KAJIAN PUSTAKA Kompetensi profesional calon guru Matematika Universitas Sanata Dharma pada materi fungsi dan limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
memiliki kompetensi yang dipersyaratkan untuk melakukan tugas pendidikan dan pengajaran. Kompetensi disini meliputi pengetahuan,
sikap, dan keterampilan profesional, baik yang bersifat pribadi, sosial, maupun akademis. Dengan kata lain, guru profesional adalah orang
yang memiliki kemampuan dan keahlian khusus dalam bidang keguruan sehingga ia mampu melakukan tugas dan fungsinya sebagai
guru dengan kemampuan maksimal. Guru yang profesional adalah orang yang terdidik dan terlatih dengan baik, serta memiliki
pengalaman yang kaya di bidangnya. Kunandar:2007:46-47 Moh Ali dalam Kunandar 2007 menyebutkan ada beberapa
syarat khusus dalam suatu pekerjaan profesional, yaitu: a
Menuntut adanya keterampilan berdasarkan konsep dan teori ilmu pengetahuan yang mendalam;
b Menekankan pada suatu keahlian dalam bidang tertentu sesuai
dengan bidang profesinya; c
Menuntut adanya tingkat pendidikan yang memadai; d
Adanya kepekaan terhadap dampak kemasyarakatan dari pekerjaan yang dilaksanakannya;
e Memungkinkan perkembangan sejalan dengan kehidupan.
Profesionalisme seorang guru merupakan suatu hal yang penting dalam bidang pendidikan oleh sebab itu Surya dalam Kunandar
berpendapat bahwa profesionalisme guru mempunyai makna penting, yaitu:
a Profesionalisme memberikan jaminan perlindungan kepada
kesejahteraan masyarakat umum; b
Profesionalisme guru merupakan suatu cara untuk memperbaiki profesi pendidikan yang selama ini dianggap oleh sebagian
masyarakat rendah; c
Profesionalisme memberikan kemungkinan perbaikan dan pengembangan diri yang memungkinkan guru dapat memberikan
pelayanan sebaik mungkin dan memaksimalkan kompetensinya. kualitas profesionalisme sendiri ditunjukkan oleh lima sikap yaitu:
1 Keinginan untuk selalu menampilkan perilaku yang mendekati
standar ideal; 2
Meningkatkan dan memelihara citra profesi; 3
Keinginan untuk
senantiasa mengejar
kesempatan pengembangan profesional yang dapat meningkatkan dan
memperbaiki kualitas pengetahuan dan keterampilannya; 4
Mengejar kualitas dan cita-cita dalam profesi; 5
Memiliki kebanggaan terhadap profesinya. Berdasarkan pengertian-pengertian diatas dapat disimpulkan bahwa
kompetensi profesional guru merupakan kemampuan penguasaan materi
pembelajaran secara
luas dan
mendalam yang
memungkinkan membimbing peserta didik memenuhi standar kompetensi yang ditetapkan dalam Standar Nasional Pendidikan.
4.
Kemampuan Pemahaman Konseptual
Paul White dan Michael Mitchelmore 1996 menyatakan bahwa adanya perubahan dalam teknologi seperti komputer serta aplikasinya
dan kalkulator yang begitu baik, prosedur serta persoalan dalam kalkulus dan aljabar sudah dapat diselesaikan dengan mudah
menggunakan aplikasi. Dengan aplikasi pada komputer siswa dapat dengan mudah mengerjakan serta mengambar grafik kurva secan,
tangen dan lainnya. Kemudahan tersebut menyebabkan siswa kemudian kehilangan kemampuan dasar dan kurang memahami
konsep-konsep yang mendasari dalam kalkulus .
Hudoyo dalam Oktinana Dwi Putra Herawati 2010 menyatakan bahwa matematika berkenaan dengan ide-ide dan konsep-
konsep yang abstrak dan tersesun secara hierarki dan penalaran deduktif maka dalam belajar matematika tidak boleh ada
langkahtahapan konsep yang terlewati. Matematika harus dipelajari secara sistematis dan teratur serta harus disajikan dengan struktur yang
jelas dan harus disesuaikan dengan perkembangan intelektual siswa serta kemampuan prasyarat yang telah dimilikinya. Dengan demikian
maka pembelajaran matematika dapat terlaksanan dengan efektif dan efisien. Oleh sebab konsep-konsep dalam matematika memiliki
keterkaitan antara satu dengan yang lainnya maka dalam memahami integral, siswa memerlukan konsep turunan, dalam memahami turunan
siswa memerlukan konsep dasar dari limit, dalam memahami limit siswa memerlukan konsep dasar dari fungsi.
Oktinana Dwi Putra Herawati 2010 juga menyatakan bahwa pentingnya pemahaman konsep matematika terlihat dalam tujuan
pertama pembelajaran matematika menurut Depdiknas Permendiknas no 22 tahun 2006 yaitu memahami konsep matematika, menjelaskan
keterkaitan antar konsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma secara luwes, akurat, efisien dan tepat dalam pemecahan masalah.
Maka setelah melalui proses pembelajaran siswa diharapkan dapat memahami
suatu konsep
matematika sehingga
kemampuan pemahaman konsep tersebut dapat digunakan untuk mengahadapi
masalah-masalah matematika. Sehingga pemahaman konseptual merupakam bagian yang paling penting dalam pembelajaran
matematika. Zulkardi dalam Oktinana Dwi Putra Herawati 2010 menyatakan bahwa pelajaran matematika menekankan pada konsep
artinya dalam mempelajari matematika siswa harus memahami konsep matematika terlebih dahulu agar dapat menyelesaikan soal-soal dan
mampu mengaplikasikan pembelajaran tersebut dalam dunia nyata. Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan kemampuan
pemahaman kontekstual merupakan kemampuan memahami konsep dasar yang mendasari sebuah teori, diantaranya memahami setiap
simbol, aturan, dan prosedur penyelesaian terkait suatu materi. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5.
Fungsi
a. Pengertian fungsi
Menurut L. Euler dalam Herry Pribawanto Suryawan 2016, himpunan X disebut daerah asal
domain
fungsi dan dinotasikan
dom sementara himpunan Y disebut daerah kawan
kodomain
fungsi dan dinotasikan kod Himpunan yang
beranggotakan semua nilai dengan disebut
daerah hasil peta dari fungsi
.
Daerah asal dari sebuah fungsi adalah himpunan terbesar yang beranggotakan semua bilangan real
x
sehingga ada berupa bilangan real. Fungsi dapat
didefinisikan sebagai fungsi dari himpunan ke
himpunan adalah sebuah aturan yang mengaitkan setiap
dengan tepat satu . Notasi untuk fungsi
f
dari X ke Y adalah
Dalam notasi himpunan om , dua
fungsi dikatakan sama apabila memiliki daerah asal yang sama dan bernilai sama untuk setiap anggota daerah asal sedangkan daerah
hasil dari sebuah fungsi
f
adalah himpunan besar yang beranggotakan semua bilangan real y hasil pemetaan dari daerah
asal
domain
di
fx
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dalam menggambar sketsa grafik fungsi terdapat dua cara yaitu: 1
Membuat tabel domain dan range 2
Analisa grafik fungsi yang lebih sederhana Dalam menganalisa grafik fungsi ada beberapa macam
transformasi fungsi yang perlu diketahui, yaitu: a
Pergeseran translasi. Jika maka: -
Grafik dari fungsi adalah grafik dari fungsi
yang digeser
c
satuan ke atas. -
Grafik dari fungsi adalah grafik dari fungsi
yang digeser
c
satuan ke bawah. -
Grafik dari fungsi adalah grafik dari fungsi yang digeser
c
satuan ke kiri. -
Grafik dari fungsi adalah grafik dari fungsi yang digeser
c
satuan ke kanan. b
Penskalaan dilasi. Jika , maka: -
Grafik dari fungsi adalah grafik dari fungsi
yang diperbesar secara vertikal oleh faktor c.
- Grafik dari fungsi
adalah grafik dari fungsi
yang diperkecil secara vertikal oleh faktor c.
- Grafik dari fungsi adalah grafik dari
fungsi yang diperkecil secara horizontal
oleh faktor c. -
Grafik dari fungsi adalah grafik dari
fungsi yang diperbesar secara horizontal
oleh faktor c. c
Pencerminan refleksi. -
Grafik dari fungsi adalah grafik dari fungsi
yang dicerminkan terhadap sumbu x.
- Grafik dari fungsi adalah grafik dari
fungsi yang dicerminkan terhadap sumbu
y. b.
Sifat –sifat fungsi Frans Susilo 2011 mengemukakan tiga sifat dari suatu fungsi,
yaitu: 1
Fungsi injektif satu-satu Suatu fungsi
disebut fungsi pemetaan injektif jika dan hanya jika untuk setiap
berlaku apabila maka
, yaitu bila dua elemen dalam domain mempunyai bayangan yang sama, maka kedua elemen itu
adalah sama. Secara simbolis: adalah fungsi injektif jika dan hanya jika
. Secara ekivalen, dapat dinyatakan bahwa
adalah fungsi injektif jika dan hanya jika
.
Gambar 2.5.1 contoh fungsi injektif dan bukan fungsi injektif
2 Fungsi surjektif onto
Suatu fungsi disebut fungsi pemetaan surjektif jika
dan hanya jika kisaran dari fungsi f tersebut sama dengan kodomain dari fungsi f, yaitu
Dengan perkataan lain, fungsi
adalah fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk setiap
terdapat sedemikian sehingga yaitu setiap elemen dalam kodomain mempunyai
prabayangan. Secara simbolis: F adalah fungsi surjektif jika dan hanya jika
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 2.5.2 contoh fungsi surjektif dan bukan fungsi
surjektif
3 Fungsi bijektif korespondensi satu-satu
Fungsi bijektif merupakan fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif.
Gambar 2.5.3 contoh fungsi bijektif dan bukan fungsi bijektif
c. Fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
Fungsi Aljabar menurut Herry Pribawanto Suryawan 2016 merupakan fungsi yang dapat dinyatakan sebagai sejumlah hingga
hasil penjumlahan, selisih, kelipatan skalar, perkalian, pembagian, dan pengambilan akar dari fungsi suku banyak sedangkan fungsi
trigonometri merupakan salah satu fungsi transendental. Dalam memahami dan menyelesaikan limit dan turunan, konsep dasar
mengenai aljabar dan identitas trigonometri sangat diperlukan. Fungsi trigonometri diperkenalkan melalui segitiga siku-siku,
dimana
t
adalah sudut yang menghadap sisi tegak dengan panjang PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
b
, sementara panjang sisi datar dan sisi miring segiriga berturut- turut adalah
a
dan
c
. Biasanya
t
diberikan dalam satuan derajat namun didalam kalkulus ada kesepakatan bahwa semua sudut
diukur dalam satuan radian, kecuali disebutkan secara eksplisit menggunakan satuan derajat.
Dari gambar 2.5.4 sinus, kosinus, dan tangen dapat didefinisikan sebagai
s n os
n n s n
os Perbandingan trigonometri lain adalah kotangen, sekan, dan kosekan:
o n
s os
n s s n
Adapun beberapa teorema dasar dalam trigonometri sebagai berikut: 1
Trigonometri jumlah dan selisih dua sudut a Rumus untuk
os os os os s n s n
os os os s n s n b
Rumus untuk s n s n s n os s n os
s n s n os s n os
Gambar 2.5.4 segitiga siku-siku b
c a
t
c Rumus untuk n
n s n
os n
n n n n
n n n
n n 2
Trigonometri untuk sudut ganda a
Rumus untuk s n s n s n os
b Rumus untuk os
os os s n
atau os os
atau os s n
c Rumus untuk n
n n
n 3
Rumus konversi a
Perkalian sinus dan kosinus 1
os os os os Jadi
os os 2
os os s n s n Jadi
s n s n 3
s n s n s n os PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi s n os
4 sin
s n os s n jadi
os s n b
Penjumlahan dan pengurangan sinus Rumus perkalian sinus dan kosinus pada bagian 1 dapat
ditulis dalam rumus berikut. os os os os
os os s n s n s n s n s n os
s n s n os s n Misalkan
n sehingga diperoleh
Sehingga apabila disubstitusikan persamaan 5 dan 6 pada rumus 1 sampai 4 maka akan diperoleh kesimpulan berikut:
1 os os os
os 2
os os s n s n
3 s n s n s n
os 4
s n s n os s n
c Identitas trigonometri
1 os
s n 2
n s
3 o
s Ini merupakan identitas trigonometri yang umum digunakan,
masih banyak lagi identitas trigonometri yang bisa diperoleh dengan menjabarkan rumus trigonometri yang ada untuk
ditemukan rumus-rumus identitas trigonometri.
d. Fungsi komposisi
Fungsi komposisi menurut Ruseffendi 1979 merupakan fungsi baru yang didefinisikan atas dasar fungsi
g
dan
f
, fungsi komposisi dari
g
dengan
f
disebut produk fungsi. Secara umum fungsi komposisi dapat diartikan sebagai fungsi baru yang dibentuk
dari dua atau lebih fungsi yang diberikan. Menurut Herry Pribawanto Suryawan 2016 definisi komposisi
fungsi adalah sebagai berikut: Diberikan fungsi
dan Fungsi komposisi
didefinisikan dengan rumus
Dengan kata lain, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dalam komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif sehingga urutan komposisi fungsi tidak dapat ditukar yakni
Dalam komposisi fungsi berlaku beberapa sifat diantaranya sebagai berikut:
1 2
3 4
5
Nugroho Soedyarto dan Maryanto 2008 menyatakan syarat fungsi yang dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi
adalah irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan
himpunan kosong. e.
Fungsi invers Nugroho Soedyarto dan Maryanto 2008 menyatakan bahwa
semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers namun invers dari himpunan dapat berupa fungsi atau bukan
fungsi. Suatu fungsi
f
akan mempunyai fungsi invers, yaitu jika dan hanya jika fungsi
f
bijektif atau berkorespondensi satu- satu.
Gambar 2.5.5 contoh invers fungsi
Dari gambar
Gambar 2.5.5 bagian i, himpunan A yang beranggotakan
dipetakan oleh fungsi
f
ke himpunan B yang beranggotakan
dimana daerah hasilnya adalah . Pada gambar ii himpunan B
dipetakan oleh fungsi g ke himpunan A daerah hasilnya adalah . pemetaan diperoleh
dengan cara membalik pasangan terurut . B merupakan balikan
dari
f
dinotasikan , atau dapat disebut
g
merupakan invers dari
f
.
Fungsi invers dapat didefinisikan sebagai berikut: Jika fungsi
dinyatakan dengan pasangan terurut n maka invers fungsi
f
adalah
ditentukan oleh
n .
Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara berikut ini:
1 Buatlah permisalan
pada persamaan.
2
Persamaan tersebut disesuaikan dengan sehingga
ditemukan fungsi dalam
y
dan nyatakan .
3
Gantilah
y
dengan
x
, sehingga PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
f. Kaitan fungsi komposisi dan fungsi invers
Jika terdapat fungsi komposisi maka adalah fungsi
tunggal yang dapat dicari inversnya.
Gambar 2.5.6 Kaitan fungsi komposisi dan fungsi invers
Dari gambar di atas dengan
f
dan
g
berkorespondensi satu-satu sedemikian sehingga maka
. Dalam hal ini disebut fungsi invers
dari fungsi komposisi, sehingga diperoleh sifat-sifat berikut: 1
2
6.
Limit fungsi
Herry Pribawanto Suryawan 2016 mendefinisikan bagian-bagian dari limit fungsi sebagai berikut:
a. Pengertian limit fungsi
1 Pengertian informal limit fungsi
Jika fungsi
f
terdefinisi di setiap titik di dekat
a,
kecuali mungkin di
a
sendiri, maka fungsi
f
dikatakan mempunyai limit PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
L untuk
x
menuju
a
apabila berlaku nilai
fx
cukup dekat dengan L untuk nilai
x
yang cukup dekat dengan
a
. Notasi: l m
2 Pengertian formal limit fungsi
Definsi formal limit dapat didefinisikan sebagai berikut: Kita mengatakan
fx
menuju L ketika x menuju
a,
dan menuliskan dengan
l m ,
Apabila untuk setiap bilangan terdapat yang
mungkin bergantung pada sehingga jika dan
maka . Bilangan dan adalah suatu bilangan yang sangat kecil yang menunjukkan
jarak, dikarenakan dan merupakan suatu jarak maka nilainya
harus lebih besar dari nol. Misalkan kita akan membuktikan
l m n l m
Pembuktian: i Diberikan sembarang
Kita harus mencari sehingga jika
m k Cukup jelas bahwa kita dapat memilih
dan implikasi di atas berlaku. Terbukti
l m ii Diberikan sembarang
Kita harus mencari sehingga
jika m k Karena
maka kita dapat memilih bilangan positif secara sebarang dan implikasinya di atas terpenuhi. Terbukti
l m .
b. Limit satu sisi
Jika fungsi
f
terdefinisi pada suatu selang
a,b
dan berlaku nilai
fx
cukup dekat dengan L untuk nilai-nilai
x
yang cukup dekat dengan b dan
, maka kita katakan f mempunyai limit kiri L di
x = b
dan di notasikan dengan l m
Jika fungsi f terdefinisi pada suatu selang
a,b
dan berlaku nilai
fx
cukup dekat dengan L untuk nilai-nilai
x
yang cukup dekat dengan a dan
, maka kita katakan
f
mempunyai limit kanan L di
x = a
dan dinotasikan dengan l m
Maka hubungan limit dengan limit satu sisi diberikan oleh teorema berikut:
Fungsi f mempunyai limit L di x = a jika dan hanya jika limit kanan dan limit kirinya keduanya ada dan nilainya sama dengan L. Jadi,
l m l m
l m c.
Teorema limit fungsi Beberapa teorema yang mempermudah perhitungan limit fungsi.
Jika l m
l m , dan
k
adalah sebuah konstanta, maka:
1 Limit jumlahan:
l m l m
l m 2
Limit selisih: l m
l m l m
3 Limit kelipatan skalar:
l m l m
4 Limit hasilkali:
l m l m
l m 5
Limit hasilbagi: l m
l m l m
6 Limit pangkat: jika dan , maka
l m l m
Asalkan
L
0 jika
n
genap dan jika
Khususnya, apabila jika dan kita
peroleh l m
√ √ 7
Limit urutan: jika pada sebuah selang yang memuat
a,
maka l m
l m PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8 Limit sukubanyak: jika
px
adalah sebuah sukubanyak, maka
l m 9
Limit fungsi rasional: jika dan adalah suku
banyak dengan , maka
l m d.
Teorema prinsip apit Misalkan
untuk setiap
x
pada sebuah selang yang memuat
a
, kecuali mungkin di
a.
Jika l m
dan l m Maka
l m Khususnya, jika
l m l m
Maka l m
e. Limit menuju takhingga dan limit tak hingga
1 Limit menuju takhingga
Jika fungsi
f
terdefinisi pada sebuah selang dan berlaku
bahwa nilai mendekati L apabila
x
bernilai positif dan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
semakin membesar, maka dikatakan mempunyai limit L
untuk
x
menuju takhingga. Notasi: l m
Jika fungsi
f
terdefinisi pada sebuah selang dan berlaku
bahwa nilai melewati M apabila
x
bernilai negatif dan semakin mengecil, maka
dikatakan mempunyai limit M untuk
x
menuju negatif takhingga. Notasi: l m
2 Limit takhingga
Limit takhingga merupakan sebuah fungsi yang nilainya semakin membesar tanpa batas.
f. Limit fungsi trigonometri
Salah satu teorema dari limit fungsi trigonometri yaitu l m
. g.
Fungsi kontinu 1
Definisi informal fungsi kontinu Fungsi
f
dikatakan kontinu di sebuah titik
c
di dalam daerah asal fungsi
f
jika l m
. Apabila l m tidak ada
atau l m
ada tetapi nilainya tidak sama dengan , maka fungsi
f
dikatakan diskontinu di
c
. fungsi
f
dikatakan kontinu pada sebuah selang
I jika
f
kontinu di setiap titik anggota I. Langkah-langkah memeriksa kekontinuan sebuah fungsi di c
yaitu: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
a Periksa apakah ada
b Periksa apakah l m
ada c
Periksalah apakah l m
Kekontinuan fungsi satu sisi di suatu titik dapat didefinisikan sebagai berikut:
a Fungsi
f
dikatakan kontinu kanan di c jika l m
. b
Fungsi
f
dikatakan kontinu kiri di c jika l m
. Fungsi
f
kontinu di
c
jika dan hanya jika
f
kontinu kanan di x dan kontinu kiri di c.
Berikut adalah sifat-sifat hasil operasi aljabar dari fungsi-fungsi kontinu yang juga merupakan fungsi kontinu:
Jika fungsi
f
dan
g
keduanya terdefinisi pada sebuah selang yang memuat titik
c
, dan keduanya kontinu di
c
maka fungsi- fungsi berikut juga kontinu di
c. a
dan
b c
d e
asalkan jika n genap
Komposisi dari dua fungsi kontinu juga merupakan fungsi kontinu:
Diberikan dua fungsi
f
dan
g
. jika terdefinisi pada sebuah selang yang memuat c dan jika
f
kontinu di L dengan
l m maka
l m l m
Khususnya, jika
g
kontinu di
c
yakni L =
gc
, maka komposisi f o g kontinu di c dan
l m .
2 Definisi formal fungsi kontinu
Fungsi
f
dikatakan kontinu di sebuah titik
a
di dalam daerah asal fungsi
f
apabila untuk setiap terdapat sehingga
jika maka
Definisi formal limit fungsi dan definisi formal fungsi kontinu cukup mirip. Namun ada beberapa perbedaan, yaitu:
a Pada definisi limit fungsi,
a
tidak harus berada di dalam daerah asal fungsi
f
tetapi pada definisi fungsi kontinu,
a
haruslah berada di dalam daerah asal fungsi
f.
b Pada definisi fungsi kontinu, kita mengukur seberapa
dekat
fx
dengan
fa
. sementara pada definisi limit fungsi, kita mengukur seberapa dekat
fx
dengan sebuah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
bilangan L dan dalam hal ini L tidak harus sama dengan
fa.
c Pada definisi limit fungsi, disyaratkan
yang berarti Pada definisi fungsi kontinu, kita
hanya mensyaratkan yang berarti
x
bisa sama dengan
a
. Menurut Sudaryono 2014 limit fungsi merupakan perubahan
nilai suatu fungsi ketika nilai input variabel bebas fungsi tersebut berubah. Berikut adalah beberapa teorema limit:
Jika l m .
Jika c konstanta, l m l m
l m l m
l m .
l m l m
l m .
l m l m
l m .
l m l m
l m {l m
} a
Limit fungsi aljabar Langkah-langkah umum penyelesaian limit fungsi aljabar
l m sebagai berikut:
1 Substitusikan nilai x = a ke fx.
2 Jika hasilnya bentuk tak tentu
n harus diuraikan.
3 Jika hasilnya bentuk tertentu maka nilai tersebut merupakan
nilai limitnya. Jenis limit untuk x mendekati konstanta x→ c:
- Jika dan c adalah konstanta, fungsi fx diuraikan
dengan cara faktorisasi. -
Untuk fungsi fx yang mengandung akar, kalikan dengan sekawan terlebih dahulu.
b Limit untuk x mendekati nilai tak berhingga x dengan hasil
atau Jika
dan hasilnya atau
, fungsi fx diuraikan dengan cara membagi pembilang dan penyebut dengan x pangkat tertinggi.
Cara langsung: Jika
dan hasilnya atau
, fungsi fx diuraikan dengan rumus:
l m c
Limit untuk
x
mendekati tak berhingga x dengan hasil
Jika dan hasilnya , fungsi fx diuraikan
dengan cara dikali sekawan untuk fungsi yang mengandung
s lny s lny
s lny
bentuk akar, kemudian membagi pembilang dan penyebut dengan x pangkat tertinggi.
Cara langsung: Jika
dan hasilnya fungsi fx diuraikan dengan rumus:
1 Rumus jumlah dan selisih akar
l m √ √
l m √ √
2 Rumus selisih akar kuadrat
l m √
√
d Limit fungsi trigonometri
Beberapa langkah umum menyelesaikan limit fungsi l m
trigonometri menurut Sudaryono: 1
Substitusikan x = a ke fx. 2
Jika hasilnya bentuk tak tentu n ,
fx harus diuraikan.
� √
, untuk a=p PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3 Jika hasilnya bentuk tertentu, itulah nilai limitnya.
Langkah menguraikan fungsi fx dengan rumus dasar
Jika terdapat
bentuk l m
l m l m
l m , Gunakan rumus dasar trigonometri:
l m l m
l m l m
m l m
l m l m
B.
Kerangka berpikir
Berikut adalah diagram kerangka berpikir dalam penelitian untuk mengukur kemampuan kompetensi profesional mahasiswa calon guru
matematika pada materi fungsi dan limit fungsi. Kompetensi Sosial
Berkomunikasi
Kompetensi Profesional
Penguasaan Materi Kompetensi Kepribadian
Keamanan Emosional Kompetensi Pedagosis
Pengembangan Kurikulum Guru Profesional
Materi Limit
Program Studi Pendidikan
Matematika Calon
Guru Perkuliahan
Kalkulus Diferensial
Tes Esai 1, 2 dan 3 serta Wawancara dengan Peserta Mata Kuliah Kalkulus Diferensial kelas
C tahun akademik 20162017
Deskripsi Kompetensi Profesional mahasiswa calon guru matematika pada
materi fungsi dan limit fungsi Bagan 2.1 Kerangka Berpikir
40