b = 4 = 0,04 n = 5,5 karena 6 bulan sama dengan 0,5 tahun
diperoleh :
873,64 Rp.11.168.
021,02 1,2166529
- 9.000.000,
Rp 04
, 2
1 1
1,04 9.000.000
Rp. 1,04
9.000.000 0,04Rp.
2 1
1,04 9.000.000
Rp. M
5 5
5 5,5
= =
+ =
+ ×
=
Jadi besar modal setelah 5 tahun 6 bulan adalah adalah ,64
11.158.873 Rp.
M
5,5
=
11.5. RENTE RENTETAN MODAL
1. Rente Terbatas adalah rente dengan banyaknya angsuran atau
Penambahan uang oleh pihak bank untuk tabungan maupun produk bank yang lain menggunakan sistem bunga majemuk yaitu setiap akhir
periode bunganya langsung menjadi modal yang dibungakan lagi atau dikenal dengan bunga berbunga.
Didalam sistem bunga majemuk dikenal istilah rente yaitu rentetan modal yang dibayarkan setiap periode yang tetap. Pembayaran yang
menggunakan rente antara lain: 1. Pembayaran barang secara kredit
2. Pembayaran asuransi 3. Tabungan berjangka atau deposito
Berdasarkan banyaknya angsuran rente dibedakan menjadi 2, yaitu : periode terbatas, misal 12 kali angsuran, 24 kali angsuran, atau dengan
k kali angsuran dengan k : bilangan asli dan berhingga.
2. Rente Kekal abadi adalah rente dengan banyaknya angsuran yang tidak terbatas, misal k kali angsuran dengan k tak hingga.
Berdasarkan waktu pembayarannya rente dibedakan menjadi 2, yaitu : 1. Rente Pranumerando adalah suatu rente dengan waktu
pembayarannya dilakukan setiap awal periode, misal tanggal 1 setiap bulan, tanggal 1 Januari setiap tahun.
2. Rente Postnumerando adalah suatu rente dengan waktu pembayarannya dilakukan setiap akhir periode, misal tanggal 30
setiap bulan, tanggal 30 Desember setiap tahun.
? Rente Pranumerando 1. Penghitungan Nilai Akhir
Misalkan dengan modal M setiap tahun dalam periode n tahun, dengan suku bunga majemuk i per tahun. Maka nilai akhir dari
angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut. Angsuran dibayar pada awal periode yaitu tanggal 1 Januari dan nilai
akhir dihitung pada akhir tahun ke-n yait u pada tanggal 31 Desember tahun ke-n seperti pada penjelasan berikut.
Tahun Pertama 1 Januari M1 + i
1
Tahun Kedua 1 Januari M1 + i
2
Tahun Ketiga 1 Januari M1 + i
3
: Tahun ke n-1 1 Januari M1 + i
n-1
Tahun ke n 1 Januari M1 + i
n
+ 31 Desember
∑
= −
+
n k
k k
i M1
Jadi Nilai Akhir dari Rente Pranumerando adalah
k n
k 1
k a
k n
k 1
k a
i 1
M N
i 1
M N
∑ ∑
= =
= =
+ =
+ =
Atau jika dihitung menggunakan deret, didapat Na = M 1 + i + M 1 + i +…+ M 1 + i
n
merupakan deret Geometri dengan
a = M 1 + i dan r = 1 + i
1 -
i 1
1 i
1 i
1 M
N
n
+ +
+ +
=
i 1
i 1
i 1
M N
n
+ +
+ =
Contoh 11.5.1:
Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak Rp.1.000.000,-. Jika besar bunga 4 pertahun, maka tentukan nilai
akhir rente pada tahun ke 3.
Penyelesaian:
M = Rp.1.000.000,- n = 3
i = 4
∑
= =
+ =
n k
k k
a
i M
N
1
1
∑
=
+ ×
− =
3 1
04 .
1 ,
000 .
000 .
1
k k
Rp 124864
. 1
0816 .
1 04
. 1
, 000
. 000
. 1
+ +
× −
= Rp
246464 .
3 ,
000 .
000 .
1 ×
− =
Rp −
= ,
464 .
246 .
3 Rp
2. Penghitungan Nilai Tunai
Misalkan dengan modal M setiap tahun dalam periode n tahun, dengan suku bunga majemuk i per tahun. Maka nilai tunai dari
angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut. Angsuran dibayar pada awal periode yaitu tanggal 1 Januari dan nilai
tunai dihitung pada akhir tahun ke-n yaitu pada tanggal 1 Januari tahun ke-n seperti pada penjelasan berikut :
Tahun Pertama 1 Januari M Tahun Kedua 1 Januari M 1 + i
Tahun Ketiga 1 Januari M 1 + i
2
:
Tahun ke n-1 1 Januari M 1 + i
n-2
Tahun ke n 1 Januari M 1 + i
n-1
+
∑
= =
+ +
1 -
n k
1 k
k
i 1
1 M
M
Jadi Nilai Tunai dari Rente Pranumerando adalah
i 1
1 M1
i 1
1 M
M N
1 -
n k
1 k
1 -
n k
1 k
t
∑ ∑
= =
= =
+ +
= +
+ =
k k
Atau jika dihitung menggunakan deret, didapat suatu deret geometri dengan a = M, dan r = 1 1+i, maka :
+ −
+ =
−
i i
n
1 1
i 1
M N
t
Contoh 11.5.2:
Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak Rp. 1.000.000,-. Jika besar bunga 4 pertahun, maka tentukan nilai tunai
rente pada tahun ke 3.
Penyelesaian:
M = Rp.1.000.000,- n = 3
i = 4
+ −
+ =
−
0,04 04
, 1
1 0,04
1 00,-
Rp.1.000.0 N
3 t
=
× ×
− 0,04
8 0,88899635
- 1
04 ,
1 ,
000 .
000 .
1 .
Rp
= Rp.1.040.000 2,775091033 = Rp.2.886.094,67
? Rente Postnumerando 1. Penghitungan Nilai Akhir
Tahun Pertama 31 Desember M1+i
n-1
Misalkan dengan modal M setiap tahun dalam periode n tahun, dengan suku bunga majemuk i per tahun. Maka nilai akhir
a
N
dari angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut :
