2.3. DISSIPASI ENERGI GETARAN
Tinjau suatu sitim SDOF yang dibebani oleh suatu beban cyclic yang berbentuk sinusoidal, persamaan getaran adalah :
2.18 Penyelesaian persamaan tersebut terdiri dari 2 bagian, yaitu penyelesaian
Umum dan penyelesaian khusus, penyelesaian umum adalah penyelesaian dari persamaan homogennya persamaan 2.18 dengan
sama dengan nol, penyelesaian khusus adalah penyelesaian nilai dengan
yang memenuhi .
Secara umum dapat ditulis 2.19
Dimana adalah penyelesaian umum yang memenuhi persamaan homogen,
yaitu persamaan 2.18 dengan ruas kiri sama dengan nol. adalah penyelesaian
khusus yang memenuhi persamaan non-homogen 2.18. Penyelesaian umum
sama dengan penyelesaian untuk sistim getaran bebas, yaitu
2.20
Mahadianto Ong : Pendekatan Analisa Linier Metallic Damper, 2008 USU e-Repository © 2008
Penyelesaian khusus dapat diperoleh dengan mensubsitusikan ke persamaan
2.18., dalam hal ini dapat diambil bentuk : 2.21
Dengan subsitusikan persamaan tersebut ke persamaan 2.18, diperoleh
Penyelesaian persamaan getaran 2.18 menjadi
2.25 Dimana Konstanta dan ditentukan dari keadaan awal getaran yaitu
kecepatan dan simpangan awal pada waktu t=0. Bagian ruas pertama yang disebut dengan transient-state dan bagian kedua disebut dengan steady-state getaran, bentuk
getaran tersebut dapat dilihat pada gambar 2.4. dari gambar ini dapat dilihat bahwa keadaan transient-state yang ditentukan oleh keadaan awal getaran dan mengecil
Mahadianto Ong : Pendekatan Analisa Linier Metallic Damper, 2008 USU e-Repository © 2008
secara ekponential, sedangkan steady-state akan bergetar terus dengan frekwensi yang sama dengan frekwensi gaya luar sesuai dengan gaya luar yang bekerja.
Lamanya getaran bergantung pada lamanya beban luar dan besar damping.
Untuk menghitung dissipasi energi, hanya dipakai bagian getaran steady-state saja, yaitu:
2.26
Persamaan 2.26 dapat ditulis dalam bentuk fase getaran 2.27
Dimana adalah amplitude getaran, dalam bentuk lain
Mahadianto Ong : Pendekatan Analisa Linier Metallic Damper, 2008 USU e-Repository © 2008
Dimana ,
Dan
Subsitusikan nilai dan
, diperoleh
Dimana , adalah defleksi atau simpangan struktur dalam keadaan statis.
disebut magnification factor atau faktor dinamis getaran, factor tersebut menggambarkan keadaan simpangan maksimum getaran dengan keadaan simpangan
statis. Grafik dari persamaan 2.29. dapat dilihat digambar 2.2. untuk berbagai
nilai dan .
Besarnya Input energi dari gaya luar yang bekerja untuk setiap siklus
pembebanan , adalah :
Mahadianto Ong : Pendekatan Analisa Linier Metallic Damper, 2008 USU e-Repository © 2008
Bila gaya luar , dan persamaan getaran
Energi gaya luar yang bekerja adalah
2.31
Jumlah energy yang didissipasi dalam satu siklus getaran oleh redaman adalah:
Dari persamaan terakhir, energi yang didissipasi besarnya berbanding kwadrat dengan amplitude getaran.
Dengan mensubsitusikan nilai sudut fase ke persamaan 2.31. persamaan input energi dapat ditulis sebagai berikut
Mahadianto Ong : Pendekatan Analisa Linier Metallic Damper, 2008 USU e-Repository © 2008
Bila diperhatikan input Energi persamaan 2.33. dan Persamaan dissipasi energy 2.32. kedua persamaan sama besar
Hal ini menunjukan bahwa besarnya energi yang didissipasi dalam satu siklus getaran sebesar input energi beban luar, dengan amplitude sebesar
Energi kinetik dan energy regangan pegas tidak mendissipasi energi, jumlah energi kinetik dan energi regangan adalah nol untuk satu siklus getaran, hal ini dapat
dibuktikan sebagai berikut. Energi regangan :
2.35
Energy kinetic
2.36
Mahadianto Ong : Pendekatan Analisa Linier Metallic Damper, 2008 USU e-Repository © 2008
Besarnya amplitude getaran dapat dihitung dengan menyamakan persamaan
2.31. dengan persamaan 2.32. diperoleh
Dari persamaan dissipasi energi, gaya damping
Atau dapat ditulis dalam bentuk
Bentuk persamaan terakhir 2.38. adalah fungsi kurva ellips dari fungsi .
Persamaan ellips 2.38. membentuk suatu loop yang tertutup, lihat gambar 2.5.2. loop yang digambarkan dari hubungan gaya dengan displacement ini disebut
hysteristic loop . Luas dari loop adalah
atau
Mahadianto Ong : Pendekatan Analisa Linier Metallic Damper, 2008 USU e-Repository © 2008
2.39
bila dibandingkan dengan persamaan 2.32. diperoleh sama besar dengan
energi yang didissipasi dalam satu siklus getaran. Penggambaran hysteristic loop juga dapat digambarkan dari fungsi gaya total
gaya damping dan gaya elastis pegas atau dalam hal ini,
2.40 Gambar dari persamaan terakhir juga berbentuk loop, gambar 2.5.3. dengan
rotasi sudut , besarnya energi yang didissipasi adalah tetap sebesar
, karena dissipasi gaya pegas .
m F
s
+ F
s
F
d
K K
C u
m
u
m
b HYSTERISTIC LOOP LINIER VICOUS DAMPING Fd - Um
c HYSTERISTIC LOOP Fs+Fd - Um a SDOF - LINIER VICOUS
DAMPING
1. SDOF – Linier
viscous 2.
Hysteresic loop Fd - Um
3. Hysteresic loop
Fd + Fs - Um
Gambar 2.5. Dissipasi energi sistim linier viscous damping
Mahadianto Ong : Pendekatan Analisa Linier Metallic Damper, 2008 USU e-Repository © 2008
2.4. HYSTERESTIC LOOP