KLASIFIKASI SISTEM DINAMIK

3.5 KLASIFIKASI SISTEM DINAMIK

Klasifikasi sistem dinamik didasarkan atas bentuk respon variabel keluaran. Berdasar kemampuan mencapai kestabilan sendiri, sistem dinamik dibedakan menjadi: sistem mantap (self-regulating); sistem tak mantap (non-self-regulating atau integrator); dan sistem tak stabil (unstable atau runaway).

(1) Sistem Mantap (self-regulating). Sistem ini adalah sistem dinamik yang mampu mencapai kondisi steady state baru setelah terjadi perubahan variabel masukan.

(2) Sistem Tak Mantap (non-self-regulating). Sistem ini adalah sistem dinamik yang tidak mampu mencapai kondisi steady state baru setelah terjadi perubahan variabel masukan. Sistem tak mantap sering disebut dengan sistem integrator. Sistem demikian perlu pengendalian. Hanya dengan pengendalian umpan balik sistem dapat mencapai kondisi stabil. Berdasarkan pengalaman, sistem mantap lebih mudah dikendalikan dari pada sistem tak mantap.

(3) Sistem Tak Stabil (unstable atau runaway). Sistem ini adalah sistem dinamik yang keluarannya berubah secara eksponensial jika terjadi perubahan masukan.

3.5.1 SISTEM ORDE NOL (PROPORSIONAL)

Sistem orde nol hanya mengandung elemen resistansi. Dalam sistem ini, perubahan variabel keluaran selalu proporsional atau sebanding dengan perubahan variabel masukan. Variabel keluaran dapat berubah mengikuti variabel masukan tanpa terjadi keterlambatan.

Model Sistem Orde Nol

Sistem dinamik proporsional memiliki model matematika,

(3.2) dengan:

y=K p u

y = variabel keluaran; u = variabel masukan; dan K p = steady-state gain, static gain, atau sensitivitas proporsional.

Persamaan 4.2 dapat diubah ke dalam bentuk fungsi transfer, yaitu berupa perbandingan antara keluaran dan masukan.

= K p (3.3)

dengan, Y = ( y-y o )

y = nilai awal y

U= ( u-u o ) u o = nilai awal u

Diagram blok dan respon variabel keluaran diperlihatkan pada gambar 3.17. Di sini respon variabel keluaran terjadi seketika tanpa keterlambatan dan dapat mencapai kestabilan baru, sehingga termasuk sistem mantap (dengan regulasi diri).

Gambar 3.17 Diagram blok dan respon sistem sistem orde-0 (proporsional).

Contoh 3.3 Laju Alir-1

Sebuah sistem hanya berisi elemen resistansi (R). Beda tekanan (P) sebagai variabel keluaran (variabel terikat) dan laju alir (Q) sebagai variabel masukan (variabel bebas).

Gambar 3.18 Rangkaian resistansi sebagai sistem proporsional.

Contoh 3.4 Laju Alir-2

Sebuah sistem hanya berisi elemen resistansi (R). Laju alir sebagai variabel keluaran (variabel terikat) dan laju tekanan (P) sebagai variabel masukan (variabel bebas).

Gambar 3.19 Rangkaian resistansi sebagai sistem proporsional.

Contoh 3.5 Pengendalian Laju Alir

Sistem proses terdiri atas control valve, perpipaan, dan sensor laju alir. Sistem dialiri air. Jika valve travel (u) berubah naik atau turun maka laju alir air (Q) seketika berubah. Dalam sistem ini sebagai variabel keluaran (terikat) adalah laju alir dan sebagai variabel masukan (variabel bebas) adalah valve travel (u). Laju alir proporsional dengan gerakan valve. Persamaan hubungan antara laju alir dan valve travel adalah,

Gambar 3.20 Pengendalian laju alir sebagai sistem proporsional

3.5.2 SISTEM ORDE SATU

Sistem orde satu berisi gabungan satu elemen resistansi dengan satu kapasitansi. Oleh adanya komponen tersebut, keadaan sistem (energi atau massa yang tersimpan) hanya dapat berubah secara berangsur, baik saat pengisian maupun pengeluaran. Akibatnya terdapat kelambatan respon variabel keluaran.

Kelambatan sistem disebabkan adanya komponen yang bersifat menyimpan massa dan/atau energi.

Kecepatan respon variabel keluaran selama periode transisi, sebelum tercapai steady state, tergantung pada besar kapasitas dan hambatan aliran yang memasuki komponen penyimpan. Sistem orde satu hanya memiliki satu komponen penyimpan energi dan/atau massa.

Model Sistem Orde Satu

Persamaan model sistem orde satu adalah,

τ dy

+ y = K p u (3.4)

dt

dengan : u = masukan sistem y = keluaran sistem

τ p = konstanta waktu sistem, dan K p = steady state gain . Fungsi transfer ( G p ) sistem orde satu dapat dibuat dengan mengganti operator

diferensial (d/dt) dengan ( s ) atau dengan transformasi Laplace. Jika nilai awal u dan y

berturut-turut adalah u o dan y o maka dari persamaan (4.18) dapat diperoleh fungsi transfer sistem orde satu sebagai,

dengan, Y =( y - y o ) U = (u - u o )

Jika masukan berupa fungsi step dengan perubahan sebesar A, maka hubungan keluaran dan masukan adalah (gambar 4.20),

( 1 − e ) + y o (3.6)

Konstanta Waktu . Waktu yang diperlukan oleh variabel keluaran sistem dinamik untuk mencapai 63,2 % dari nilai akhirnya yang dihitung dari kondisi awal, jika masukan berubah sebagai fungsi step disebut konstanta waktu. Besaran ini menunjukkan seberapa cepat waktu yang digunakan untuk mencapai steady-state baru. Sehingga konstanta waktu menjadi ukuran keterlambatan. Semakin besar konstanta waktu ( τ p ), berarti semakin besar komponen penyimpan massa/energi dan respon variabel keluaran semakin lambat.

Konstanta waktu menentukan perilaku dinamik sistem

Gain Proses. Steady-state gain , static-gain, atau gain saja menunjukkan besar perubahan variabel keluaran terhadap masukan setelah tercapai steady-state baru. Sehingga steady- state gain menunjukkan karakteristik statik dan menjadi ukuran kepekaan (sensitivitas).

Steady-state gain menentukan kepekaan atau perilaku statik sistem.

Sistem orde satu (first-orde lag) biasa ditulis dengan PT 1 yang berati sistem proporsional dengan keterlambatan. Banyak proses di industri dapat dimodelkan sebagai sistem orde satu.

Gambar 3.21 Diagram blok dan respon step sistem orde satu

Sebagai ilustrasi diperlihatkan pada gambar 3.21. Suhu cairan dalam tangki dapat diatur melalui keran pencampur. Tergantung pada volume tangki, suhu cairan hanya dapat berubah secara berangsur setelah bukaan keran diubah.

Gambar 3.22 Sistem orde satu dengan suhu sebagai variabel keluaran.

3.5.3 SISTEM ORDE DUA

Sistem orde dua disebut juga sistem osilatori, sebab sistem ini dapat mengalami osilasi, baik osilasi teredam maupun kontinyu.

Model Sistem Orde Dua

Sistem orde dua memiliki model persamaan sebagai berikut.

dy

+ y = K p x (3.7)

p = waktu karakterisitik proses; ζ p = faktor redaman (damping factor) proses;

K p = steady state gain proses.

Fungsi transfer sistem orde dua adalah,

G p p = = 2 2 (3.8)

Bentuk respon step sistem orde dua, tergantung nilai faktor redaman ( ζ p ).

Gambar 3.23. Respon step pada sistem orde dua.

Gambar 3.24. Spesifikasi respon osilasi teredam sistem orde dua.

Spesifikasi Respon Osilasi Teredam . Spesifikasi respon osilasi teredam dinyatakan oleh beberapa besaran berikut (indeks “p” pada τ dan ζ sengaja dihilangkan, untuk memberi pengertian, bahwa respon ini berlaku umum, bukan hanya untuk proses).

• Waktu tunda, t d , (delay time) adalah waktu pertama yang dibutuhkan variabel keluaran sistem untuk mencapai setengah dari nilai akhirnya.

• Waktu naik , t r , (rise time) adalah waktu yang dibutuhkan oleh variabel keluaran sistem untuk naik dari 10% ke 90%, atau 0% ke 100% dari nilai akhirnya. Untuk sistem orde dua dengan osilasi teredam (underdamped) dipakai 0% ke 100% waktu naik. Untuk sistem sangat teredam (overdamped), biasa dipakai 10% ke 90% waktu naik.

• Waktu puncak , t p , (peak time) adalah waktu yang dibutuhkan variabel keluaran sistem untuk mencapai puncak gelombang yang pertama.

• Overshoot adalah amplitudo maksimum dari variabel keluaran sistem dihitung dari nilai akhirnya. Jika nilai akhir tidak sama dengan satu, biasanya overshoot dinyatakan dalam persen overshoot. Besaran ini langsung menunjukkan kestabilan relatif dari sistem. Semakin besar overshoot, sistem semakin tak stabil. Tetapi semakin kecil overshoot, sistem semakin lambat.

a ζπ

2 ) 100 % b (3.12)

M p = . 100 % = exp( −

• Waktu mantap , t s , (settling time) adalah waktu yang dibutuhkan variabel keluaran sistem untuk mencapai nilai dengan penyimpangan di sekitar 5% (atau

2%) dari nilai akhirnya untuk seterusnya berada dalam batas nilai tersebut. Waktu mantap berhubungan erat dengan konstanta waktu sistem.

Kriteria 5%: t s =

• Decay ratio adalah perbandingan antara amplitudo kedua dan pertama.

c 2 ζπ

Decay ratio =

= exp( −

a 1 2 − ζ • Periode osilasi ,

Jika, ζ = 0, akan terjadi osilasi kontinyu dan periode osilasinya disebut periode osilasi alami (T n ).

Respon sistem orde dua sangat penting untuk difahami, karena mirip dengan perilaku sistem pengendalian umpan balik. Dengan adanya umpan balik, sistem dapat mengalami osilasi, baik teredam maupun kontinyu bahkan tidak stabil.

Sedikit catatan tentang respon transien sistem orde dua. Kecuali untuk penerapan khusus yang tidak membolehkan adanya osilasi, biasanya respon transien diinginkan cukup cepat dan cukup teredam. Berdasar pengalaman, nilai faktor redaman ( ζ ) yang memenuhi syarat demikian terletak antara 0,4 dan 0,8. Nilai yang lebih kecil dari 0,4 menyebabkan overshoot berlebihan. Sedangkan lebih besar dari 0,8 menyebabkan respon terlalu lambat. Sementara itu, overshoot dan waktu mantap saling tarik menarik secara berlawanan. Jika overshoot kecil, waktu mantap menjadi panjang. Sebaliknya, jika waktu mantap dibuat pendek, overshoot menjadi besar.

3.5.4 SISTEM ORDE SATU SERI

Susunan seri dua sistem orde satu atau lebih berperilaku sebagai sistem orde tinggi. Jika keluaran sistem berikutnya mempengaruhi sistem sebelumnya disebut sistem dengan interaksi, dan sebaliknya disebut sistem tanpa interaksi.

Gambar 3.25 Dua sistem orde satu seri dengan interaksi.

Gambar 3.26 Dua sistem orde satu seri tanpa interaksi.

Gambar 3.27 Respon step sistem orde satu seri

(angka dalam kurva menunjukkan jumlah sistem orde satu)

Pada gambar 3.25, laju alir masuk ke tangki-2 tergantung pada perbedaaan kedua tinggi air. Artinya, kecepatan perubahan tinggi air tangki-2 tergantung pada tinggi air tangki-1, dan sebaliknya. Berbeda untuk sistem tanpa interaksi sebagaiamana contoh pada gambar 3.26. Laju alir air ke tangki-2 hanya dipengaruhi tinggi air tangki-1. Tinggi air tangki-2 tidak mempengaruhi kecepatan perubahan tinggi air tangki-1.

3.5.5 WAKTU MATI (DEAD TIME)

Waktu mati adalah waktu antara aksi pada masukan dan munculnya reaksi pada keluaran. Salah satu contoh, aliran cairan melalui pipa dengan luas penampang A dan panjang L.

Gambar 3.28. Waktu mati pada aliran dalam pipa.

Mula-mula air dengan laju alir volumetrik Q masuk ujung pipa kiri pada suhu mantap T o . Suatu saat suhu air yang masuk ujung kiri dipanaskan menjadi T 1 . Maka perubahan suhu cairan tidak akan terdeteksi sensor suhu di ujung pipa kanan, sampai waktu mencapai,

A. θ L

p = (3.16)

Model Waktu Mati

Waktu aktu mati memiliki model matematika,

(3.17) yang berarti keluaran sistem tertunda sebesar θ . Sedangkan fungsi transfernya adalah,

y(t) = u ( t- θ p )

G p = = e (3.18)

Respon step sistem waktu mati diperlihatkan pada gambar berikut.

Gambar 3.29. Diagram blok dan respon step waktu mati.

3.5.6 SISTEM ORDE TINGGI

Rangkaian sistem dinamik biasanya memiliki banyak elemen dinamik yang terhubung secara rumit. Akibatnya sistem demikian merupakan sistem kompleks dan memiliki orde tinggi. Sebagai contoh, kolom distilasi 50 tahap memiliki 50 elemen dinamik. Apabila masing-masing elemen dibuat neraca massa dan energinya, maka diperoleh 100 persamaan model matematika dalam bentuk persamaan diferensial sistem orde satu. Hubungan seri ke-50 elemen dinamik tersebut, menghasilkan model matematika persamaan massa dan energi masing-masing dengan orde 50. Karena kerumitan sistem orde tinggi, maka kemudian dibuat pendekatan sebagai usaha penyederhanaan. Pendekatan dapat dilakukan dengan mengangggap sistem orde tinggi sebagai hubungan seri waktu mati dan sistem orde satu atau dua. Apabila satu konstanta waktu elemen dinamik jauh lebih besar (dominan), maka konstanta waktu yang lain menghasilkan waktu mati.

3.5.7 SISTEM TAK MANTAP (INTEGRATOR ATAU NON-SELF REGULATING)

Sistem tak mantap adalah sistem yang tidak dapat mencapai keadaan seimbang dengan sendirinya.

Model Sistem Tak mantap (Integrator)

Sistem tak mantap memiliki model matematika,

y 1 = ∫ u . dt (3.19)

Dalam bentuk fungsi transfer,

dengan, τ i adalah waktu integral. Sistem tak mantap tidak memiliki static gain, hanya memiliki dynamic gain.

Contoh sistem tak mantap atau integrator adalah tangki dengan aliran keluar pada laju tetap. Jika terjadi perubahan laju alir masuk akan menyebabkan tinggi air berubah terus Contoh sistem tak mantap atau integrator adalah tangki dengan aliran keluar pada laju tetap. Jika terjadi perubahan laju alir masuk akan menyebabkan tinggi air berubah terus

Gambar 3.30. Contoh sistem tak mantap atau integrator.

Gambar 3.31 menunjukkan respon step sistem tak mantap. Pada perubahan masukan step, keluaran terus naik dengan kemiringan yang tergantung pada besar waktu integral. Semakin kecil waktu integral, kemiringan semakin besar.

Gambar 3.31 Respon step sistem tak mantap (integrator).

3.5.8 SISTEM DENGAN RESPON TERBALIK (INVERSE RESPONSE)

Sistem dengan respon terbalik (inverse response) atau nonminimum phase ketika mendapat masukan step mula-mula memberikan keluaran ke satu arah (naik atau turun). Setelah beberapa saat keluaran berbalik arah (gambar 3.32).

Gambar 3.32 Sistem dengan respon terbalik (inverse response).

Contoh sistem dengan respon terbalik adalah proses pemanasan cairan dalam alat penukar panas shell-and-tube yang disajikan pada gambar 3.33.

Gambar 3.33 Contoh sistem dengan respon terbalik.

Jika laju alir cairan hangat bertambah besar, maka laju alir campuran yang masuk penukar panas bertambah. Ini menyebabkan laju cairan yang berada dalam penukar panas terdorong lebih cepat, sehingga pertukaran panas antara pemanas dan cairan lebih singkat. Akibatnya suhu yang keluar dari penukar panas lebih dingin. Ini ditandai dengan grafik penurunan suhu cairan panas. Setelah beberapa saat, campuran yang lebih hangat masuk, sehingga beban pemanasan lebih ringan dan suhu keluar naik dengan cepat.