Set covering problem
1) Set covering problem
Model set covering (Toregas et al., 1971 dalam Daskin, 2008) bertujuan meminimumkan jumlah titik lokasi fasilitas pelayanan tetapi dapat melayani semua titik permintaan. Untuk menggambarkan mo del set covering dapat dirumuskan atau formulasikan sebagai berikut :
Dimana :
I = titik demand dengan indek i J
= titik alternatif lo kasi dengan indek j
d ij = jarak antara titik permintaan i dengan alternatif lo kasi j
D c = jarak pemenuhan
N i = j d ij D c
= semua alternatif lokasi yang meliputi titik permintaan i Variable keputusannya : 1 jika pada lokas i j
0 jika tidak
Dengan no tasi di atas maka dapat di formulasikan sebagai berikut :
Minimize x j (2.1)
j J
Subject to
x j 1 i I j (2.2) N
x j 1 0 . j J (2.3)
Berdasarkan Formulasi tersebut dapat diuraikan menjadi tujuan (2.1) untuk meminimasi jumlah alternatif lokasi. Batasan (2.2) setiap titik pemintaan dapat dipenuhi sedikitnya oleh satu fasilitas, (2.3) benar atau tidaknya suatu keputusan.
2) M ax covering problem Mo del lokasi maximal covering (Church and ReVelle, 1974 dalam Daskin, 2008) menunjukkan adanya suatu batasan pada banyaknya fasilitas untuk dijadikan sebagai lokasi. Model max covering memiliki fungsi objektif untuk memaksimumkan jumlah titik permintaan yang terlayani dengan batasan hanya tersedia sejumlah p titik lokasi fasilitas pelayanan yang dapat melayani titik-titik permintaan tersebut.
Mo del maximal covering diformulasikan sebagai berikut : Mo del maximal covering diformulasikan sebagai berikut :
h i demand atau permintaan pada titik i p banyaknya fasilitas untuk penentuan lokasi
1 jika titik i dipenuhi x j
0 jika tidak
Maximize h i z i (2.4)
i I
Subject to :
x j z i 0 i I (2.5)
x j p j (2.6) J
x j 1 0 , j J (2.7) z i 1 0 , i I (2.8)
Berdasarkan formulasi atau rumus pada model maximal covering dapat diketahui, tujuan (2.4) memaksimalkan total permintaan yang dapat dipenuhi. Batasan (2.5) pemenuhan permintaan pada titik i tidak terhitung, kecuali pada salah satu alternatif lokasi yang dapat memenuhi titik i. (2.6) membatasi banyaknya fasilitas pada daerah penempatan. (2.7 dan 2.8) merupakan suatu keputusan penempatan lo kasi sebagai pemenuhan titik-titik permintaan.
3) p-center problem Mo del p-center fungsi objektifnya adalah meminimumkan rata-rata jarak terjauh (coverage distance) antara titik permintaan dan titik lo kasi fasilitas pelayanan. Fungsi objektif dalam model p-center sering disebut MinMax objective . Model p-center diformulasikan sebagai berikut :
W = memaksimal antara titik permintaan dan lokasi pada jarak yang telah ditentukan.
1 jika titik i untuk menentukan suatu lokasi pada titik j
0 jika tidak
Berdasarkan variabel keputusan di atas maka dapat difo rmulasikan :
Maximize W
Subject to :
x j p j (2.10) J
y ij 1 i I (2.11)
y ij x j 0 i I , j J (2.12) W h i d ij y ij 0 i I (2.13)
x j 1 0 ,
i I (2.14) y ij 0 , 1 i I , j J (2.15)
Pada formulasi di atas maka dapat diketahui, tujuan (2.9) adalah meminimasi jarak pada demand-weighted pada tiap titik permintaan dengan lo kasi yang terdekat sehingga dapat bernilai maksimal.
Batasan (2.10) menetapkan p sebagai lokasi, (2.11) setiap titik permintaan hanya dapat dipenuhi oleh satu lo kasi saja, (2.12) pembatasan pada titik-titik permintaan hanya pada satu lokasi, (2.13) pada demand-weighted yang maksimal dapat diminimasi dengan jarak yang lebih kecil, 2.(14) variabel keputusan dengan bilangan biner, (2.15) permintaan hanya dapat ditentukan oleh satu titik lokasi saja.
b. M edian – based M odels Median-based model mengukur jarak yang sebenarnya. Mo del ini dibagi menjadi dua, yaitu:
1) P- median 1) P- median
Mo del ini
bertujuan
Di mana Yij merupakan variabel assigment, bernillai 1 apabila demand pada node i ditugaskan ke kandidat fasilitas j, dan bernilai 0 jika sebaliknya. Demand node secara o tomatis akan ditugaskan ke fasilitas terdekat yang buka di beberapa solusi feasible, dirumuskan dalam constraint berikut.
Mo del ini dapat diselesaikan dengan mengembangkan algo ritma secara heuristik dan optimal. Neighborhood search algorithm berdasar observasi 1-median dapat menemukan waktu polinomial dengan total enumerasi. Selain itu, juga bisa digunakan algo ritma tabu search dan algoritma genetika.
P-median tidak memperhatikan perbedaan biaya pada fasilitas yang berbeda. Uncpacitated Facility Location Problem (UFLP) hampir sama dengan p-median, hanya saja tidak memakai batasan jumlah fasilitas yang ditempatkan. P-centre tidak memperhatikan demand level, cenderung ditempatkan di area dengan jumlah populasi sedikit, tetapi lebih terpusat. M ax covering model menghitung populasi tetapi P-median tidak memperhatikan perbedaan biaya pada fasilitas yang berbeda. Uncpacitated Facility Location Problem (UFLP) hampir sama dengan p-median, hanya saja tidak memakai batasan jumlah fasilitas yang ditempatkan. P-centre tidak memperhatikan demand level, cenderung ditempatkan di area dengan jumlah populasi sedikit, tetapi lebih terpusat. M ax covering model menghitung populasi tetapi
2) Fixed Charge Mo del ini bertujuan untuk meminimalkan biaya fasilitas dan biaya transport demand menuju lokasi terdekat. Input:
I set lo kasi demand (customer), diwakili i J
set kandidat lokasi fasilitas, diwakili j hi
demand pada no de i I
f j fixed cost menempatkan fasilitas pada kandidat j J
c ij unit cost shipping antara fasilitas j J dan demand di no de i
I Mo del fixed charge facility location dapat diformulasikan sebagai berikut (Balinski, 1965 dalam Daskin, 2008):
Decision Variable:
1 jika m enempatkan kandidat fasilitas j J
0 jika tidak
Y ij fraksi demand di lokasi demand i = I yang dilayani oleh fasilitas di j J
c. M odel Lain
1) P- dispersion Mo del ini bertujuan untuk memaksimalkan jarak minimum antar faslitas. Hal ini dilakukan untuk menghindari kanibalisme antar fasilitas sejenis, misal: franchise .
Model p-dispersion dapat difo rmulasikan sebagai berikut:
Decision variabel model ini adalah: M
i , I j J
= ko nstanta yang besar ( misal : Max