2.5. Teori Euler
Teori tekuk kolom yang pertama kali dikemukakan oleh Leonheardt Euler pada tahun 1759 yaitu kolom dengan beban konsentris yang semula lurus dan semua seratnya
tetap elastis sehingga tekuk akan mengalami lengkungan yang kecil. Euler hanya menyelidiki batang yang dijepit di salah satu ujung dengan tumpuan sederhana simply
supported di ujung lainnya, logika yang sama dapat diterapkan pada kolom berujung
sendi, yang tidak memiliki pengekang rotasi dan merupakan batang dengan kekuatan tekuk terkecil.
P P z z
L Posisi yang sedikit melengkung
y
Gambar 2.11 Kolom Euler Daniel. L.Schodek. Pada titik sejauh x, momen lentur M
x
M terhadap sumbu x pada kolom yang
sedikit melentur adalah :
x
Dan karena, = P x y .….……………...……………………………………………….. 2.1
=
……..…………………………………………………..…… 2.2
Persamaan di atas menjadi :
+
= 0 …………………………………………………………... 2.3
Bila k
2
= PEI akan diperoleh
+
k
2
Penyelesaian persamaan diferensial ber-ordo 2 ini dapat dinyatakan sebagai :
y = 0
……………………………………………………………. 2.4
y = A sin kx + B cos kx …………………………………………………….. 2.5 Dengan menerapkan syarat batas
a. y = 0 pada x = 0; diperoleh 0 = A sin 0 + B cos 0 didapat harga B = 0 b. y = 0 pada x = L; karena harga A tidak mungkin nol, maka diperoleh harga
A sin kL = 0 ………………………………………………………………… 2.6 Harga kL yang memenuhi ialah kL = 0,
π, 2π, 3π, … nπ Dengan kata lain, persamaan 2.6 dapat dipenuhi oleh tiga keadaan :
1. Konstanta A = 0, tidak ada lendutan. 2. kL = 0, tidak ada beban luar.
3. kL = π, syarat terjadinya tekuk, dan karena k
2
= maka π = L
. Apabila kedua ru
as dikuadratkan π
2
= L
2
maka diperoleh :
P
kritis
= P
euler
= P
cr
= …………………….………………………….… 2.7
Ragam tekuk dasar pertama, yaitu lendutan dengan lengkung tunggal y = A sin x
dari pers.2.5, akan terjadi bila kL = π ; dengan demikian beban kritis Euler untuk
kolom yang bersendi pada kedua ujungnya dimana L adalah panjang tekuk yang dinotasikan L
k
P
adalah :
cr
= .......................................................................................................
2.8 Leodard Euler adalah orang yang perrtama kali merumuskan peristiwa beban
tekuk kritis pada kolom , sehingga dalam teorinya disebut dengan istilah Tekuk Euler. Beban tekuk kritis untuk kolom yang ujung-ujungnya sendi, yang dikenal dengan beban
tekuk Euler adalah :
Pcr =
Dimana : E = Modulus Elastisitas
I = Momen Inersia L = Panjang Kolom di antara kedua ujung sendi
Π = Konstanta pi Rumus ini memperlihatkan dengan jelas bahwa, kapasitas kolom untuk memikul
beban selalu berbanding terbalik dengan kuadrat panjang elemen kolomnya, serta sebanding dengan modulus elastisitas material, dan momen inersia penampang
melintang. Momen inersia yang dipakai adalah momen yang paling minimum terhadap sumbu berat penampang apabila kolom tersebut tidak dikekang unbraced.
Dengan menggunakan persamaan Euler kita dapat memprediksikan jika suatu kolom berdimensi panjang, maka beban yang dapat menimbulkan terjadinya tekuk
menjadi semakin kecil, begitu juga sebaliknya. Seperti yang dijelaskan oleh gambar di bawah.
Gambar 2.12 Tekuk Euler pada kolom panjang Gambar di atas menjelaskan bahwa jika kolom semakin pendek maka jenis
kegagalan yang terjadi bukan merupakan tekuk melainkan kegagalan akibat susunan materialnya. Dengan demikian, rumus Euler tidak berlaku pada kolom pendek. Jadi
dapat disimpulkan bahwa beban tekuk kolom sangat peka terhadap ukuran panjang kolom.
Selain ukuran panjang kolom yang harus diperhatikan, kita juga harus memperkirakan bentuk penampang melintangnya. Karena berpengaruh pada arah
tekuknya. Apabila kolom yang kita uji tak dikekang dan memiliki ukuran yang tidak simetris maka kita perlu memperhatikan adanya momen inersia yang berbeda pada
kolom tersebut. Kolom demikian pada umumnya mengalami tekuk ke arah dimensi terkecil, atau
lebih tepat lagi ke arah sumbu terlemah pada kolom. Kolom segi 4 mempunyai 2 momen inersia utama yaitu Ix dan Iy, maka beban-beban yang dapat menimbulkan
tekuk pada kolom adalah Pcr
x
dan Pcr
y
Persamaannya adalah: . Beban sebenarnya yang dapat menyebabkan
peristiwa tekuk adalah yang terkecil diantara keduanya.
Pcr
x
= Pcr
y
=
Gambar 2.13 Tekuk pada penampang melintang tidak simetris
Peristiwa tekuk sangat berhubungan dengan nilai kekakuan suatu elemen struktur. Suatu elemen struktur yang mempunyai nilai kekakuan yang kecil akan lebih mudah
mengalami tekuk bila dibandingkan dengan elemen struktur yang mempunyai nilai kekakuan yang besar. Semakin panjang suatu elemen struktur maka nilai kekakuannya
semakin kecil. Banyak faktor yang mempengaruhi terjadinya beban tekuk Pcr. Panjang kolom
adalah faktor yang sangat penting. Kapasitas kolom untuk memikul beban berbanding terbalik dengan kuadrat panjang elemen struktur. Selain itu faktor lain yang menentukan
P
cr
Perencanaan dimensi batang tekan kolom lebih sulit dari perencanaan batang tarik. Peristiwa tekuk yang terjadi pada kolom sangat dipengaruhi oleh nilai
kelangsingan kolom yaitu perbandingan antara panjang efektif kolom dengan jari-jari girasinya.
nya adalah suatu hal yang berhubungan dengan kekakuan elemen strukturnya seperti jenis material yang dipakai dan ukuran penampang kolom Daniel. L.Schodek.
Kekakuan elemen struktur sangat dipengaruhi oleh banyaknya distribusi material yang ada. Pada elemen struktur berbentuk persegi panjang seperti gambar di bawah
menunjukkan bahwa elemen struktur akan selalu mengalami tekuk.
Tabel 2.8 Nilai kekakuan dalam berbagai jenis perletakan kolom
Perletakan Sendi-Sendi
Perletakan Jepit-Jepit
Perletakan Jepit-Sendi
Perletakan Jepit-Jepit Bergoyang
Perletakan Jepit-Bebas
Perletakan Sendi-Jepit Bergoyang
Kelakuan kolom Euler dapat digambarkan secara grafik di bawah ini:
Grafik 2.3 Kelakuan kolom Euler Daniel. L.Schodek Dari grafik dapat dilihat bahwa sampai beban Euler dicapai, kolom harus tetap
lurus. Pada beban Euler ada percabangan kesetimbangan yaitu kolom dapat tetap lurus atau dapat dianggap berubah bentuk dengan amplitude tidak tentu. Kelakuan ini
menunjukkan bahwa keadaan kesetimbangan pada saat beban Euler merupakan transisi dari kesetimbangan stabil dan tidak stabil.
2.6 Batas Berlakunya Persamaan Euler
Kategori