Teori peluang mempelajari tentang peluang terjadinya suatu kejadian atau peristiwa. Peluang dinyatakan antara 0 dan 1. Bila peluang suatu kejadian bernilai 0, maka
kejadian tersebut tidak akan terjadi. Sedangkan bila peluang suatu kejadian bernilai 1, maka kejadian tersebut pasti terjadi.
Untuk menentukan peluang suatu kejadian A, semua bobot titik sampel dalam A dijumlahkan. Jumlah ini dinamakan ukuran A atau peluang A dan dinyatakan
dengan P A, jadi ukuran himpunan Ø adalah 0 dan ukuran S adalah 1.
Definisi 4
Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A. ≤ P A ≤ 1, P Ø = 0, dan P S = 1
Teorema
Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang
kejadian A adalah:
2.3 Peubah acak
Suatu fungsi real yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel disebut suatu peubah acak.
Ada 2 dua macam peubah acak, yaitu peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu.
Definisi 5
Universitas Sumatera Utara
Jika semua himpunan nilai yang mungkin dari suatu peubah acak X merupakan himpunan terbilang contable set, yaitu {x
1
, x
2
, …,x
n
} maka X disebut peubah acak diskrit.
Definisi 6
Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu variabel random X merupakan selang bilangan real, maka X disebut peubah acak kontinu.
2.4 Distribusi Peluang
Fungsi adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak
diskrit X, bila untuk setiap hasil x yang mungkin:
n i
x f
1
1 .
2
3. P X = x =
Definisi 7
Distribusi kumulatif F x suatu peubah acak diskrit X dengan distribusi peluang dinyatakan oleh:
x t
x f
x X
P x
F
Definisi 8
Jika fungsi adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X, maka fungsi
densitas probabilitasnya adalah sebagai berikut:
1. 2.
1 dx
x f
3.
b a
dx x
f b
X a
P
Universitas Sumatera Utara
Definisi 9
Distribusi kumulatif suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat peluang
diberikan oleh:
dx
x f
x X
P x
F
Definisi 10
Misalkan X
1
, X
2
, ….Xn, peubah acak diskrit maupun kontinu dengan distribusi peluang gabungan
dan distribusi marginal masing–masing . Peubah acak X
1
, X
2
, …,X
n
dikatakan saling bebas statistik jika dan hanya jika:
Jika sampel random yang berukuran n tersebut diurutkan dalam satu urutan naik maka disebut statistik terurut atau order statistik dari X
1
, X
2
, …, X
n
dan dinyatakan dengan X
1.n
X
2.n
, …, X
n.n
. Misalkan X
1
, X
2
,…, X
n
adalah sampel random yang berukuran n dan fungsi distribusi probabilitasnya
kontinu dan maka fungsi densitas probabilitas dari statistik terurut ke-k
adalah:
2.5 Pendekatan Bayes Untuk Menentukan Estimator
Dalam pendekatan klasik estimator yang diperoleh hanya berdasarkan pada informasi sampel, sedangkan pendekatan Bayes disamping informasi sampel juga diperlukan
informasi tentang parameter.
Definisi 11
Universitas Sumatera Utara
Suatu informasi pada ruang parameter disebut informasi prior. Informasi ini dipandang sebagai distribusi peluang pada ruang parameter yang disebut distribusi
prior.
Definisi 12
Distribusi bersyarat θ apabila diberikan observasi sampel X disebut distribusi posterior
θ dan dinyatakan dengan .
Dalam menentukan distribusi posterior, khususnya untuk kasus kontinu kadang diperlukan perhitungan integral yang tidak mudah, yaitu apabila fungsi
matematikanya tidak sederhana, salah satu cara mengatasi kesulitan ini adalah dengan menggunakan distribusi prior sekawan.
Definisi 13
Misalkan F adalah kelas dari distribusi peluang dengan fkp . Kelas P dari
distribusi prior disebut distribusi keluarga sekawan untuk F jika distribusi posterior berada dalam P untuk semua f
F, semua prior dalam P dan semua x X.
Teorema 14
Misalkan …,
sampel random dari fungsi probabilitas Statistik
dikatakan cukup untuk θ jika dan hanya jika fungsi
probabilitas bersama …,
terurai menjadi hasil kali fungsi probabilitas W dan suatu fungsi lain yang hanya tergantung pada
θ, yakni cukup jika dan hanya jika
.
Teorema
Jika T adalah statistik cukup untuk θ dengan fungsi kepadatan peluang
, maka =
, dengan adalah distribusi prior untuk dan
fungsi probabilitas marginal untuk t.
Universitas Sumatera Utara
2.6 Konsep Dasar Distribusi Tahan Hidup
