RPP MATEMATIKA KELAS XI IPS Smt 2

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Nama Sekolah : SMA PGRI 2 Kajen Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Program : XI (Sebelas) / IPS

Semester : Genap

Standar Kompetensi : 2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.

Kompetensi Dasar : 2.1. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. Indikator : 1. Menentukan syarat dan aturan fungsi yang dapat

dikomposisikan

2. Menentukan fungsi komposisi dari beberapa fungsi. 3. Menyebutkan sifat-sifat komposisi fungsi.

4. Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi dan komponen lainnya diketahui.

Alokasi Waktu : 8 jam pelajaran (4 pertemuan). A. Tujuan Pembelajaran

a. Peserta didik dapat Menentukan syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan. ; b. Peserta didik dapat Menentukan fungsi komposisi dari beberapa fungsi. ;

c. Peserta didik dapat Menyebutkan sifat-sifat komposisi fungsi. ;

d. Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi dan komponen lainnya diketahui. ;

 Karakter siswa yang diharapkan :

 Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras.  Kewirausahaan / Ekonomi Kreatif :

 Berorientasi tugas dan hasil, Percaya diri,Keorisinilan. B. Materi Ajar

a. Sifat khusus yang mungkin dimiliki suatu fungsi:

Definisi : Fungsi dari himpunan A ke himpunan B suatu relasi sedemikian hingga setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B.

A=Df =

A=Df=D B=Rf=R Domain = daerah asal (D)

Kodomain = daerah kawan (K)

Range = daerah hasil (R)

Notasi Fungsi

Suatu fungsi atau pemetaanumumnya dinotasikan denganhuruf kecil. Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f: A → B

A disebut domain B disebut kodomain

Range atau Daerah Hasil Jika f memetakan x  A ke y  B dikatakan y adalah peta dari x ditulis f: x → y atau y = f(x).

Himpunan y  B yang merupakan peta dari x  A disebut range atau daerah hasil

b. Komposisi fungsi Pengertian

Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru.

Misalkan: f : A  B dan g : B  C

f g

A B C

h = g  f

Fungsi baru h = (g o f) : A  C disebut fungsi komposisi dari f dan g. Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))

(gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika Rf ∩ Dg ≠ Ø

Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a)) Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Jika f : A  B ; g : B  C ; h : C  D, maka berlaku: i. (fog)(x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif) ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif) iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)

C. Metode Pembelajaran

Ceramah, tanya jawab, diskusi kelompok.

Strategi Pembelajaran

Tatap Muka Terstruktur Mandiri

 Menentukan sifat khusus yang mungkin dimiliki oleh sebuah fungsi

 Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi bila aturan komposisi dan komponen lainnya diketahui.

 Siswa dapat Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi.

D. Langkah-langkah Kegiatan  Pertemuan Pertama

Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali materi mengenai pengertian fungsi dan jenis-jenis fungsi khusus pada kelas X.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat memahami sifat khusus yang mungkin dimiliki suatu fungsi. Kegiatan Inti:

 Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai cara memahami sifat khusus yang mungkin dimiliki suatu fungsi. ;

 Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

b. Peserta didik dikondisikan dalam beberapa kelompok diskusi dengan masing-masing kelompok terdiri dari 3-5 orang. ;

c. Dalam kelompok, masing-masing peserta didik berdiskusi mengenai: ;

- Pengertian fungsi satu-satu (injektif), fungsi pada (bijektif) , dan fungsi satu-satu dan pada (bijektif) beserta contohnya masing-masing 2 untuk setiap sifat fungsinya,

- Pengidentifikasian suatu fungsi yang merupakan fungsi satu, pada, atau satu-satu dan pada,

- Kesamaan dari dua fungsi,

d. Masing-masing kelompok diminta menyampaikan hasil diskusinya, sedangkan kelompok yang lain menanggapi. ;

e. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan mengenai sifat khusus yang mugkin dimiliki suatu fungsi. ;

f. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas soal-soal pada Uji Kompetensi 1 Kreatif hal 5;

g. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai fungsi satu-satu, fungsi pada, fungsi satu-satu pada, dan kesamaan dua fungsi dari Aktivitas Kelas dalam buku paket hal. 5, 6, 8, dan 9 sebagai tugas kelompok. ;

h. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal dari kegiatan Aktivitas Kelas dalam buku ;

i. Peserta didik mengerjakan beberapa soal Latihan dalam buku paket hal. 9 sebagai tugas individu. ;

j. Peserta didik diingatkan untuk mempelajari kembali materi mengenai sifat khusus yang mungkin dimiliki suatu fungsi. ;

 Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras);

Penutup

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai sifat khusus yang mungkin dimiliki suatu fungsi. ;

b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi. ;

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan materi mengenai sifat khusus yang mungkin dimiliki suatu fungsi dari Aktivitas Kelas atau Latihan soal yang belum terselesaikan di kelas atau dari referensi lain.

 Pertemuan Kedua Pendahuluan

Apersepsi : Membahas PR dan mengingat kembali materi mengenai sifat khusus yang mungkin dimiliki suatu fungsi.

Motivasi : Agar peserta didik dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan materi cara menentukan rumus fungsi dari setiap fungsi yang diberikan dan menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi bila aturan komposisi dan komponen lainnya diketahui.

Kegiatan Inti:  Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai cara menentukan rumus fungsi dari setiap fungsi yang diberikan dan menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi bila aturan komposisi dan komponen lainnya diketahui; b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan mengenai cara

menentukan rumus fungsi dari setiap fungsi yang diberikan dan menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi bila aturan komposisi dan komponen lainnya diketahui. ; c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh mengenai cara

menentukan aturan komposisi dari beberapa fungsi dan komposisi fungsi pada sistem bilangan real meliputi nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya dan menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi bila aturan komposisi dan komponen lainnya diketahui, dan mengenai sifat-sifat dari komposisi fungsi. ;  Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai cara menentukan aturan komposisi dari beberapa fungsi, komposisi fungsi pada sistem bilangan real, dan sifat-sifat komposisi fungsi tugas individu. ;

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal;

f. Peserta didik mengerjakan beberapa soal Uji kompetensi 2 hal 10 LKS Kreatif sebagai tugas individu. ;

g. Peserta didik diingatkan untuk mempelajari kembali materi mengenai cara menentukan rumus fungsi dari setiap fungsi yang diberikan dan menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi bila aturan komposisi dan komponen lainnya diketahui untuk

menghadapi ulangan harian pada pertemuan berikutnya. ;  Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras);

Penutup

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai cara menentukan rumus fungsi dari setiap fungsi yang diberikan dan menentukan komponen pembentuk fungsi

komposisi bila aturan komposisi dan komponen lainnya diketahui. ; b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi. ;

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan materi mengenai cara menentukan rumus fungsi dari setiap fungsi yang diberikan dan menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi bila aturan komposisi dan komponen lainnya diketahui dari Latihan soal yang belum terselesaikan di kelas atau dari referensi lain. ;

 Pertemuan Keempat Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali mengenai cara memahami sifat khusus yang mungkin dimiliki suatu fungsi, menentukan rumus fungsi dari setiap fungsi yang diberikan, dan menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi bila aturan komposisi dan komponen lainnya diketahui. Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan

dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan cara memahami sifat khusus yang mungkin dimiliki suatu fungsi, menentukan rumus fungsi dari setiap fungsi yang diberikan, dan menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi bila aturan komposisi dan komponen lainnya diketahui.

Kegiatan Inti:  Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diminta untuk menyiapkan kertas ulangan dan peralatan tulis secukupnya di atas meja karena akan diadakan ulangan harian. ;

 Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

b. Peserta didik diberikan lembar soal ulangan harian. ;

c. Peserta didik diingatkan mengenai waktu pengerjaan soal ulangan harian, serta diberi peringatan bahwa ada sanksi bila peserta didik mencontek. ;

d. Guru mengumpulkan kertas ulangan jika waktu pengerjaan soal ulangan harian telah selesai. ;

Penutup

Peserta didik diingatkan untuk mempelajari materi pada bab berikutnya, yaitu tentang fungsi invers. ;

E. Alat dan Sumber Belajar Sumber :

 Buku Matematika untuk SMA kelas XI

 Matematika Program IPS, SMA/MA Kelas XI Semester Genap  LKS Kreatif, Viva Pakarindo.

Alat : - Spidol F. Penilaian

Teknik : tugas individu, tugas kelompok, ulangan harian. Bentuk Instrumen : uraian singkat

1. Misal f: R → R dengan f(x) = √1 - x2 Tentukan domain dari fungsi f. 2. Misal f: R → R dengan f(x – 1) = x2 + 5x Tentukan :

a. f(x) b. f(-3)

3. Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(0,1), (2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}

Tentukanlah: a) (f o g) b) (g o f) c) (f o g)(1) d) (g o f)(4) 4. Diketahui f : R  R ; f(x) = 2x² +1, g : R  R ; g(x) = x + 3

Tentukan : a) (f o g)(x) b) (g o f)(x) c) (f o g)(1) d) (g o f)(1) 5. Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2 _{+ 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)} 6. Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) =

6 12

5 2

  x x

, tentukan rumus fungsi g(x) KUNCI JAWABAN DAN RUBRIK PENILAIAN

No Kunci Jawaban Skor

1. Supaya f: R→R dengan f(x)=√1-x2 maka haruslah 1 – x2 ≥ 0. 1 – x2 ≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau (x - 1)(x + 1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1. Jadi, domain fungsi tersebut adalah -1 ≤ x ≤ 1.

2

2. a. Misal y = x – 1 maka x = y + 1 karena f(x – 1) = x2 + 5x maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1) f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5 f(y) = y2 + 7y + 6

f(y) = y2 + 7y + 6 Jadi, f(x) = x2 + 7x + 6

3

b. f(-3) = (-3)2 + 7(-3) + 6 = 9 – 21 + 6 = -6

2

3. a. (f o g) = {(2,1), (1,4), (5,-1)} 2

b. (g o f) = {(0,2), (4,3)} 1

c. (f o g)(1) = 4 1

d. (g o f)(4) = 3 1

4 a. (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = 2(x+3)²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19

2

b. (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4

2

c. (f o g)(1) = f(g(1)) = f(4) = 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33

2

d. (g o f)(1) = g(f(1)) = g(3) = 3 + 3 = 6

5. (g o f)(x) = 2x2 _{+ 2x – 12} g(f(x)) = 2x2 _{+ 2x – 12} 3 – 2f(x) = 2x2 _{+ 2x – 12} -2f(x) = 2x2 _{+ 2x – 15} f(x) = -x2 _{– x + 7,5}

2 3

6.

(g o f)(x) =

6 x 12

5 x 2

  g(f(x)) = ₁₂2x_x 5₆

 

g(2x-1) =

6 x 12

5 x 2

 

Misalkan: 2x – 1 = a  x = 2

1  a

g(a) =

6 2

1 12

5 2

1 2

       

       

a a

g(a) = ₆₍a_a_1₁_)5₆= a a

6 4  g(x) =

x x

6 4 

2

3

Jumlah Skor 30

PEDOMAN PENILAIAN 100 x TotalSkor JumlahSkor Nilai

Kajen, 4 Januari 2016

Mengetahui, Guru Mata Pelajaran Matematika

Kepala Sekolah

Achmad Jaenudin, S.Pd Mustofa, S.Pd

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Nama Sekolah : SMA PGRI 2 KAJEN Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Program : XI (Sebelas) / IPS

Semester : Genap

Standar Kompetensi : 2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.

Kompetensi Dasar : 2.2. Menentukan invers suatu fungsi.

Indikator : 1. Menjelaskan syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. 2. Menggambar kan grafik fungsi invers dari grafik fungsi

asalnya

3. Mengidentifikasi sifat-sifat fungsi invers. 4. Menentukan fungsi invers dari suatu fungsi. Alokasi Waktu : 8 jam pelajaran (4 pertemuan).

A. Tujuan Pembelajaran

a. Peserta didik dapat Menjelaskan syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. ;

b. Peserta didik dapat Menggambar kan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya. ; c. Peserta didik dapat Mengidentifikasi sifat-sifat fungsi invers ;

d. Menentukan fungsi invers dari suatu fungsi. ;  Karakter siswa yang diharapkan :

 Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras.  Kewirausahaan / Ekonomi Kreatif :

 Berorientasi tugas dan hasil, Percaya diri,Keorisinilan.

B. Materi Ajar a. Fungsi Invers: Fungsi Invers

 Definisi

Jika fungsi f : A  B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laA dan bB}, maka invers dari fungsi f adalah f-1_{: B  A ditentukan oleh: f}- 1_{:{(b,a)lbB dan aA}.} Jika f : A  B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 _{: B  A jika dan hanya jika f adalah} fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.

Jika f : y = f(x)  f -1 _{: x = f(y)}

 Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers i. f(x) = ax + b; a ≠ 0  f -1_{(x) =}

a b x

; a ≠ 0 ii. f(x) =

d cx

b ax

 

; x ≠ -c d _

f -1_{(x) =}

a cx

b dx

  

; x ≠

c a

iii. f(x) = acx _{; a > 0  f} -1_{(x) =} a_{log x}1/c ₌ c 1_a

log x ; c ≠ 0 iv. f(x) = a _{log cx ; a > 0; cx > 0  f} -1_{(x) =}

c ax

; c ≠ 0 v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0  f -1_(x)=

2a

x) 4a(c b

b 2   

Catatan:

Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.

Invers Dari Fungsi Komposisi

Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f -1 _{dan g}-1_{. Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan} pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut.

f g

A B C

g  f

Fungsi (g o f) -1 _{memetakan z ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g}-1_{, kemudian y} dipetakan x oleh fungsi f -1_{. Sehingga (g o f)}-1 _{dapat dinyatakan sebagai komposisi dari (f}-1 _{0 g}-1_). Seperti tampak pada diagram berikut.

f-1 _g-1

A B C

(g  f) -1 Jadi diperoleh hubungan:

(g o f) -1 _{(x) = (f} -1 _{o g} -1_)(x)

C. Metode Pembelajaran

Ceramah, tanya jawab, diskusi. Strategi Pembelajaran

x y=f(x) z=g(y)

Tatap Muka Terstruktur Mandiri  Menggambarkan grafik

fungsi invers dari grafik fungsi asalnya.

 Menentukan fungsi invers dari fungsi komposisi dan nilainya.

 Siswa dapat Menentukan invers suatu fungsi.

D. Langkah-langkah Kegiatan  Pertemuan Pertama

Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali materi mengenai sifat khusus yang mungkin dimiliki suatu fungsi.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menentukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi.

Kegiatan Inti  Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai pengertian invers suatu fungsi, penjelasan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers, dan cara menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut mengenai pengertian invers suatu fungsi dan penjelasan agar suatu fungsi mempunyai invers dan mengenai cara menentukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi). ;

b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan pengertian invers suatu fungsi, kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers, dan cara menentukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi. ;

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh dalam buku paket mengenai pengertian invers suatu fungsi dan penjelasan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers dan mengenai cara menentukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi. ;

 Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai pengertian invers suatu fungsi, penjelasan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers, dan cara menentukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi . ;

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal. ;  Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras);

Penutup

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai pengertian invers suatu fungsi, kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers, dan cara menentukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi. ;

b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi. ;

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan materi mengenai pengertian invers suatu fungsi, agar suatu fungsi mempunyai invers, dan cara

menentukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi dari soal-soal Aktivitas Kelas yang belum terselesaikan di kelas atau dari referensi lain . ;

 Pertemuan Kedua Pendahuluan

Apersepsi : Membahas PR dan mengingat kembali materi mengenai pengertian invers suatu fungsi dan cara menentukan rumus fungsi invers.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya. Kegiatan Inti:

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai cara menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya serta menentukan daerah asal fungsi inversnya, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut mengenai cara menggambarkan grafik fungsi invers dan grafik fungsi asalnya. ;

b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan cara menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya serta menentukan daerah asal fungsi inversnya. ;

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh dalam buku paket mengenai cara menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya. ;

 Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai cara menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya;

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal. ;  Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras);

Penutup

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai cara menggambarkan grafik fungsi invers dan menentukan daerah asal fungsi inversnya. ;

b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi. ;

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan materi mengenai cara menggambarkan grafik fungsi invers dan menentukan daerah asal fungsi inversnya dari soal-soal Aktivitas Kelas yang belum terselesaikan di kelas atau dari referensi lain. ;  Pertemuan Ketiga

Pendahuluan

Apersepsi : Membahas PR dan mengingat kembali materi mengenai pengertian invers suatu fungsi, menentukan rumus fungsi invers, dan cara menentukan aturan komposisi dari beberapa fungsi.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menentukan fungsi invers dari fungsi komposisi dan nilainya. Kegiatan Inti:

 Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai cara membahas teorema yang berkenaan dengan fungsi invers, menentukan rumus komposisi fungsi dari dua fungsi yang diberikan, menentukan rumus fungsi invers dari fungsi komposisi, dan menentukan nilai fungsi kompisisi dan fungsi invers dari fungsi

kompisisi tersebut, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut ;

b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan cara menentukan fungsi invers dari fungsi komposisi dan nilainya. ;

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh mengenai cara menentukan fungsi komposisi dari dua fungsi beserta fungsi inversnya.. ;  Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai cara menentukan fungsi invers dari fungsi komposisi dan nilainya sebagai tugas individu. ;

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal. ;

f. Peserta didik mengerjakan beberapa soal Latihan dalam buku sebagai tugas individu. ; ; g. Peserta didik diingatkan untuk mempelajari kembali materi mengenai cara menentukan

aturan komposisi dari beberapa fungsi, menjelaskan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya, menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi bila aturan komposisi dan komponen lainnya diketahui, menyebutkan sifat-sifat dari

komposisi fungsi, pengertian invers suatu fungsi, cara menentukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi, cara menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya, dan fungsi invers dikaitkan dengan fungsi komposisi untuk menghadapi ulangan harian pada pertemuan berikutnya. ;

 Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras);

Penutup

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai cara menentukan fungsi invers dari komposisi fungsi dan nilainya. ;

b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi. ;

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan materi mengenai cara menentukan fungsi invers dari komposisi fungsi dan nilainya dari soal-soal Aktivitas Kelas dan Latihan yang belum terselesaikan di kelas atau dari referensi lain. ;

 Pertemuan Keempat Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali materi mengenai cara menentukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi, menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya, dan menentukan fungsi invers dari fungsi komposisi. Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan

dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan cara menentukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi, menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya, dan menentukan fungsi invers dari fungsi komposisi.

Kegiatan Inti:  Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diminta untuk menyiapkan kertas ulangan dan peralatan tulis secukupnya di atas meja karena akan diadakan ulangan harian. ;

 Elaborasi

b. Peserta didik diberikan lembar soal ulangan harian. ;

c. Peserta didik diingatkan mengenai waktu pengerjaan soal ulangan harian, serta diberi peringatan bahwa ada sanksi bila peserta didik mencontek. ;

d. Guru mengumpulkan kertas ulangan jika waktu pengerjaan soal ulangan harian telah selesai. ;

 Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras);

Penutup

Peserta didik diingatkan untuk mempelajari materi bab selajutnya, yaitu Limit Fungsi. ; E. Alat dan Sumber Belajar

Sumber :

 Buku Matematika untuk SMA kelas XI

 Matematika Program IPS, SMA/MA Kelas XI Semester Genap  LKS Kreatif, Viva Pakarindo.

Alat : - Spidol

F. Penilaian

Teknik : tugas individu, ulangan harian. Bentuk Instrumen : uraian singkat

Instrumen Penilaian :

1. Diketahui f: R  R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1 _(x) 2. Diketahui

 

, x R,x 4

4 x

1 x 2 x

f  

 

 _Tentukan f1(x)

3. Jika

 

3 4 x , R x , 4 x 3

x 2 x

f  



 _dan f1(k) _1_{. Tentukan nilai k}

4. Diketahui f(x) = x2 _{– 6x + 4, tentukan f}–1 _(x) 5. Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) =

3 1 x , 1 x 3

1

 

 . Tentukan (f o g) - 1_(x) 6. Diketahui f - 1_{(x) =}

2 1

x - 2, g - 1_{(x) =}

2 x

5 x 4

 

dan h(x)=(g o f)(x). tentukan h - 1_(x) 7. Ditentukan f(x) = 2x – 1, dan g(x) = 3 – x dan h(x) = , x 0

x 4

 , carilah nilai x sehingga (h o g o f) – 1 _{(x) = 1}

KUNCI JAWABAN DAN RUBRIK PENILAIAN

No Kunci Jawaban Skor

1. y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1_(y)) 2x = y + 5

x = 2 y5

f -1_{(x) =} 2 x5

2. 4 x 1 x 2 y   

y(x - 4) = 2x + 1 yx – 4y = 2x + 1 yx – 2x = 4y + 1 x(y – 2) = 4y + 1 x = 4y_{y -}₂1 f -1_{(x) =}

2 -x 1 4x 2 3 3.

3x 4 x 2 y

 

y(3x - 4) = 2x 3xy – 4y = 2x 3xy – 2x = 4y x(3y – 2) = 4y x = _3y4y_-2 f -1_{(x) =}

2 -3x

4x

f -1_{(k) =}

2 -3k

4k

1 = _3k4k_-2 3k – 2 = 4k k = -2

5

4. y = x2 _{– 6x + 4} y – 4 = x2 _{– 6x} y – 4 = (x – 3) 2 _{– 9} y + 5 = (x – 3) 2 x – 3 =  y5

x = 3  y5

f – 1 _{(x) = 3  x5}

5

5.

(f o g)(x) = 2(

1 x 3

1

 ) – 3 = 3x 1

1 x 9 1 x 3 ) 1 x 3 ( 3 2       

Misalkan y = (f o g)(x) y = 1 x 3 1 x 9   

y(3x+1) = -9x – 1 3xy + y = -9x – 1 3xy + 9x = -y – 1 x (3y + 9) = -(y + 1) x = ₃(_yy_₉1) (f o g) - 1_{(x) =}

9 x 3 1 x    2 3 6.

f - 1_{(x) =}

2 1

(f–1 _{o f)(x) =I(x)  f}- 1_{(f(x)) = x}

2 1

f(x) – 2 = x

2 1

f(x) = x + 2 f(x) = 2x + 4 g - 1_{(x) =}

2 x 5 x 4  

(g– 1 _{o g)(x) =I(x)  g} - 1_{(g(x)) = x}

2 ) x ( g 5 ) x ( g 4   = x 4g(x) + 5 = x.g(x)- 2x 4g(x) – x.g(x) = -2x – 5 g(x)(4 - x) = -2x – 5 g(x) = x 4 5 x 2 x 4 5 x 2       

h(x) = (g o f)(x)

h(x) = -2₄(2x_(2x4) ₄₎5 4x₂_x13 



 

h - 1_{(x) =}

4 x 2 13  3 5

7. (go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x (h o (g o f))(x) =

x 2 4

4



Misalkan (h o g o f)(x) = y, maka: y = x 2 4 4  4y – 2xy = 4 -2xy = 4 – 4y

x = 4 ₂4_yy 2y_y 2 



(h o g o f) – 1 _{(x) =} x x 2 2  x x 2 2  = 1 2x – 2 = x x = 2

2

3

Jumlah Skor 40

PEDOMAN PENILAIAN 100 x TotalSkor JumlahSkor Nilai

Kajen, 4 Januari 2016

Mengetahui, Guru Mata Pelajaran Matematika

Achmad Jaenudin, S.Pd Mustofa, S.Pd

NIY. 201877 NIY. 201903

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Nama Sekolah : SMA PGRI 2 Kajen Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Program : XI (Sebelas) / IPS

Semester : Genap

Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : 3.1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik. 3.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk

tak tentu fungsi aljabar.

Indikator : 3.1.1.Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut

3.1.2.Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan.

3.2.1.Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik. 3.2.2.Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam

perhitungan limit.

3.2.3.Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi. 3.2.4.Menghitung limit fungsi aljabar dengan menggunakan

sifat-sifat limit

Alokasi Waktu : 8 jam pelajaran (4 pertemuan). A. Tujuan Pembelajaran

a. Peserta didik dapat Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan. ;

b. Peserta didik dapat Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.. ;  Karakter siswa yang diharapkan :

 Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras.  Kewirausahaan / Ekonomi Kreatif :

 Berorientasi tugas dan hasil, Percaya diri,Keorisinilan. B. Materi Ajar

a. Limit fungsi aljabar:

1. Definisi limit secara intiutif.

Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut.

Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikanlah contoh berikut:

Fungsi f di definisikan sebagai f (x) =

2 2

2

   x

x x

Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) = 0 0

(tidak dapat ditemukan) Untuk itu perhatikanlah tabel berikut :

x 0 1,1 1,5 1,9 1,999 2.000 2,001 2,01 2,5 2,7 f(x) 1 2,1 2,5 2,9 2,999 ??? 3,001 3,01 3,5 3,7

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) =

2 2

2

   x

x x

: mendekati 3. Jika x mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri) maupun di dekati

dari sebelah kanan (disebut limit kanan). Dapat ditulis : 3 2

2 lim

2

2 _ 

 

 x

x x

x

2. Definisi limit secara aljabar.

a. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu

Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya, kita dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:

1. Subtitusi

Perhatikanlah contoh berikut! Contoh:

Tentukan nilai lim_x3



x2 8



! Penyelesaian :

Nilai limit dari fungsi f(x) = x2 _{– 8 dapat kita ketahui secara langsung, yaitu} dengan cara mensubtitusikan x =3 ke f(x)



8



lim 2

3 

 x

x 3 8 9 8

2 _{  }

 1

Artinya bilamana x dekat 3 maka x2 _{– 8 dekat pada 3}2 _{– 8 =9 – 8 = 1 Dengan} ketentuan sebagai berikut:

a. Jika f (a) = c, maka lim_xa f(x)a b. Jika f (a) =

0 c

, maka lim_xa f(x)~ c. Jika f (a) =

c 0

2. Pemfaktoran

Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi.

Perhatikanlah contoh berikut! Contoh: Tentukan nilai 3 9 lim 2 3 _   x x x !

Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) =

0 0 3 3 9 32    .

Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak

terdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilai

3 9 lim 2 3 _   x x

x , kita harus mencari

fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan fungsi f (x) sehingga menjadi:









3





3



.

3 3      x x x x 1 3 3          x x Jadi, 3 9 lim 2 3 _   x x x =









3



3 3 lim 3 _    x x x x

= lim_x3



x3



= 3 + 3 = 6

3. Merasionalkan Penyebut

Cara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0. Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh: Tentukan nilai 2 2 3 lim 2 2 _    x x x x ! Penyelesaian: 2 2 3 lim 2 2 _    x x x

x = ₂

2 3 lim 2 2 _    x x x x ₂ 2 .   x x

=



_





_

2



2 2 ₂ 2 2 3 lim      _x x x x x =













2



2 2 1 lim 2 _     x x x x x

= lim₂



 1



 2  x x

x

= 2 1. 2 2

= 1 . 0 = 0

4. Merasionalkan Pembilang Perhatikanlah contoh berikut! Contoh: Tentukan nilai 1 3 4 2 3 lim 1 _     x x x x ! Penyelesaian: 1 3 4 2 3 lim 1 _     x x x x = 1 3 4 2 3 lim 1 _     x x x

x . 3 2 4 3

3 4 2 3       x x x x =



 





1





3 2 4 3



3 4 2 3 lim 2 2

1 _{   }

 



 x x x

x x

x

= lim_x1

_

_{x 1}

_

_

₃_xx₂1_{ 4x 3}

_

=

_

_

_





_

3 4 2 3 1 1 lim

1 _{   }

 

 x x x

x x = 3 4 2 3 1 lim

1 _{  }



 x x

x = 3 1 . 4 2 1 . 3 1     = 1 1 1   = 1 1 1   = 2 1 

3. Limit fungsi di tak hingga

Bentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak berhingga,diantaranya:

) (

) ( lim

~ g x

x f

x dan limx~



f(x)g(x)



Untuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan cara-cara sebagai berikut:

a. Membagi dengan pangkat tertinggi

Cara ini digunakan untuk mencari nilailim ₍( ₎)

~ g x

x f

x . Caranya dengan membagi f(x) dan

g(x) dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada f(x ) atau g (x). Contoh:

a. 1 2 1 4 lim ~ _   x x

x b. x x

x

x _

 ~ 2

1 4 lim

Penyelesaian:

a. untuk menentukan nilai dari

1 2 1 4 lim ~ _   x x

x perhatikan pangkat tertinggi dari x pada f

(x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu.

1 2 1 4 lim ~ _   x x x = x x x x x x

x 2 1

1 4 lim ~    = x x x 1 2 1 4 lim ~    = ~ 1 2 ~ 1 4   = 0 2 0 4   = 2 4 = 2

b. Perhatikan fungsi h (x) =

2 1 4 2   x x

! Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x2 _{yang terdapat pada x}2 _{– 2. jadi, untuk menentukan nilai}

x x

x

x _

 ~ 2

1 4

lim maka fungsi 4x + 1 dan x2 _{– 2 harus dibagi dengan x}2 _.

x x

x

x _

 ~ 2

1 4 lim = 2 2 2 2 2 ~ 2 1 4 lim x x x x x x x    = 2 2 ~ 2 1 1 4 lim x x x x    = 2 2 (~) 2 1 (~) 1 ~ 4   = 0 1 0 0   = 1 0

= 0 b. Mengalikan dengan faktor lawan

Cara ini digunakan untuk menyelesaikan lim_x~



f(x)g(x)



. Jika kita dimitai menyelesaikan lim_x~



f(x)g(x)



maka kita harus mengalikan [f (x) + g (x)] dengan

(x)] g (x) [f (x)] g (x) [f  

sehingga bentuknya menjadi:



( ) ( )



lim

~ f x g x

x  . _{[f (x) g(x)]}

(x)] g (x) [f   =





(x) g (x) f (x)] [g (x)] [f lim 2 2 ~ _  

x ataupun sebaliknya.

Contoh:

Tentukan nilai dari x x x x

x   

2 2 ~ 2 lim Penyelesaian: x x x x

x   

2 2

~ 2

lim

= x x x x

x   

2 2

~ 2

lim _.

x x x x x x x x       2 2 2 2 2 2 =



 



x x x x x x

x _{  }

  

 2 2

2 2 ~ ₂ 1 2 lim = x x x x x

x~ 2_{2 } 2_

3 lim = 2 2 2 2 2 2 ~ ₂ 3 lim x x x x x x x x x x x     = 0 1 0 1 3    = 2 3

C. Metode Pembelajaran

Ceramah, tanya jawab, diskusi. Strategi Pembelajaran

Tatap Muka Terstruktur Mandiri

 Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.

 Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik.

 Menggunakan sifat

 Siswa dapat Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan.

Tatap Muka Terstruktur Mandiri limit fungsi untuk

menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar.

 Siswa dapat Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik.

D. Langkah-langkah Kegiatan  Pertemuan Pertama dan Kedua

Pendahuluan Apersepsi :

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik dan menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dan tak hingga.

Kegiatan Inti :  Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai arti limit fungsi di suatu titik dan cara menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dan tak hingga, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut. ; b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan arti limit fungsi

secara intuitif dan aljabar serta menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dan tak hingga. ;

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh mengenai cara menghitung limit fungsi aljabar dengan cara substitusi, faktorisasi, atau perkalian sekawan, dan mengenai cara menghitung limit fungsi aljabar di tak hingga. ;  Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai cara menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dengan cara substitusi, faktorisasi, atau perkalian sekawan dan menghitung limit fungsi aljabar di tak hingga sebagai tugas individu. ;

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal ;

f. Peserta didik mengerjakan soal-soal Latihan mengenai cara menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dan menghitung limit fungsi aljabar di tak hingga;

 Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras);

Penutup

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai arti limit fungsi secara intuitif dan aljabar serta menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dan tak hingga. ;

b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi. ;

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan materi mengenai arti limit fungsi secara intuitif dan aljabar serta menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dan tak hingga dari soal-soal Aktivitas Kelas dan Latihan yang belum terselesaikan di dalam kelas atau dari referensi lain. ;

 Pertemuan Ketiga Pendahuluan

Apersepsi : Membahas PR dan mengingat kembali materi mengenai cara menghitung fungsi aljabar di suatu titik dan di tak hingga.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat memahami penggunaan limit.

Kegiatan Inti :  Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai penggunaan limit, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut;

b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan penggunaan limit. ;

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas mengenai penggunaan limit. ;  Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai penggunaan limit serta kekontinuan dan diskontinuan sebagai tugas individu. ;

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal ; f. Peserta didik mengerjakan soal-soal Latihan mengenai penggunaan limit serta

kekontinuan dan diskontinuan;

g. Peserta didik diingatkan untuk mempelajari kembali materi mengenai arti limit fungsi di suatu titik, cara menghitung limit fungsi di suatu titik dan tak hingga, dan penggunaan limit untuk menghadapi ulangan harian pada pertemuan berikutnya. ;

 Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras);

Penutup

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai penggunaan limit. ; b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi. ;

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan materi mengenai penggunaan limit serta kekontinuan dan diskontinuan dari soal-soal Aktivitas Kelas dan Latihan yang belum terselesaikan di dalam kelas atau dari referensi lain. ;

 Pertemuan Keempat Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali materi mengenai arti limit fungsi di suatu titik, cara menghitung limit fungsi di suatu titik dan tak hingga, dan penggunaan limit.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan arti limit fungsi di suatu titik, cara menghitung limit fungsi di suatu titik dan tak hingga, dan penggunaan limit.

Kegiatan Inti:  Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diminta untuk menyiapkan kertas ulangan dan peralatan tulis secukupnya di atas meja karena akan diadakan ulangan harian. ;

 Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

b. Peserta didik diberikan lembar soal ulangan harian. ;

c. Peserta didik diingatkan mengenai waktu pengerjaan soal ulangan harian, serta diberi peringatan bahwa ada sanksi bila peserta didik mencontek. ;

d. Guru mengumpulkan kertas ulangan jika waktu pengerjaan soal ulangan harian telah selesai. ;

 Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras);

Penutup

Peserta didik diingatkan untuk mempelajari materi pada bab selanjutnya yaitu Diferensial. ; E. Alat dan Sumber Belajar

Sumber :

 Buku Matematika untuk SMA kelas XI

 Matematika Program IPS, SMA/MA Kelas XI Semester Genap  LKS Kreatif, Viva Pakarindo.

Alat : - Spidol F. Penilaian

Teknik : tugas individu, ulangan harian. Bentuk Instrumen : uraian singkat, pilihan ganda. Instrumen Penilaian:

1. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. 2. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….

3. Nilai dari Lim x 4 _{– 3x}2 _{+ 4x adalah….} x→0 2x3 _{– x}2 _{- 2x}

4. Nilai dari Lim x 2 _{– 4 adalah….} x→2 x2 _{+ x - 6}

5. Nilai dari Lim 4x 2 _{+ 3x - 6 adalah ….} x→~ 2x2 _{– 8x -1}

6. Nilai dari Lim √ 4x2 – 2x + 6 - √ 4x2 + 2x -1 adalah…. x→~

7. Nilai dari Lim (8x – 2)2 _adalah…. x→~ (4x + 1)2

8. Nilai dari Lim x 2 _{– x adalah….} x→0 x2 _{+ 2x}

9. Nilai dari Lim 6x 3 _{- 4x}2 _{+ 2x – 1 adalah….} x→~ 3x4 _{– 2x}3 _{+ 5x + 2}

10. Nilai dari Lim 2x 2 _{+ 4x – 10 adalah….} x→~ 4x2 _{+ 7}

KUNCI JAWABAN DAN RUBRIK PENILAIAN

No Kunci Jawaban Skor

1. Lim (2x+4) = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8 3

2. Pembahasan 1: Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12 x→3 x→3

Pembahasan 2: Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x x→3 x→3 x→3

= 6(3) – 2(3) = 18 – 6 = 12

3

3. Lim x 4 _{– 3x}2 _{+ 4x = Lim x x} 3 _{– 3x + 4} x→0 2x3 _{– x}2 _{- 2x x→0 x 2x}2 _{– x – 2} = Lim x 3 _{– 3x + 4} x→0 2x2 _{– x – 2} = 0 – 0 + 4

0 – 0 – 2 = -2

2 3

4. Lim x 2 _{– 4 = Lim (x – 2) ( x + 2 )}

x→2 x2 _{+ x – 6 x→2 (x – 2) ( x + 3)} = Lim (x + 2)

x→2 (x + 3 ) = 2 + 2

2 + 3 = 4 5

2 3

5. Perhatikan bahwa pangkat diatas sama dengan pangkat bawah sehingga p = q (p dibagi q)

Lim 4x 2 _{+ 3x - 6 = 4 = 2} x→~ 2x2 _{– 8x -1 2}

3

6.

R = b – q = -2 – 2 = -4 = -4 = -1 2√a 2√4 2.2 4

5

7. Lim (8x – 2)2 _{.= Lim 64x} 2 _{– 32x + 4} x→~ (4x + 1)2 _{x→~ 16x}2 _{+ 8x + 1}

= 64 = 4 16

5

8. Lim x 2 _{– x = Lim x ( x – 1 )} x→0 x2 _{+ 2x x→0 x (x + 2)}

= Lim x – 1 x→0 x + 2 = 0 - 1 0 + 2 = -1 2

5

9. Lim 2x 2 _{+ 5x – 12}

x→-4 3x2 _{– 13x - 4} = Lim (2x – 3) (x – 4) x→-4 (3x + 1) (x – 4) = Lim (2x – 3) x→-4 (3x + 1)

= 2(-4) – 3 = 11 3(-4 ) + 1 13 10. Pangkat diatas = Pangkat dibawah

Maka 2 = 1

4 2

3

Jumlah Skor 45

PEDOMAN PENILAIAN 100 x TotalSkor JumlahSkor Nilai

Kajen, 4 Januari 2016

Mengetahui, Guru Mata Pelajaran Matematika

Kepala Sekolah

Achmad Jaenudin, S.Pd Mustofa, S.Pd

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Nama Sekolah : SMA PGRI 2 Kajen Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Program : XI (Sebelas) / IPS

Semester : Genap

Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : 3.3. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi.

Indikator : 1. Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan.

2. Menjelaskan arti fisis (sebagai laju perubahan) dan arti geometri turunan di satu titik

3. Menghitung turunan fungsi yang sederhana dengan menggunakan definisi turunan

4. Menentukan sisfat-sifat turunan fungsi

5. Menentukan turunan fungsi aljabar dengan menggunakan sifat-sifat turunan

Alokasi Waktu : 8 jam pelajaran (4 pertemuan). A. Tujuan Pembelajaran

a. Peserta didik dapat Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan. ; b. Peserta didik dapat Menjelaskan arti fisis (sebagai laju perubahan) dan arti geometri

turunan di satu titik. ;

c. Peserta didik dapat Menghitung turunan fungsi yang sederhana dengan menggunakan definisi turunan. ;

d. Peserta didik dapat Menentukan sisfat-sifat turunan fungsi. ;

e. Peserta didik dapat Menentukan turunan fungsi aljabar dengan menggunakan sifat-sifat turunan. ;

 Karakter siswa yang diharapkan :

 Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras.  Kewirausahaan / Ekonomi Kreatif :

 Berorientasi tugas dan hasil, Percaya diri,Keorisinilan. B. Materi Ajar

a. Turunan fungsi

PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI

Definisi turunan : Fungsi f : x → y atau y = f (x) mempunyai turunan yang dinotasikan y’ = f’(x) atau dy = df(x) dan di definisikan :

y’ = f’(x) = lim f(x + h) – f(x) atau dy = lim f (x +∆ x) – f(x) h→0 h dx h→0 h

Notasi kedua ini disebut notasi Leibniz. RUMUS-RUMUS TURUNAN

1. Turunan f(x) = axn _{adalah f’(x) = anx}n-1 _atau dx dy

= anxn-1

2. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real dan n bilangan Rasional berlaku a. y = ± v → y’ = v’ ± u’

b. y = c.u → y’ = c.u’ c. y = u.v → y’ = u’ v + u.v’

d. ' ' ₂ '

v uv v u y v u

y   

e. y = un _{→ y’ = n. u}n-1_.u’

DALIL RANTAI UNTUK MENENTUKAN TURUNAN Apabila y = f(g(x)) maka y’ = f’ (g(x)). g’(x)

Dari rumus y = f(g(x)) → y’ = f’ (g(x)). g’(x) Jika g(x) = u→ g’ (x) =

dx du

dan f(g(x)) = f(u) → y = f(u) → du dy

= f’(u) = f’(g(x)) Maka f’(x) = f’ (g(x)). g’(x) dapat dinyatakan ke notasi Leibniz menjadi

dx du du dy dx dy . 

Dan bentuk tersebut dapat dikembangkan jika y = f ( u(v)) maka: dx dv dv du du dy dx dy . . 

GARIS SINGGUNG PADA KURVA 1. Gradien garis singgung

Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A (h→0) maka tali busur ABmenjadi garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a))dengan gradient

) ( ' ) ( ) ( lim 0 a f m h a f h a f m g h g     

Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a)) atau A (x1,y1) adalah y – y1 = m (x – x1)

y

x B(a+h),f(a+h)

x=a x=a+h

A(a,f(a) g

y=f(x) Perhatikan gambar di samping Gradien garis AB adalah mAB =

1 2 1 2 x x y y  

= f a_a h_h f_aa     ) ( ) ( ) ( = h a f h a

C. Metode Pembelajaran

Ceramah, tanya jawab, diskusi kelompok. Strategi Pembelajaran

Tatap Muka Terstruktur Mandiri

 Menentukan turunan suatu fungsi di satu titik tertentu.

 Menentukan laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya.

 Menentukan turunan fungsi aljabar.

 Menentukan persamaan garis singgung pada suatu kurva.

 Siswa dapat Menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan.

D. Langkah-langkah Kegiatan  Pertemuan Pertama

Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali materi mengenai fungsi.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan, menentukan turunan suatu fungsi di satu titik tertentu, dan menentukan laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya.

Kegiatan Inti  Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai cara menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan, menentukan turuna suatu fungsi di satu titik tertentu, dan menentukan laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut ;

 Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

b. Peserta didik dikondisikan dalam beberapa kelompok diskusi dengan masing-masing kelompok terdiri dari 3-5 orang. ;

c. Dalam kelompok, masing-masing peserta didik berdiskusi mengenai: ; - Cara menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi lalu guru

memberikan soal turunan fungsi yang harus dikerjakan dengan menggunakan definisi,

- Arti fisis dan geometri turunan di suatu titik,

- Laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya, - Notasi turunan.

d. Masing-masing kelompok diminta menyampaikan hasil diskusinya, sedangkan kelompok yang lain menanggapi. ;

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas mengenai cara menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan dan mengenai laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya dan mengenai notasi turunan. ;

f. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai cara menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan, laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya, dan notasi turunan sebagai tugas kelompok. ;

h. Peserta didik mengerjakan beberapa soal sebagai tugas individu. ;

i. Peserta didik diingatkan untuk mempelajari kembali materi mengenai cara menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan, arti fisis dan geometri turunan di suatu titik, dan cara menentukan laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya. ;

 Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras);

Penutup

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai cara menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan, menentukan turunan fungsi di satu titik tertentu, dan cara menentukan laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya. ;

b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi. ;

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan materi mengenai cara menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan, menentukan turunan fungsi di satu titik tertentu, dan cara menentukan laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya. dari latihan soal yang belum terselesaikan di kelas atau dari referensi lain. ;

 Pertemuan Kedua Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali materi mengenai definisi turunan fungsi dan notasi turunan dan membahas PR.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menentukan turunan fungsi aljabar.

Kegiatan Inti  Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai menentukan turunan fungsi aljabar, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut;

b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan mengenai menentukan turunan fungsi aljabar. ;

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh mengenai aturan turunan untuk menghitung turunan fungsi aljabar. ;

 Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai aturan turunan untuk menghitung turunan fungsi aljabar sebagai tugas individu. ;

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal ; f. Peserta didik mengerjakan beberapa soal sebagai tugas individu. ;

g. Peserta didik diingatkan untuk mempelajari kembali materi mengenai aturan turunan untuk menghitung turunan fungsi aljabar. ;

 Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras);

Penutup

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi menentukan turunan fungsi aljabar. b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi. ;

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan menentukan turunan fungsi aljabar dari Aktivitas Kelas atau soal-soal Latihan yang belum terselesaikan di kelas atau dari referensi lain. ;

 Pertemuan Ketiga Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali mengenai aturan turunan untuk menghitung turunan fungsi aljabar dan membahas PR.

Motivasi : Agar peserta didik dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan materi mengenai persamaan garis singgung di suatu titik pada kurva. Kegiatan Inti

 Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai

persamaan garis singgung di suatu titik pada kurva, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut ;

b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan mengenai persamaan garis singgung di suatu titik pada kurva. ;

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh mengenai persamaan garis singgung di suatu titik pada kurva. ;

 Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai persamaan garis singgung di suatu titik pada kurva sebagai tugas individu. ;

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal ; f. Peserta didik mengerjakan beberapa soal sebagai tugas individu. ;

g. Peserta didik diingatkan untuk mempelajari kembali materi mengenai cara menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan, arti fisis dan geometri turunan di suatu titik, laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya, aturan turunan untuk menghitung turunan fungsi aljabar, dan persamaan garis singgung di suatu titik pada kurva untuk menghadapi ulangan harian pada pertemuan berikutnya. ;

 Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras);

Penutup

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai persamaan garis singgung di suatu titik pada kurva.

b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi.

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan materi mengenai persamaan garis singgung di suatu titik pada kurva dari Aktivitas Kelas dan Latihan soal yang belum terselesaikan di kelas atau dari referensi lain.

 Pertemuan Keempat Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali materi mengenai cara menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan, menentukan turunan suatu fungsi di satu titik tertentu, laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya, turunan fungsi aljabar, dan persamaan garis singgung pada suatu titik pada kurva. Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan

dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan cara menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan, menentukan turunan suatu fungsi di satu titik tertentu, laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya, turunan fungsi aljabar, dan persamaan garis singgung pada suatu titik pada kurva.

Kegiatan Inti:  Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diminta untuk menyiapkan kertas ulangan dan peralatan tulis secukupnya di atas meja karena akan diadakan ulangan harian. ;

 Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

b. Peserta didik diberikan lembar soal ulangan harian. ;

c. Peserta didik diingatkan mengenai waktu pengerjaan soal ulangan harian, serta diberi peringatan bahwa ada sanksi bila peserta didik mencontek. ;

d. Guru mengumpulkan kertas ulangan jika waktu pengerjaan soal ulangan harian telah selesai. ;

 Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras);

Penutup

Peserta didik diingatkan untuk mempelajari materi mengenai fungsi naik dan fungsi turun. ; E. Alat dan Sumber Belajar

Sumber :

 Buku Matematika untuk SMA kelas XI

 Matematika Program IPS, SMA/MA Kelas XI Semester Genap  LKS Kreatif, Viva Pakarindo.

Alat : - Spidol F. Penilaian

Teknik : tugas individu, tugas kelompok, ulangan harian. Bentuk Instrumen : uraian singkat

Instrumen Penilaian:

1. Tentukan turunan dari f(x) = 4x – 3

3. Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) adalah …

4. Turunan pertama dari f(x) = (3x2 _{– 6x) (x + 2) adalah …} 5. Jika f(x) = (2x – 1)3 _{maka nilai f}1_{(x) adalah …}

6. Diketahui kurva y = x2 _{– 3x + 4 dan titik A (3,4)} a. Tentukan gradient garis singgung di titik A. b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A. KUNCI JAWABAN DAN RUBRIK PENILAIAN

No Kunci Jawaban Skor

1. f(x) = 4x – 3

f( x + h) = 4(x + h) – 3 = 4x + 4h -3 Sehingga: f’(x) = lim_h0

h x f h x

f(  ) ( )

= h x h x h ) 3 4 ( ) 3 4 4 ( lim 0      = h x h x h ) 3 4 3 4 4 lim 0      = h h h 4 lim 0 

= lim_h04 = 4

2

3

2. f(x) = 2x3 _{+ 12x}2 _{– 8x + 4} f1_{(x) = 2.3x}2 _{+ 12.2x – 8} = 6x2 _{+ 24x -8}

2

3. f(x) = (3x-2)(4x+1) f(x) = 12x2 _{+ 3x – 8x – 2} f(x) = 12x2 _{– 5x – 2} f1_{(x) = 24x – 5}

3

4. f(x) = (3x2 _{– 6x)(x + 2)} Cara 1:

Misal : U = 3x2 _{– 6x} U1 _{= 6x – 6} V = x + 2 V1 _{= 1} Sehingga:

f’(x) = U’ V + U V’

f1_{(x) = (6x – 6)(x+2) + (3x}2_+6x).1 f1_{(x) = 6x}2 _{+ 12x – 6x – 12 + 3x}2 _{– 6x} f1_{(x) = 9x}2 _{– 12}

Cara 2:

f(x) = (3x2 _{– 6x)(x + 2)} f1_{(x) = 3x}-3_+6x2 _{– 6x}3 _{– 12x} f1_{(x) = 9x}2_{+12x –12x– 12} f1_{(x) = 9x}2 _{– 12}

2 3

5. f(x) = (2x – 1)3 f1_{(x) = 3(2x – 1)}2 ₍₂₎ f1_{(x) = 6(2x – 1)}2

f1_{(x) = 6(2x – 1)(2x – 1)} f1_{(x) = 6(4x}2 _{– 4x+1)}

f1_{(x) = 24x}2 _{– 24x + 6} 6. a. y = x2 _{– 3x + 4}

y’ = 2x – 3

Gradien di titik A (3,4)

m = y’x=3 = 2.3 – 3 = 6 – 3 = 3

5

b. Persamaan garis singgung di titik A (3,4) y – y1 = m (x – x1)

y – 4 = 3 (x – 3 ) y – 4 = 3x – 9 y = 3x – 5

5

Jumlah Skor 30

PEDOMAN PENILAIAN 100 x TotalSkor JumlahSkor Nilai

Kajen, 4 Januari 2016

Mengetahui, Guru Mata Pelajaran Matematika

Kepala Sekolah

Achmad Jaenudin, S.Pd Mustofa, S.Pd

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Nama Sekolah : SMA PGRI 2 KAJEN Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Program : XI (Sebelas) / IPS

Semester : Genap

Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : 3.4. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah.

Indikator : 1. Menentukan fungsi monoton naik dan turun dengan menggunakan konsep turunan pertama

2. Menggambar sketsa grafik fungsi dengan menggunakan sifat-sifat turunan

3. Menentukan titik ekstrim grafik fungsi

4. Menentukan persamaan garis singgung dari sebuah fungsi.

Alokasi Waktu : 10 jam pelajaran (5 pertemuan). A. Tujuan Pembelajaran

a. Peserta didik dapat Menentukan fungsi monoton naik dan turun dengan menggunakan konsep turunan pertama. ;

b. Peserta didik dapat Menggambar sketsa grafik fungsi dengan menggunakan sifat-sifat turunan. ;

c. Peserta didik dapat Menentukan titik ekstrim grafik fungsi. ;

d. Peserta didik dapat Menentukan persamaan garis singgung dari sebuah fungsi. ;  Karakter siswa yang diharapkan :

 Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras.  Kewirausahaan / Ekonomi Kreatif :

 Berorientasi tugas dan hasil, Percaya diri,Keorisinilan. B. Materi Ajar

a. Fungsi naik dan fungsi turun. FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

0

f(x1)

f(x2)

x y

f(x1)

f(x2)

x1 x2 x1 x2 x

y

1. Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :

x2 > x1  f(x2) > f(x1) (gb. 1)

2. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :

x2 > x1  f(x2) < f(x1) (gb. 2)

3. Fungsi f disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f’ (a) > 0 4. Fungsi f disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’ (a) < 0 NILAI STASIONER

Jenis – jenis nilai stasioner 1. Nilai stasioner di titik A.

Pada : x < a diperoleh f’(x) > a x = a diperoleh f’(x) = a

x > a diperoleh f’(x) < a

Fungsi yang mempunyai sifat demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum. 2. Nilai stasioner di titik B dan D.

a. Pada : x < b diperoleh f’(x) < 0 x = b diperoleh f’(x) = 0 x > b diperoleh f’(x) < 0

Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x = b dan titik (b,f(b)) disebut titik belok.

b. Pada : x < d diperoleh f’ (x) > 0 x = d diperoleh f’ (x) = d x > d diperoleh f’ (x) > d

fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik (d,f(d)) disebut titik belok

Pada titik B atau D sering hanya disingkat nilai stasioner belok. 3. Nilai stasioner di titik E

Pada : x < e diperoleh f’(x) < 0 x = e diperoleh f’(x) = 0 x > e diperoleh f’(x) > 0

a 0 A

B

C D y

x 0 x=a x=b x=c x=d

Perhatikan grafik fungsi y = f(x) disamping Pada titik A,B,C dan D dengan absis berturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d menyebabkan f’(x) = 0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d)

merupakan nilai – nilai stasioner.

0 b

d 0

+ +

-

-+ +

- 0 +

titik potong sumbu y adalah (0,0) b. Syarat stasioner adalah : f’ (x) = 0

f’ (x) = 3 – 3x2 ↔ 3 (1 - x 2₎ ↔ 3 (1 – x) (1 + x) x = 1, x = -1 untuk x = 1, f(1) = 3(1) – (1)3 _{= 2} x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)3 _{= -2} nilai stasionernya : y = 2 dan y = -2 titik stasioner : (1,2) dan (-1,-2

5

c. y = 3x – x2 _{, untuk nilai x besar maka bilangan 3 dapat diabaikan terhadap} x, sehingga y = -x3_{. Jika x besar positif maka y = besar negative dan jika x} besar negative maka y besar positif.

5

d. Titik Bantu

x -2 2 -3 3 …

, y 2 -2 18 -18 …

10

Jumlah Skor 50

PEDOMAN PENILAIAN 100 x TotalSkor JumlahSkor Nilai

Kajen, 4 Januari 2016

Mengetahui, Guru Mata Pelajaran Matematika

Kepala Sekolah

Achmad Jaenudin, S.Pd Mustofa, S.Pd

NIY. 201877 NIY. 201903

x

-2 -1 0 1 2

1 2

-√3 √3

y

-1 -2

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Nama Sekolah : SMA PGRI 2 Kajen Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Program : XI (Sebelas) / IPS

Semester : Genap

Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : 3.5. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar.

3.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar dan

penafsirannya.

Indikator : # Mengidentifikasi masalah-masalah yang bisa diselesaiakn dengan konsep ekstrim fungsi

# Merumuskan model matematikan dari masalah ekstrim fungsi

# Menyelesaikan model matematika dari masalah ekstrim fungsi

# Menafsirkan solusi dari masalah nilai ekstrim. Alokasi Waktu : 6 jam pelajaran (3 pertemuan).

A. Tujuan Pembelajaran

 Peserta didik dapat Mengidentifikasi masalah-masalah yang bisa diselesaiakn dengan konsep ekstrim fungsi. ;

 Peserta didik dapat Menafsirkan solusi dari masalah nilai ekstrim. ;  Karakter siswa yang diharapkan :

 Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras.  Kewirausahaan / Ekonomi Kreatif :

 Berorientasi tugas dan hasil, Percaya diri,Keorisinilan. B. Materi Ajar

- Model matematika Ekstrim Fungsi. - Solusi masalah ekstrim Fungsi. C. Metode Pembelajaran

Ceramah, tanya jawab, diskusi. Strategi Pembelajaran

Tatap Muka Terstruktur Mandiri  Mengembangkan

statergi untuk merumuskan model matematika dari masalah ekstrim fungsi.  Menentukan

penyelesaian dari model matematika beserta

menafsirkannya.

 Menyatakan masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari dan

membawanya ke konsep turunan.  Diskusi kelompok

membahas soal aplikatif dengan menggunakan konsep turunan

 Siswa dapat Menentukan variabel-variabel dari masalah ekstrim fungsi  Siswa dapat

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar dan penafsirannya..

D. Langkah-langkah Kegiatan  Pertemuan Pertama

Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali materi mengenai turunan fungsi.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya diketahui. Kegiatan Inti

 Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh mengenai cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya diketahui, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut ;

b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan mengenai cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya diketahui. ;

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh mengenai cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya diketahui. ;

 Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya diketahui sebagai tugas individu. ;

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal;

f. Peserta didik diingatkan untuk mempelajari kembali materi mengenai cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya diketahui. ;

 Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras);

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya diketahui. ;

b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi. ;

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan materi mengenai cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya diketahui.

 Pertemuan Kedua Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali materi mengenai masalah maksimum dan minimum jika fungsinya diketahui.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya tidak diketahui. Kegiatan Inti

 Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya tidak diketahui, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut ;

 Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

b. Peserta didik dikondisikan dalam beberapa kelompok diskusi dengan masing-masing kelompok terdiri dari 3-5 orang. ;

c. Dalam kelompok, masing-masing peserta didik berdiskusi mengenai cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya tidak diketahui. ;

d. Masing-masing kelompok diminta menyampaikan hasil diskusinya, sedangkan kelompok yang lain menanggapi. ;

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh mengenai cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya tidak diketahui. ;

f. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya tidak diketahui sebagai tugas kelompok. ;

g. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal; h. Peserta didik mengerjakan beberapa soal ;

i. Peserta didik diingatkan untuk mempelajari kembali materi mengenai cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya diketahui dan tidak diketahui untuk menghadapi ulangan harian pada pertemuan berikutnya. ;

 Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

Penutup

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya tidak diketahui. ;

b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi. ;

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan materi mengenai cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya tidak diketahui. ;

 Pertemuan Ketiga Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali materi mengenai cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya diketahui dan tidak diketahui.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan cara menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya diketahui dan tidak diketahui. Kegiatan Inti:

 Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diminta untuk menyiapkan kertas ulangan dan peralatan tulis secukupnya di atas meja karena akan diadakan ulangan harian. ;

 Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

b. Peserta didik diberikan lembar soal ulangan harian. ;

c. Peserta didik diingatkan mengenai waktu pengerjaan soal ulangan harian, serta diberi peringatan bahwa ada sanksi bila peserta didik mencontek. ;

d. Guru mengumpulkan kertas ulangan jika waktu pengerjaan soal ulangan harian telah selesai. ;

 Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin.Demokratis);

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras);

Penutup

Peserta didik diingatkan untuk mempelajari materi mengenai komposisi fungsi dan fungsi invers, limit fungsi, serta diferensial untuk menghadapi ulangan akhir semester. ;

E. Alat dan Sumber Belajar Sumber :

 Buku Matematika untuk SMA kelas XI

 Matematika Program IPS, SMA/MA Kelas XI Semester Genap  LKS Kreatif, Viva Pakarindo.

Alat : - Spidol

F. Penilaian

Teknik : tugas individu, tugas kelompok, dan ulangan harian. Bentuk Instrumen : uraian singkat, pilihan ganda.

Instrumen Penilaian :

1. Suatu proyek pembangunan kantor desa dapat diselesaikan dalam

x

hari dengan biaya

proyek per hari 

       300 50 x

x ratus ribu rupiah. Supaya biaya proyek minimum, maka proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu ....

2. Hasil penjualan x unit barang dinyatakan oleh fungsi p(x) = 50.000 + 400x – 4x2 _(dalam ratusan rupiah). Hasil penjualan maksimum yang diperoleh adalah …

KUNCI DAN RUBRIK PENILAIAN

No Kunci Jawaban Skor

1. Diketahui :

       

 50 300 )

( x

x x

C _{, semua di kalikan}

x

_{menjadi :}



50 300

 

300 50



)

(_{x  x}2 _{ x x}2 _{ x}

C 1( ) 2 300

  x x C Syarat Maksimum/Minimum 1( ) 0

 x

C , Sehingga : 0

300 2x  5

300 2x 

150 2 300   x

Jadi Proyek dapat diselesaikan dalam waktu 150 hari

5

5

2. Diketahui :



_{500 400 4} 2



)

(x x x

P    ,

x x

P'( ) 400 8

 

Syarat Maksimum/Minimum '( ) 0  x

L , Sehingga : 0

8 400 x

400 8 

 x 8 400   

x x50

Laba Maksimumnya adalah :

2 ) 50 ( 4 ) 50 ( 400 500 ) 50 (    P

50020.000 4(2500) 50020.000 10.000

10.500

Jumlah Skor 20

PEDOMAN PENILAIAN 100 x TotalSkor JumlahSkor Nilai

Kajen, 4 Januari 2016

Mengetahui, Guru Mata Pelajaran Matematika Kepala Sekolah

Achmad Jaenudin, S.Pd Mustofa, S.Pd