16
� =
11 21
12
…
1 22
…
2 1
2 1
1 2
…
2
… Dimana:
i = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, n
2.3.2 Matriks Baris dan Matriks Kolom
Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris matriks ini sering disebut dengan vector baris. Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom
matriks ini sering disebut dengan vector kolom.
2.3.3 Jenis – Jenis Matriks
1. Matriks Bujur Sangkar
Matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Dalam matriks bujur sangkar ini dikenal diagonal
utama yaitu entri-entri yang mempunyai nomor baris yang sama dengan nomor kolom. Sebagai contoh:
� =
11 12
13 21
22 23
31 32
33
3. Matrisk Diagonal
Matriks diagonal adalah suatu matriks dimana semua elemen diluar diagonal pokok mempunyai nilai 0 dan paling tidak satu elemen pada
diagonal pokok ≠ 0, biasanya diberi symbol D.
Universitas Sumatera Utara
17
� = ; i = j ≠ 0
4. Matriks Simetris
Apabila matriks A = a
ij
dimana i,j = 1, 2, …, n dan a
ij
= a
ji
maka disebut matriks simetris symmetric matrix.
� = 2
3 1
−3 3
6 −2
1 −3
6 −2
−4 8
8 5
5. Matriks Identitas
Matriks identitas ialah suatu matriks dimana elemen-elemennya mempunyai nilai satu pada diagonal pokok dan 0 pada diluar diagonal
pokok diagonal dari kiri atas ke kanan bawah. Jadi jika matriks A = a
ij
; i = j = 1, 2, …, n maka:
a
ij
= 1 untuk i = j a
ij
= 0 untuk i ≠ j
� = 1
1 1
Maka matriks A disebut identity matriks dan biasanya diberi symbol I
n
. 6.
Matriks Nol Matriks nol adalah matriks yang semua entrinya adalah bilangan nol.
Matriks ini dilambangkan dengan 0. Jika ordo dipentingkan matriks nol ini dapat ditulis beserta jumlah baris dan kolomnya.
7. Matriks Segitiga Atas
Matriks Segitiga Atas atas adalah matriks bujur sangkar yang elemen- elemen dibawah diagonal utama bernilai nol. Jadi yang tidak sama
Universitas Sumatera Utara
18
dengan nol adalah elemen-elemen pada segitiga atasnya dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan nol. Contoh:
=
11 12
13 14
22 23
24 33
34 44
8. Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar yang elemen- elemen diatas diagonal utama bernilai nol. Jadi yang tidak sama
dengan nol adalah elemen-elemen pada segitiga bawahnya, dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan nol. Contoh:
=
11 21
22 31
41 32
42 33
43 44
9. Matriks Singular
Matriks bujur sangkar � = dikatakan singular jika semua elemen
pada salah satu baris atau kolom adalah nol. Untuk melihat kesingularan suatu matriks adalah dengan menghitung determinan
matriks tersebut. Apabila determinanya sama dengan nol, maka matriks tersebut singular.
10. Matriks Orthogonal
Matriks Orthogonal adalah matriks bujur sangkar yang inversnya sama dengan transposnya. sehingga:
�
−1
= �
Universitas Sumatera Utara
19
2.3.4 Operasi Matriks
1. Perkalian Matriks dengan Skalar Apabila matriks A dikalikan dengan suatu skalar k, ini berarti bahwa
semua elemen dari matriks A harus dikalikan dengan k. jadi apabila A = a
ij
maka kA = ka
ij
= a
ij
k = Ak. 2. Perkalian Matriks dengan Matriks
Apabila A
mxn
= a
ij
yaitu matriks dengan m baris dan n kolom, B
nxp
= b
ij
matriks dengan n baris dan p kolom, kemudian dengan perkalian matriks A X B = A.B = AB tanpa tanda hasil kali, kita maksudkan suatu matriks
C
mxp
; AB=C, yaitu matriks dengan m baris dan p kolom dimana elemen C dari baris ke-i dan kolom ke-j diperoleh dengan rumus:
c
ij
= a
i1
b
1j
+ ai
2
b
2j
+ … + a
in
b
nj
cij =
� � �=1
dimana: i = 1, 2, …, m
j = 1, 2, …, p
3. Penjumlahan Matriks
Jika matriks A = a
ij
, dengan m baris dan n kolom, dan matriks B = b
ij
juga dengan m baris dan n kolom, dijumlahkan dikurangkan maka diperoleh matriks yang ketiga yaitu matriks C=c
ij
dengan m baris dan n kolom dimana elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkan
mengurangkan elemen-elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yaitu: c
ij
=a
ij
+ b
ij
, untuk semua i dan j, dimana c
ij
merupakan elemen dari baris ke-i dan kolom ke-j.
4. Transpose Suatu Matriks
Transpose suatu matriks A = a
ij
ialah suatu matriks baru yang mana elemen-elemennya diperoleh dari elemen-elemen matriks A dengan
syarat bahwa baris-baris dan kolom-kolom matriks menjadi kolom- kolom dan baris-baris dari matriks yang baru ini, dengan kata lain baris
Universitas Sumatera Utara
20
ke-i dari matriks A menjadi kolom ke-i dari matriks baru. Biasanya transpose matriks A diberi symbol A
T
baca A transpose dan ditulis: A
T
= a
T ij
= a
ij
5. Determinan Matriks
Determinan dari matriks bujur sangkar A
nxn
, ditulis � , didefenisikan
sebagai bilangan yang dihitung dari penjumlahan:
� = ±
1 2
…
�
Dimana penjumlahannya meliputi semua permutasi dari i, j, …, r. Tandanya
adalah positif jika i, j, …, r adalah permutasi genap dan negative jika permutasinya ganjil. Karena banyaknya permutasi
i, j, …, r dari bilangan- bilangan
1, 2, 3, …, n adalah n maka dalam penjumlahan diatas terdapat n suku.
6. Invers Matriks
Misalkan A merupakan suatu matriks bujur sangkar dengan n baris dan k kolom dan I
n
suatu identity matriks. Apabila ada matriks bujur sangkar A
-1
sedemikian rupa sehingga berlaku hubungan sebagai berikut: AA
-1
=A
-1
A = I, maka ini disebut invers matriks A. Secara umum invers matriks A adalah:
�
−1
= 1
det � �
�
Adjoint matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennya terdiri dari transpose semua kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu
apabila: K = K
ij
dimana K
ij
ialah kofaktor dari elemen a
ij
maka adjoint matriks A yaitu: AdjA = K
T
= K
T
= K
ji
. Jadi, jelasnya Adj A ialah transpose dari matriks kofaktor K yaitu:
Universitas Sumatera Utara
21
� � = =
11 12
1 21
22 2
… …
⋱ …
1 2
Dengan: =
−1
+
det � atau
= −1
+
det
Dimana: M
ij
= A
ij
= sisa matriks A kalau baris i dan kolom j dihapus atau dihilangkan.
2.3.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Jika A adalah matriks n x n, maka vektor tak nol X di dalam � dinamakan
vektor eigen eigen vektor dari A jika AX adalah kelipatan scalar dari X, yakni: �� = ��
2.1 Untuk suatu skalar λ. Skalar λ ini dinamakan nilai eigen eigen value dari A dan
X dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.
Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n, dari persamaan 2.1 dapat ditulis kembali sebagai suatu persamaan homogen:
� − �� � = 0 2.2
Dengan I adalah matriks Identitas yang berordo sama dengan matriks A. Jika :
� =
11 21
1 12
22 2
… …
⋱ …
1 2
, � =
1 1
… …
⋱ …
1 , � =
1 2
�� = ��, � ≠ 0 �� = ���
Universitas Sumatera Utara
22
�� − ��� = 0 � − ��� = 0
� ≠ 0 → � − �� = 0 Untuk memperoleh nilai λ,
� − �� = 0 2.3
Jika nilai eigen � disubstitusi pada persamaan � − ��� = 0, maka solusi dari
vektor eigen � adalah:
� − � �� = 0 . 2.4
Jadi apabila matriks �
mempunyai akar karakteristik �
1
, �
2
, … , � dan
ada kemungkinan bahwa diantaranya mempunyai nilai yang sama, bersesuaian dengan akar-akar karakteristik ini adalah himpunan vektor-vektor karakteristik
yang ortogonal artinya masing-masing nilai akar karakteristik akan memberikan nilai vektor karakteristik yaitu
�
1
, �
2
, … , � .
2.3.6 Matriks Korelasi Matriks korelasi adalah matriks yang di dalamnya terdapat korelasi-korelasi.
Kategori