Tujuan Pembelajaran Metode Pembelajaran Langkah-langkah Kegiatan

Achmad Jaenudin, S.Pd Mustofa, S.Pd NIY. 201877 NIY. 201903 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN RPP Nama Sekolah : SMA PGRI 2 Kajen Mata Pelajaran : Matematika Kelas Program : XI Sebelas IPS Semester : Genap Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar : 3.1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik. 3.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar. Indikator : 3.1.1.Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut 3.1.2.Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan. 3.2.1.Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik. 3.2.2.Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit. 3.2.3.Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi. 3.2.4.Menghitung limit fungsi aljabar dengan menggunakan sifat-sifat limit Alokasi Waktu : 8 jam pelajaran 4 pertemuan.

A. Tujuan Pembelajaran

a. Peserta didik dapat Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan. ; b. Peserta didik dapat Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.. ;  Karakter siswa yang diharapkan :  Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras.  Kewirausahaan Ekonomi Kreatif :  Berorientasi tugas dan hasil, Percaya diri,Keorisinilan.

B. Materi Ajar

a. Limit fungsi aljabar: 1. Definisi limit secara intiutif. Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut. 16 RPP Matematika XI IPS SMT 2 TP. 20152016 | [SMA PGRI 2 Kajen] Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikanlah contoh berikut: Fungsi f di definisikan sebagai f x = 2 2 2    x x x Jika variabel x diganti dengan 2, maka fx = tidak dapat ditemukan Untuk itu perhatikanlah tabel berikut : x 1,1 1,5 1,9 1,999 2.000 2,001 2,01 2,5 2,7 fx 1 2,1 2,5 2,9 2,999 ??? 3,001 3,01 3,5 3,7 Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f x = 2 2 2    x x x : mendekati 3. Jika x mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri disebut limit kiri maupun di dekati dari sebelah kanan disebut limit kanan. Dapat ditulis : 3 2 2 lim 2 2      x x x x 2. Definisi limit secara aljabar. a. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya, kita dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:

1. Subtitusi

Perhatikanlah contoh berikut Contoh: Tentukan nilai   8 lim 2 3   x x Penyelesaian : Nilai limit dari fungsi fx = x 2 – 8 dapat kita ketahui secara langsung, yaitu dengan cara mensubtitusikan x =3 ke fx   8 lim 2 3   x x 8 9 8 3 2     1  Artinya bilamana x dekat 3 maka x 2 – 8 dekat pada 3 2 – 8 =9 – 8 = 1 Dengan ketentuan sebagai berikut: a. Jika f a = c, maka a x f a x   lim b. Jika f a = c , maka ~ lim   x f a x c. Jika f a = c , maka lim   x f a x 17 RPP Matematika XI IPS SMT 2 TP. 20152016 | [SMA PGRI 2 Kajen]

2. Pemfaktoran

Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi. Perhatikanlah contoh berikut Contoh: Tentukan nilai 3 9 lim 2 3    x x x Jika x = 3 kita subtitusikan maka f 3 = 3 3 9 3 2    . Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak terdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilai 3 9 lim 2 3    x x x , kita harus mencari fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan fungsi f x sehingga menjadi:        . 3 3 3 3      x x x x 1 3 3          x x Jadi, 3 9 lim 2 3    x x x =      3 3 3 lim 3     x x x x =   3 lim 3   x x = 3 + 3 = 6

3. Merasionalkan Penyebut

Cara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0. Perhatikanlah contoh berikut Contoh: Tentukan nilai 2 2 3 lim 2 2     x x x x Penyelesaian: 2 2 3 lim 2 2     x x x x = 2 2 3 lim 2 2     x x x x 2 2 .   x x =       2 2 2 2 2 2 3 lim      x x x x x =        2 2 2 1 lim 2      x x x x x 18 RPP Matematika XI IPS SMT 2 TP. 20152016 | [SMA PGRI 2 Kajen] =   2 1 lim 2    x x x =   2 2 . 1 2   = 1 . 0 = 0

4. Merasionalkan Pembilang

Perhatikanlah contoh berikut Contoh: Tentukan nilai 1 3 4 2 3 lim 1      x x x x Penyelesaian: 1 3 4 2 3 lim 1      x x x x = 1 3 4 2 3 lim 1      x x x x . 3 4 2 3 3 4 2 3       x x x x =         3 4 2 3 1 3 4 2 3 lim 2 2 1         x x x x x x =     3 4 2 3 1 1 lim 1        x x x x x =       3 4 2 3 1 1 lim 1        x x x x x = 3 4 2 3 1 lim 1      x x x = 3 1 . 4 2 1 . 3 1     = 1 1 1   = 1 1 1   = 2 1 

3. Limit fungsi di tak hingga

Bentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak berhingga,diantaranya: lim ~ x g x f x  dan   lim ~ x g x f x   Untuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan cara-cara sebagai berikut:

a. Membagi dengan pangkat tertinggi

Cara ini digunakan untuk mencari nilai lim ~ x g x f x  . Caranya dengan membagi fx dan gx dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada fx atau g x. Contoh: Tentukan nilai limit dari: 19 RPP Matematika XI IPS SMT 2 TP. 20152016 | [SMA PGRI 2 Kajen] a. 1 2 1 4 lim ~    x x x b. x x x x    2 ~ 1 4 lim Penyelesaian: a. untuk menentukan nilai dari 1 2 1 4 lim ~    x x x perhatikan pangkat tertinggi dari x pada f x = 4x – 1 dan gx = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu. 1 2 1 4 lim ~    x x x = x x x x x x x 1 2 1 4 lim ~    = x x x 1 2 1 4 lim ~    = ~ 1 2 ~ 1 4   = 2 4   = 2 4 = 2 b. Perhatikan fungsi h x = 2 1 4 2   x x Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x 2 yang terdapat pada x 2 – 2. jadi, untuk menentukan nilai x x x x    2 ~ 1 4 lim maka fungsi 4x + 1 dan x 2 – 2 harus dibagi dengan x 2 . x x x x    2 ~ 1 4 lim = 2 2 2 2 2 ~ 2 1 4 lim x x x x x x x    = 2 2 ~ 2 1 1 4 lim x x x x    = 2 2 ~ 2 1 ~ 1 ~ 4   = 1   = 1 = 0

b. Mengalikan dengan faktor lawan

20 RPP Matematika XI IPS SMT 2 TP. 20152016 | [SMA PGRI 2 Kajen] Cara ini digunakan untuk menyelesaikan   lim ~ x g x f x   . Jika kita dimitai menyelesaikan   lim ~ x g x f x   maka kita harus mengalikan [f x + g x] dengan x] g x [f x] g x [f   sehingga bentuknya menjadi:   lim ~ x g x f x   . x] g x [f x] g x [f   =   x g x f x] [g x] [f lim 2 2 ~    x ataupun sebaliknya. Contoh: Tentukan nilai dari x x x x x     2 2 ~ 2 lim Penyelesaian: x x x x x     2 2 ~ 2 lim = x x x x x     2 2 ~ 2 lim . x x x x x x x x       2 2 2 2 2 2 =     x x x x x x x        2 2 2 2 ~ 2 1 2 lim = x x x x x x     2 2 ~ 2 3 lim = 2 2 2 2 2 2 ~ 2 3 lim x x x x x x x x x x x     = 1 1 3    = 2 3

C. Metode Pembelajaran

Ceramah, tanya jawab, diskusi. Strategi Pembelajaran Tatap Muka Terstruktur Mandiri  Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.  Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik.  Menggunakan sifat  Siswa dapat Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan. 21 RPP Matematika XI IPS SMT 2 TP. 20152016 | [SMA PGRI 2 Kajen] Tatap Muka Terstruktur Mandiri limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar.  Siswa dapat Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik.

D. Langkah-langkah Kegiatan

 Pertemuan Pertama dan Kedua Pendahuluan Apersepsi : Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik dan menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dan tak hingga. Kegiatan Inti :  Eksplorasi Dalam kegiatan eksplorasi : a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai arti limit fungsi di suatu titik dan cara menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dan tak hingga, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut. ; b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan arti limit fungsi secara intuitif dan aljabar serta menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dan tak hingga. ; c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh mengenai cara menghitung limit fungsi aljabar dengan cara substitusi, faktorisasi, atau perkalian sekawan, dan mengenai cara menghitung limit fungsi aljabar di tak hingga. ;  Elaborasi Dalam kegiatan elaborasi, d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai cara menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dengan cara substitusi, faktorisasi, atau perkalian sekawan dan menghitung limit fungsi aljabar di tak hingga sebagai tugas individu. ; e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal ; f. Peserta didik mengerjakan soal-soal Latihan mengenai cara menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dan menghitung limit fungsi aljabar di tak hingga;  Konfirmasi Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa: a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin. Demokratis; b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras; Penutup a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai arti limit fungsi secara intuitif dan aljabar serta menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dan tak hingga. ; b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi. ; c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah PR berkaitan dengan materi mengenai arti limit fungsi secara intuitif dan aljabar serta menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dan tak hingga dari soal-soal Aktivitas Kelas dan Latihan yang belum terselesaikan di dalam kelas atau dari referensi lain. ;  Pertemuan Ketiga Pendahuluan 22 RPP Matematika XI IPS SMT 2 TP. 20152016 | [SMA PGRI 2 Kajen] Apersepsi : Membahas PR dan mengingat kembali materi mengenai cara menghitung fungsi aljabar di suatu titik dan di tak hingga. Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat memahami penggunaan limit. Kegiatan Inti :  Eksplorasi Dalam kegiatan eksplorasi : a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai penggunaan limit, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut; b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan penggunaan limit. ; c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas mengenai penggunaan limit. ;  Elaborasi Dalam kegiatan elaborasi, d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai penggunaan limit serta kekontinuan dan diskontinuan sebagai tugas individu. ; e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal ; f. Peserta didik mengerjakan soal-soal Latihan mengenai penggunaan limit serta kekontinuan dan diskontinuan; g. Peserta didik diingatkan untuk mempelajari kembali materi mengenai arti limit fungsi di suatu titik, cara menghitung limit fungsi di suatu titik dan tak hingga, dan penggunaan limit untuk menghadapi ulangan harian pada pertemuan berikutnya. ;  Konfirmasi Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa: a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin. Demokratis; b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras; Penutup a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai penggunaan limit. ; b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi. ; c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah PR berkaitan dengan materi mengenai penggunaan limit serta kekontinuan dan diskontinuan dari soal-soal Aktivitas Kelas dan Latihan yang belum terselesaikan di dalam kelas atau dari referensi lain. ;  Pertemuan Keempat Pendahuluan Apersepsi : Mengingat kembali materi mengenai arti limit fungsi di suatu titik, cara menghitung limit fungsi di suatu titik dan tak hingga, dan penggunaan limit. Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan arti limit fungsi di suatu titik, cara menghitung limit fungsi di suatu titik dan tak hingga, dan penggunaan limit. Kegiatan Inti:  Eksplorasi Dalam kegiatan eksplorasi : a. Peserta didik diminta untuk menyiapkan kertas ulangan dan peralatan tulis secukupnya di atas meja karena akan diadakan ulangan harian. ; 23 RPP Matematika XI IPS SMT 2 TP. 20152016 | [SMA PGRI 2 Kajen]  Elaborasi Dalam kegiatan elaborasi, b. Peserta didik diberikan lembar soal ulangan harian. ; c. Peserta didik diingatkan mengenai waktu pengerjaan soal ulangan harian, serta diberi peringatan bahwa ada sanksi bila peserta didik mencontek. ; d. Guru mengumpulkan kertas ulangan jika waktu pengerjaan soal ulangan harian telah selesai. ;  Konfirmasi Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa: a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin. Demokratis; b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras; Penutup Peserta didik diingatkan untuk mempelajari materi pada bab selanjutnya yaitu Diferensial. ;

E. Alat dan Sumber Belajar Sumber :

 Buku Matematika untuk SMA kelas XI  Matematika Program IPS, SMAMA Kelas XI Semester Genap  LKS Kreatif, Viva Pakarindo. Alat : - Spidol

F. Penilaian Teknik

: tugas individu, ulangan harian. Bentuk Instrumen : uraian singkat, pilihan ganda. Instrumen Penilaian: 1. Nilai dari Lim 2x+4 adalah…. 2. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah…. 3. Nilai dari Lim x 4 – 3x 2 + 4x adalah…. x→0 2x 3 – x 2 - 2x 4. Nilai dari Lim x 2 – 4 adalah…. x→2 x 2 + x - 6 5. Nilai dari Lim 4x 2 + 3x - 6 adalah …. x→~ 2x 2 – 8x -1 6. Nilai dari Lim √ 4x2 – 2x + 6 - √ 4x2 + 2x -1 adalah…. x→~ 7. Nilai dari Lim 8x – 2 2 adalah…. x→~ 4x + 1 2 8. Nilai dari Lim x 2 – x adalah…. x→0 x 2 + 2x 9. Nilai dari Lim 6x 3 - 4x 2 + 2x – 1 adalah…. x→~ 3x 4 – 2x 3 + 5x + 2 10. Nilai dari Lim 2x 2 + 4x – 10 adalah…. x→~ 4x 2 + 7 24 RPP Matematika XI IPS SMT 2 TP. 20152016 | [SMA PGRI 2 Kajen] KUNCI JAWABAN DAN RUBRIK PENILAIAN No Kunci Jawaban Skor 1. Lim 2x+4 = 22 + 4 = 4 + 4 = 8 3 2. Pembahasan 1: Lim [6x-2x] = Lim 4x = 43 = 12 x→3 x→3 Pembahasan 2: Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x x→3 x→3 x→3 = 63 – 23 = 18 – 6 = 12 3 3. Lim x 4 – 3x 2 + 4x = Lim x x 3 – 3x + 4 x→0 2x 3 – x 2 - 2x x→0 x 2x 2 – x – 2 = Lim x 3 – 3x + 4 x→0 2x 2 – x – 2 = 0 – 0 + 4 0 – 0 – 2 = -2 2 3 4. Lim x 2 – 4 = Lim x – 2 x + 2 x→2 x 2 + x – 6 x→2 x – 2 x + 3 = Lim x + 2 x→2 x + 3 = 2 + 2 2 + 3 = 4 5 2 3 5. Perhatikan bahwa pangkat diatas sama dengan pangkat bawah sehingga p = q p dibagi q Lim 4x 2 + 3x - 6 = 4 = 2 x→~ 2x 2 – 8x -1 2 3 6. R = b – q = -2 – 2 = -4 = -4 = -1 2√a 2√4 2.2 4 5 7. Lim 8x – 2 2 .= Lim 64x 2 – 32x + 4 x→~ 4x + 1 2 x→~ 16x 2 + 8x + 1 = 64 = 4 16 5 8. Lim x 2 – x = Lim x x – 1 x→0 x 2 + 2x x→0 x x + 2 = Lim x – 1 x→0 x + 2 = 0 - 1 0 + 2 = -1 2 5 9. Lim 2x 2 + 5x – 12 x→-4 3x 2 – 13x - 4 = Lim 2x – 3 x – 4 x→-4 3x + 1 x – 4 = Lim 2x – 3 x→-4 3x + 1 5 25 RPP Matematika XI IPS SMT 2 TP. 20152016 | [SMA PGRI 2 Kajen] = 2-4 – 3 = 11 3-4 + 1 13 10. Pangkat diatas = Pangkat dibawah Maka 2 = 1 4 2 3 Jumlah Skor 45 PEDOMAN PENILAIAN 100 x TotalSkor JumlahSkor Nilai  Kajen, 4 Januari 2016 Mengetahui, Guru Mata Pelajaran Matematika Kepala Sekolah Achmad Jaenudin, S.Pd Mustofa, S.Pd NIY. 201877 NIY. 201903 26 RPP Matematika XI IPS SMT 2 TP. 20152016 | [SMA PGRI 2 Kajen] RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN RPP Nama Sekolah : SMA PGRI 2 Kajen Mata Pelajaran : Matematika Kelas Program : XI Sebelas IPS Semester : Genap Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar : 3.3. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi. Indikator : 1. Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan. 2. Menjelaskan arti fisis sebagai laju perubahan dan arti geometri turunan di satu titik 3. Menghitung turunan fungsi yang sederhana dengan menggunakan definisi turunan 4. Menentukan sisfat-sifat turunan fungsi 5. Menentukan turunan fungsi aljabar dengan menggunakan sifat-sifat turunan Alokasi Waktu : 8 jam pelajaran 4 pertemuan. A. Tujuan Pembelajaran a. Peserta didik dapat Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan. ; b. Peserta didik dapat Menjelaskan arti fisis sebagai laju perubahan dan arti geometri turunan di satu titik. ; c. Peserta didik dapat Menghitung turunan fungsi yang sederhana dengan menggunakan definisi turunan. ; d. Peserta didik dapat Menentukan sisfat-sifat turunan fungsi. ; e. Peserta didik dapat Menentukan turunan fungsi aljabar dengan menggunakan sifat-sifat turunan. ;  Karakter siswa yang diharapkan :  Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras.  Kewirausahaan Ekonomi Kreatif :  Berorientasi tugas dan hasil, Percaya diri,Keorisinilan.

B. Materi Ajar