BAB VII TRANSFORMASI LAPLACE
1. Transformasi Laplace
Definisi Misalkan Ft suatu fungsi dari t dan t 0, maka transformasi Laplace dari Ft
dinotasikan dengan L{Ft} dan didefinisikan oleh: L {Ft} =
`
dt t
F e
st
= fs Karena L{Ft} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingg
maka L{Ft} =
`
dt t
F e
st
=
p
st p
dt t
F e
Lim
Transformasi Laplace dari Ft dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.
Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya Ft, Gt, Yt dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang
bersangktan sehingga L{Ft} = fs, L{Gt} = gs, L{Yt} = ys dan seterusya. Teorema
Jika Ft adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0
t
N dan eksponensial berorde untuk t N, maka transformasi Laplace fs ada untuk setiap s
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
1
Nomor Ft
L{Ft} = fs 1.
1
, 1
s
s 0 2.
t
, 1
2
s
s 0 3.
t
2
3
2 s
, s 0 4.
t
n
n = 0,1,2,3,….
1
n
s n
, s 0 5.
e
at
, 1
a s
s 0 6.
sin at
,
2 2
a s
a
s 0 7.
cos at
,
2 2
a s
s
s 0 8.
sinh at
,
2 2
a s
a
s
a
9. cosh at
,
2 2
a s
s
s
a
Contoh Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi berikut:
1. Ft = 1 L {Ft} = L{1}
=
1 dt
e
st
=
p
st p
dt e
Lim
=
p st
p
e s
1 lim
=
1 1
lim se
se
p
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
2
=
s 1
2. Ft = t L{Ft} =
st
e
t dt
=
p
st p
tdt e
lim
=
1 .
lim
st p
p
e d
s t
=
dt e
te s
p st
st p
lim 1
=
p st
st p
e s
te s
1 lim
1
=
s s
1 1
o
=
2
1 s
3. Ft = e
at
L{Ft} =
dt e
e
at st
=
dt e
Lim
p t
a s
p
=
p t
a s
p
e a
s lim
1
=
1 1
lim 1
a s
a s
p
e e
a s
=
a s
1
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
3
4. Ft = sin at L{Ft} =
dt e
st
at sin
=
p
st p
at d
a e
Lim cos
1
=
p st
st p
e atd
a e
at a
Lim cos
1 .
cos 1
=
p p
st st
p
dt e
at a
s e
at a
Lim .
cos .
cos 1
=
p st
st p
at d
a e
a s
e at
a Lim
sin 1
. .
cos 1
=
p p
st st
st p
e d
at at
e a
s e
at a
Lim
2
. sin
sin .
cos 1
=
p p
st st
st p
se at
at e
a s
e at
a Lim
2
. sin
sin .
cos 1
=
p p
st st
st p
se at
a s
at e
a s
e at
a Lim
2 2
2
. sin
sin .
cos 1
=
p st
st p
e at
a s
e at
a s
a a
Lim
2 2
2 2
. sin
. cos
1
=
2 2
s a
a
5. Ft = cos at L{Ft} =
dt e
st
at cos
=
p
st p
at d
a e
Lim sin
1
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
4
=
p st
st p
e atd
a e
at a
Lim cos
1 .
cos 1
=
p p
st st
p
dt e
at a
s e
at a
Lim .
cos .
cos 1
=
p st
st p
at d
a e
a s
e at
a Lim
sin 1
. .
cos 1
=
p p
st st
st p
e d
at at
e a
s e
at a
Lim
2
. sin
sin .
cos 1
=
p p
st st
st p
se at
at e
a s
e at
a Lim
2
. sin
sin .
cos 1
=
p p
st st
st p
se at
a s
at e
a s
e at
a Lim
2 2
2
. sin
sin .
cos 1
=
p st
st p
e at
a s
e at
a s
a a
Lim
2 2
2 2
. sin
. cos
1
=
2 2
s a
a
2. Syarat cukup Transformasi Laplace ada Jika Ft adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0
N t
dan eksponensial berorde untuk t N, maka transformasi Laplace-ny fs ada untuk semua s .
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi
Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
3. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
5
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya adalah
1 Sifat linear
Jika c
1
dan c
2
adalah sebarang konstanta, sedangkan F
1
t
dan F
2
t
adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace-nya masing-masing
1
s f
dan
2
s f
, maka: L{c
1 1
t F
+c
2
t F
} = c
1 1
s f
+ c
2
s f
Bukti: L{c
1 1
t F
+c
2
t F
} =
2 2
1 1
} {
dt t
F c
t F
c e
st
=
2 1
1 1
dt t
F c
e dt
t F
c e
st st
=
2 2
1 1
dt t
F e
c dt
t F
e c
st p
st
=
2 2
1 1
s f
c s
f c
Contoh 1. L{5t-3} = L{5t} – L{3}
= 5 L{t} – 3 L{1} = 5
s s
1 3
1
2
=
s s
3 5
2
2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t} = 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t}
= 6
4 2
5 4
2
2 2
s
s
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
6
=
4 10
4 12
2 2
s
s
Dengan menggunakan sifat linear di atas tentukan Transformasi dari fungís-fungsi berikut ini.
a. Ft = 2t2 e-t b. Ft = 6 sin 2t – cos 2t
c. Ft = sin t – cos t2 d. Ft = cosh 3t – ½ sinh t
e. Ft = 2t + 23 f. Ft = sin t – 32
2 Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika L{Ft} = fs maka L{e
} t
F
at
= fs-a Bukti
Karena L{Ft} =
dt t
F e
st
= fs, maka
L{e
} t
F
at
=
dt t
F e
e
at st
=
p t
a s
dt t
F e
= fs-a Contoh:
1. Tentukan L{Ft} = e-3tFt jika L{Ft} = fs 2. Tentukan L {Ft} = e2tFt jika L{Ft} = fsa
3. Sifat translasi atau pergeseran kedua
Kategori