaan diferensial atau integral lebih dulu diubah ke dalam bentuk Laplace, F(s), untuk diselesaikan secara aljabar biasa. Hasilnya kemudian diubah kembali ke bentuk f(t) yang merupakan penyelesaian persamaan semula melalui inversi Laplace.
6.1.2 TRANSFORMASI FUNGSI
Transformasi beberapa fungsi penting yang sering dipakai disajikan dalam tabel 6.1
a) Trasformasi Derivatif
d n Transformasi, n f (t ) , adalah
dt n
n − 1 n − 2 n − 3 n − 2 n − 1 n f (t ) = s F ( s ) + s f ( 0 ) + s f ' ( 0 ) + s f " ( 0 ) + ... + sf ( 0 ) + f ( 0 ) (6.3) dt
Tabel 6.1. Transformasi beberapa fungsi.
Nama Fungsi Fungsi waktu
Bentuk Grafik
Transformasi
F(t)
Laplace F(s)
Delta δ (t ) 1
A Step s
A Eksponensial
Ramp s
ω Sinusoida
sin ( ω t)
s Kosinusoida
cos ( ω t)
-at
e sin ( ω t)
-at
e cos ( ω t)
Jika nilai awal f(0) = 0, maka, n
L d n n f (t ) =s F(s)
(6.4) dt
Contoh 6.1. Bentuk Laplace dari persamaan diferensial,
dengan, y(0) = 0, adalah, Y ( s ) =
b) Transformasi Integral
Transformasi dari, ∫ f ( t ) dt jika nilai awalnya nol, adalah,
∫ f ( t ) dt =
F) ( s
Contoh 6.2. Bentuk Laplace dari persamaan integral berikut,
y = ∫ x dt dengan, x(0) = 0, adalah, Y(s) =
c) Teorema Nilai Awal
Nilai awal dari f(t) adalah, lim f ( t ) = lim sF ( s ) (6.6)
d) Teorema Nilai Akhir
Nilai akhir dari f(t) adalah, lim t f ( t ) = lim s 0 sF ( s ) (6.7)
e) Teorema Translasi Transformasi
Translasi dari fungsi f(t), adalah,
{ e f ( t ) } = F ( s + a ) (6.8)
L − at
f) Teorema Translasi Fungsi
Translasi dari fungsi f(t-a) adalah,
− as {
f ( t − a ) } = e F ( s ) (6.9)
6.1.3 INVERSI LAPLACE
Inversi Laplace adalah mengembalikan bentuk fungsi F(s) menjadi fungsi waktu, f(t). Penyelesaian inversi relatif lebih sulit dibandingkan dengan tranformasi ke bentuk F(s). Inversi fungsi, F(s), adalah,
L -1 { F ( s ) } = f ( t ) (6.10) dengan, -1 L = inversi Laplace.
Contoh 6.3 . Akan dicari inversi Laplace dari,
( s + 4 )( s + 3 )
Untuk menyelesaikan, persamaan tersebut terlebih dahulu diubah ke dalam bentuk,
( s + 4 )( s + 3 ) s + 4 s + 3
− 3 Dengan mengacu pada persamaan (6.5) diperoleh, t f ( t ) = e − 2 e