IDENTITAS FUNGSI TRIGONOMETRI.
B.1. IDENTITAS FUNGSI TRIGONOMETRI.
Pengalaman Belajar: 2.2.1. Membuktikan berlakunya identitas fungsi trigonometri
2.2.2. Mendiskusikan pola pembuktian fungsi trigonometri
2.2.3. Mempresentasikan dan menyimpulkan hasil diskusi
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut identitas fungsi rigonometri diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
Pengantar materi:
Dalam setiap pembicaraan tentang identitas fungsi trigonometri tidak terlepas dari apa pengertian dasar nilai perbandingan fungsi trigonometri, dan perhatikan serta diskusikan dengan teman anda beberapa konsep dasar berikut ini:
Perhatikan gambardi samping:
P(x, y)
Telah diketahui bahwa:
Sin o =
maka y = R ...........
3 2 R y R= x y
o Cos o =
maka x = ..... cos o
Tan o =
maka
o = anti tan
a. Dari x 2 + y 2 =R 2
(.... cos o ) 2 + (R ...........) 2 =R 2 R 2 (..............) 2 + .... 2 sin 2 o = .......
2 R ( ............ + ........... ) = R 2 ( ............ + ........... ) = 1
Cos 2 o = 1 - .................
Jadi: cos 2 o + ...... 2 o =1
Sin 2 o = 1 - .................
sin o
sin
cos
b. o =
= tan o
cos
Dengan langkah dan pola berpikir yang sama, diskusikan dan tunjukan berlakunya identitas berikut ini:
1 cos A
1. cosec A =
4. cotan A =
sin A sin A
2. sec A =
5. tan 2 A + 1 = sec 2 A
cos A
3. cotan A =
6. cotan 2 A + 1 = cosec 2 A
tan A
LKS-Mat.X-74
Masalah 20: Buktikan bahwa: sin 2 A cotan 2 A + cos 2 A tan 2 A=1
Bukti:
Ambil Ruas Kiri: sin 2 A cotan 2 A + cos 2 A tan 2 A cos 2 A .......... sin 2 A + cos 2 A
cos 2 A + ……….. 1 (terbukti)
Masalah 21:
Buktikan bahwa: ( cos A + sin A ) 2 – 2 cos A sin A = 1
Bukti:
Ambil Ruas Kiri: ( cos A + sin A ) 2 – 2 cos A sin A ( cos 2 A + 2 cos A ……… + ……. 2 A) – 2 ……. …….
( cos 2 A + ……….. )
1 (terbukti)
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
Buktikan identitas-identitas berikut ini:
1. (cos A + sin A)(cos A
– sin 2 A)(1 + tan 2 A) = 1
7. sin 4 A – cos 4 A=1
– 2 cos 2 A
3 sin 3 A cos A
8. sin A cos A
1 sin ACosA
9. sin A sec A 2 cos ec A 1 =1
10. tan A sin A + cos A = sec A
B.2.1. LUAS SEGITIGA dan SEGI-n.
Pengalaman Belajar: 2.2.4. Membuktikan berlakunya rumus sinus untuk luas segitiga
2.2.5. Mempresentasikan dan menyimpulkan hasil diskusi
2.2.6. Mendiskusikan berlakunya aturan sinus dan aturan cosinus.
2.2.7. Menghitung luas segi-n beraturan.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut penerapan fungsi sinus dalam luas segitiga dan segi-n diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:
LUAS SEGITIGA Pengantar materi:
Rumus sinus untuk menentukan luas segitiga dapat diturunkan dari pengertian dasar nilai perbandingan fungsi trigonometri jika diketahui dua sisi dan satu sudut apit segitiga,
LKS-Mat.X-75
dan perhatikan serta diskusikan dengan teman anda beberapa konsep dasar berikut ini:
Perhatikan pada gambar (i) dan (ii) dapat ditarik hubungan sebagai berikut: Sin A o
= t
t = ..... sin A o
b .......
Luas segitiga ABC = ½ alas x tinggi (ingat saat SLTP) = ½ AB . t
= ½ (......) (...................) = ½ (.....) ( b ..........) = ½ b c sin A.
Dengan argumentasi yang sama maka berlaku pula:
Luas segitiga ABC = ½ a c sin B = ½ a b sin C
Jika diketahui satu sisi dan dua sudut segitiganya, maka berlaku hubungan tentang luas segitiga sebagai berikut:
2 2 a 2 sin B sin C b sin A sin C c sin A sin B
L= =
2 sin( B C )
2 sin( A C )
2 sin( A B )
Dengan melakukan kajian beberapa referensi study pustaka secara diskusi kelompok lakukan telaah dan pembuktian berlakunya teorema tersebut di atas !
Masalah 22:
Tentukan luas segitiga ABC jika AC = 6 cm, AB = 8 cm dan
A = 45 o
Penyelesaian:
ABC = ½ …… AB Sin ….. = ½ (…..)(….) Sin 45 Luas o
Tentukan luas segitiga ABC jika AB = 5 cm,
A = 30 o dan
B = 40 o
Penyelesaian:
2 c 2 sin A sin B 5 sin ..... sin ...... ......( 0 , 5 )(.......) .......
L= 2 = ........ cm
2 sin( A B ) ..... sin(...... ......)
Jadi luas segitiga ABC = 4,255 cm 2
LKS-Mat.X-76
LUAS SEGI-4 SEMBARANG
D C Dengan menggunakan aturan sinus dalam menentu- kan luas segitiga dan Segi empat sembarang di sam- ping terdiri dari 2 pasang segitiga kongruen, maka da
o pat diturunkan aturan luas segi empat sembarang
sebagai berikut:
ABCD L = ½ AC. BD sin o A B
Coba selidiki kebenaran hal ini, melalui study pusta- ka dan diskusi kelompok !
LUAS SEGI- n BERATURAN
a. Jika diketahui jari-jari lingkaran luarnya.
Dengan mendeskripsikan bahwa segi-n beraturan terben tuk dari n segitiga sama sisi, maka luas segi n beraturan dapat diturunkan dari aturan sinus luas segitiga, sbb:
U r Q Ingat luas segitiga = ½ dua sisi yang membentuk sudut
kali sinus sudut yang terbentuk
Sehingga berlaku:
T Luas segi-n beraturan = n . Luas segitiga sama sisinya
= n . [ ½ r . (....) sin ..... ] ........ o = n . [ ½ (.....) 2 sin
b. Jika diketahui panjang sisinya.
Coba selidiki kebenaran hal ini !
2 sin[
Masalah 24:
Tentukan luas segi-6 beraturan yang jari-jari lingkaran luarnya 4 cm !
Penyelesaian:
L segi-6 =
Jadi luas segi-6 beraturan = 24 3 cm 2
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Hitung luas segitiga berdasar kondisi sebagai berikut: 1. Hitung luas segitiga berdasar kondisi sebagai berikut:
A = 30 O dan
B = 60 O
d. ABC dengan AC = 4 cm,
A = 20 O dan
C = 70 O
LKS-Mat.X-77
2. Luas ABC adalah 20,72 cm 2 , Jika AB = 6,42 cm dan AC = 8,54 cm. Tentukan besar sudut A !
3. Pada EFG, diketahui : FG = 5 cm, EFG = 40 o dan EGF = 36 o Hitunglah : a. Panjang EF
b. Luas segitiga
4. Pada suatu jajaran genjang, dua sisi yang berdekatan panjangnya 8 cm dan 12 cm. Jika besar sudut apitnya 60 o , Tentukan luas jajaran genjang tersebut !
5. Hitung luas segi banyak beraturan yang dilukiskan dalam lingkaran berikut ini !
a. Segi- 5 dalam lingkaran berjari-jari 10 cm.
b. Segi- 8 dalam lingkaran berjari-jari 1 cm.
c. Segi- 40 dalam lingkaran berjari-jari 5 cm.
d. Segi- 70 dalam lingkaran berjari-jari 7 cm.
B.2.2. ATURAN SINUS dan COSINUS.
Pada hal-hal tertentu perhitungan unsur-unsur suatu segitiga sembarang, sering kali diminta untuk melengkapi beberapa unsur yang belum diketahui misalnya panjang sisi dan atau besar salah satu sudut suatu segitiganya. Khusus perhitungan dalam sebuah segitiga siku-siku, hal ini dapat dilakukan dengan mengaplikasikan teorme phythagoras sebagaimana telah dipelajaran semenjak duduk di bangku SLTP. Bagaimana hal ini dapat dilakukan pada sebuah segitiga sembarang ? Ada beberapa konsep trigonometri yang dapat membantu anda, dan dapat dipahami sebagaimana tertuang di bawah ini.