17
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Teori Graph
Secara kasar, graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika diinterpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari, graph digunakan untuk
menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek-objek agar lebih mudah dimengerti.
Teori Graph merupakan cabang ilmu matematika diskrit yang banyak penerapannya dalam berbagai bidang ilmu seperti engineering, fisika, biologi, kimia,
arsitektur, transportasi, teknologi komputer, ekonomi, sosial dan bidang lainnya. Teori Graph juga dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan, seperti
Travelling Salesperson Problem, Chinese Postman Problem, Shorest Path, Electrical Network Problems, Seating Problem serta Graph Coloring.
2.1.1 Sejarah Teori Graph
Masalah jembatan Kőnigsberg Kőnigsberg Bridge Problem bisa menjadi contoh yang paling dekat dalam teori graph, dahulu merupakan masalah yang cukup rumit
hingga pada akhirnya dipecahkan oleh Leonhard Euler, Matematikawan dari Swiss 1707-1783 tahun 1736.[Narsingh Deo,1980]
Kőnigsberg adalah sebuah kota di sebelah timur Prussia Jerman sekarang dimana terdapat Sungai Pregel Pregolya
sekarang dan merupakan tempat tinggal duke of Prussia pada abad ke-16 tahun 1736. Kota tersebut saat ini bernama Kaliningrad dan merupakan pusat ekonomi dan
industri utama di Rusia Barat. Sungai Pregel membagi kota menjadi empat daratan
Vivi Septianita Hutabarat : Implementasi Graph Coloring Dalam Pemetaan Daerah Kabupaten Serdang Bedagai, 2009 USU Repository © 2008
18 dengan mengalir mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua buah anak
sungai, seperti tampak pada gambar berikut ini :
Gambar 2.1 Jembatan Kőnigsberg
Pada abad kedelapan belas, dibangunlah tujuh jembatan yang menghubungkan keempat daratan tersebut. Pada hari Minggu, masyarakat
Kőnigsberg biasanya berjalan-jalan dari daratan ke suatu daratan lainnya melalui jembatan tersebut. Mereka
berfikir apakah mungkin untuk berjalan menyeberangi ketujuh jembatan tanpa melalui jembatan yang sama dari suatu daratan dan kembali ke tempat semula. Masalah ini
pertama kali dipecahkan oleh Leonard Euler, ahli Matematika dari Swiss yang menemukan salah satu cabang dari Matematika yang saat ini dikenal sebagai “Teori
Graph”. Solusi Euler merepresentasikan masalah ini ke dalam sebuah graph dengan ke empat daratan sebagai empat vertex node dan ke tujuh jembatan sebagai empat
sisi edge. Graph yang dibuat Euler diperlihatkan pada gambar di bawah :
Gambar 2.2 Graph yang merepr esentasikan jembatan Kőnigsberg
C
A
B D
Vivi Septianita Hutabarat : Implementasi Graph Coloring Dalam Pemetaan Daerah Kabupaten Serdang Bedagai, 2009 USU Repository © 2008
19
2.1.2. Definisi Graph
Suatu linier graph atau sederhana G = V,E terdiri atas himpunan benda V = {v
1,
v
2
, . . .} disebut vertex, dan himpunan E = {e
1
, e
2
, . . . }, yang elemen-elemennya disebut edge sehingga setiap edge e
k
diidentifikasikan dengan pasangan tak berurut vertex v
i
, v
j
.
Di dalam teori graph, graph adalah kumpulan titik yang mungkin terhubung maupun tidak terhubung dengan titik lainnya dengan garis. Tidak penting seberapa besar titik
itu, atau seberapa panjang garisnya, atau apakah garis itu lurus atau melengkung dan titik itupun tidak harus bulat. Intinya adalah bahwa titik-titik itu terhubung oleh garis.
Masalah pertama dalam mempelajari teori graph yaitu terdapat begitu banyak definisi. Semuanya sesuai untuk gagasan intuitif, tetapi dapat disarikan dengan
seketika. Beberapa pendapat tentang graph memiliki nama jamak. Sebagai contoh,
graph terkadang disebut networks, vertex terkadang disebut simpul atau nodes atau
titik, dan edge terkadang disebut sisi atau arcs atau garis. Dalam tulisan ini yang digunakan untuk menjelaskan simpul dan sisi yaitu vertex dan edge. Peristiwa
terburuk, tidak ada yang setuju pada arti yang terdapat dalam terminologi. Sebagai contoh, dalam definisi setiap graph harus memiliki paling sedikit satu vertex. Karena
itu pengarang yang lain mengizinkan graph dengan nol vertex. Graph dengan nol vertex hanya ada satu, contoh yang tidak baik jika menjadi sebuah teorema. Secara
teori, setiap penulis yang setuju sedikit banyaknya maksud dari masing-masing teorema, tetapi tidak setuju dengan kasus graph dengan nol vertex tersebut. Jadi, tidak
perlu diingat jika definisi ini berbeda dengan definisi yang dilihat dimanapun. Pada umumnya perbedaan ini tidak menjadi masalah.
2.1.3. Terminologi dan Konsep Dasar Teori Graph
Sebuah graph dibentuk dari kumpulan titik yang dihubungkan dengan garis-garis. Secara informal, graph adalah cabang dari titik, yang dihubungkan oleh garis. Contoh
sebuah graph :
Vivi Septianita Hutabarat : Implementasi Graph Coloring Dalam Pemetaan Daerah Kabupaten Serdang Bedagai, 2009 USU Repository © 2008
20
Gambar 2.3 Contoh sebuah graph
Namun, definisi ini tidak begitu tepat dalam diskusi matematika. Secara formal, suatu graph adalah pasangan dari himpunan berhingga V, E, yaitu :
V yaitu himpunan titik-titik tidak kosong simbol VG disebut vertex atau
nodes.
E yaitu kumpulan garis-garis simbol EG, yang merupakan himpunan bagian E disebut edge atau arcs.
Vertex dapat disamakan dengan dots dalam gambar, dan edge dapat disamakan dengan lines. Demikian, diagram dots dan lines di atas adalah gambaran Graph V,E,
yaitu :
V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I} E = {{A,B},{A,C},{B,D},{C,D},{C,E},{E,F},{E,G},{H,I}}
Setiap garis berhubungan dengan satu atau dua titik. Titik-titik tersebut dinamakan titik ujung. Garis yang hanya behubungan dengan satu titik ujung disebut
loop. Dua garis berbeda yang menghubungkan titik yang sama disebut garis paralel.
Dua titik dikatakan berhubungan adjacent jika ada garis yang menghubungkan keduanya dan sebuah garis dikatakan incident untuk vertex yang
menghubungkan garis tersebut. Sejumlah incident edge pada sebuah vertex disebut derajat vertex degree. Sebagai contoh, graph di atas, A adjacent dengan B dan B
adjacent dengan D, dan edge A-C incident dengan vertex A dan C. Vertex H memiliki derajat 1, D memiliki deajat 2 dan E memiliki derajat 3.
A B
F
C D
E G
H
I
Vivi Septianita Hutabarat : Implementasi Graph Coloring Dalam Pemetaan Daerah Kabupaten Serdang Bedagai, 2009 USU Repository © 2008
21 Titik yang tidak mempunyai garis yang berhubungan dengannya disebut
titik terasing isolating point.
Graph yang tidak mempunyai titik sehingga tidak mempunyai garis disebut graph kosong.
Untuk graph kosong , , bentuk sederhananya . Sebuah graph dengan
perintah 0 atau 1 disebut trivial. Dimulai dengan sebuah induksi, trivial graph dapat digunakan; tetapi selain hal tersebut graph ini menjadi contoh yang buruk dan
mengganggu. Untuk menghindari kerusakan teks dengan kondisi non-triviality, trivial-graph paling banyak ditawarkan, dan terutama graph kosong
, dengan banyak sekali penolakan.
Graph linier graph sederhana G=V,E terdiri atas satu set objek V={v
1
,v
2
..} disebut vertex, dan set yang lain E={e
1
,e
2
,...}, yang elemen-elemennya disebut edge, seperti masing-masing edge e
k
diidentifikasikan dengan tidak mengurutkan vertexv
i
,v
j
. Vertex v
i
,v
j
diasosiasikan dengan e
k
. Gambaran umum sebuah graph yang diartikan sebagai sebuah diagram, dimana vertex menggambarkan poin-poin dan
masing-masing edge sebagai segmen garis bagiannya dan vertex. Kerap kali diagram ini berdasar pada sebuah graph. Objek ditunjukkan pada gambar 2.3, sebagai contoh
sebuah graph.
Gambar 2.4 Graph dengan 5 vertex dan 7 edge
Meninjau bahwa definisi ini mengizinkan sebuah edge diasosiasikan dengan pasangan vertex v
i
,v
i
. Seperti sebuah edge memiliki vertex yang sama pada kedua akhir vertex disebut “self-loop” atau loop sederhana. Kata loop, bagaimanapun
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
e
7
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
Vivi Septianita Hutabarat : Implementasi Graph Coloring Dalam Pemetaan Daerah Kabupaten Serdang Bedagai, 2009 USU Repository © 2008
22 memiliki arti yang berbeda dalam teori Jaringan Listrik; untuk itu akan digunakan
istilah self-loop untuk menghindari kebingungan. Edge e
1
dalam gambar 2.4 adalah self-loop. Definisi ini mengizinkan lebih dari 1 edge diasosiasikan dengan pasangan
vertex yang diberikan, sebagai contoh, edge e
4
dan e
5
, dalam gambar 2.4. Vertex tersebut disebut sebagai parallel edge.
Sebuah graph yang tidak memiliki self-loop ataupun parallel edge disebut simple graph. Dalam beberapa literatur graph-theory, sebuah graph didefinisikan
hanya untuk menjadi sebuah graph sederhana, tetapi teknik aplikasi yang paling banyak parallel edge dan self-loop diizinkan; hal ini dari definisi termasuk graph
dengan self-loops andor parallel edge. Beberapa penulis menggunakan istilah general graph untuk menekankan bahwa parallel edge dan self-loops diizinkan.
Dalam menggambar sebuah graph, tidak penting apakah garis yang digambar lurus atau bengkok, panjang atau pendek : yang terpenting adalah besarnya
pengaruh antara edge dan vertex. Sebagai contoh dua graph pada gambar 2.5 a dan b adalah sama, karena pangaruh antara edge dan vertex adalah sama dalam dua
persoalan. Banyaknya vertex pada suatu graph disebut order dan banyaknya edge disebut size.
Sebuah kelas graph yang ditutup di bawah isomorphism disebut graph property. Sebagai contoh, graph yang berisi sebuah segitiga disebut graph property
jika G berisi tiga pasangan vertex yang adjacent demikian setiap graph isomorphic untuk G. Sebuah peta menggunakan graph sebagai argumen disebut graph invariant
Gambar 2.5 Graph yang berbeda digambar
berbeda
1
2 3
4 1
2 4
3
a b
Vivi Septianita Hutabarat : Implementasi Graph Coloring Dalam Pemetaan Daerah Kabupaten Serdang Bedagai, 2009 USU Repository © 2008
23 jika graph tersebut menentukan kesamaan nilai untuk graph yang isomorphic. Jumlah
vertex dan jumlah edge pada sebuah graph adalah dua graph invarian sederhana, jumlah terbesar pasangan vertex adjacent adalah yang lain.
G G’ := V V’, E E’ dan G G’:=V V’, E E’. Jika G G’=
, kemudia G dan G’ adalah disjoint. JikaV’
G dan E’ E, kemudian G’ adalah subgraph G dan G supergraph G’, ditulis G’
G. Secara tidak formal, dikatakan bahwa G berisi G’. Jika G’
G dan G’ G, kemudian G’ adalah proper subgraph G.
Jika G’ G dan G’ berisi semua edge xy
V’, kemudian G’ adalah penyebab subgraph G, dikatakan bahwa V’ induces atau spans G’ dalam G, dan
ditulis G’=:G[V’]. Demikian jika U V adalah himpunan vertex, kemudian G[U]
menandakan graph U yang edge-edgenya yaitu secara tepat edge-edge pada G dengan akhir keduanya dalam U. Jika H adalah subgraph G, tidak perlu dijabarkan, disingkat
G[VH] menjadi G[H]. Akhrinya G’ G adalah spanning subgraph pada G jika V’
memaparkan semua G, sebagai contoh jika V’=V.
1 2
4
3 5
G
6 4
3 5
1 2
4
3 5
6 1
2 4
3 5
G’
G G’
G - G’ G
G’
Gambar 2.6 Perpaduan, Perbedaan dan Persimpangan; Simpul 2, 3, 4 menyebabkan segitiga dalam G
G’ tetapi tidak dalam G
Vivi Septianita Hutabarat : Implementasi Graph Coloring Dalam Pemetaan Daerah Kabupaten Serdang Bedagai, 2009 USU Repository © 2008
24
Jika U adalah himpunan vertex pada umumnya G, ditulis G-U untuk G[V\U].
Dengan kata lain, G - U yang diperoleh dari G oleh penghapusan semua vertex dalam
U V dan edge-edge yang incident. Jika U = {u} adalah tunggal, ditulis G - u dari
pada G {u}. Sebagai ganti G-VG’ ditulis dalam bentuk sederhana G-G’. Sebagai himpunan bagian F pada [V]
2
ditulis G-F := V, E \ F dan G+F := V,E F; G-
{e}dan G+{e} disingkat menjadi G - e dan G + e. Disebut G edge-minimal dengan memberikan graph property jika G sendiri memiliki property tetapi graph G+xy tidak
melakukannya, untuk vertex tidak adjecent x, y G.
Secara lebih umum, ketika disebut graph minimum atau maksimum dengan beberapa property tetapi belum dispesifikkan perintah tertentu, menunjukkan
hubungan pada subgraph. Ketika dibahas masalah himpunan minimum dan maksimum pada vertex atau edge acuannya adalah untuk himpunan masukan secara
sederhana.
Jika G dan G’ adalah disjoint, ditunjukkan dengan GG’, graph tersebut ditandai dari G
G’ oleh sambungan semua vertex G menjadi semua vertex G’. Sebagai contoh, K
2
K
3
= K
5
. Komplemen G pada G adalah graph pada V dengan himpunan edge [V]
2
\ E. Graris graph LG pada G adalah graph pada E dalam x,y E adalah adjacent sebagai vertex jika dan hanya jika garis tersebut adalah adjacent
sebagai edge dalam G.
Penghapusan beberapa vertex atau edge dari sebuah graph meninggalkan sebuah subgraph.
matematika diskrit dan aplikasinya pada ilmu komputer Jong Jek Siang. Konsep subgraph sama dengan konsep himpunan bagian. Dalam teori
G G’
G’’
Gambar 2.7 Graph G dengan subgraph G’ dan G’’; G’ adalah penyebab subgraph G, tetapi G’’ tidak
Vivi Septianita Hutabarat : Implementasi Graph Coloring Dalam Pemetaan Daerah Kabupaten Serdang Bedagai, 2009 USU Repository © 2008
25 himpunan, himpunan A dikatakan merupakan himpunan bagian B jika dan hanya jika
setiap anggota A merupakan anggota B. Karena graph merupakan himpunan yang terdiri dari titik dan garis maka H dikatakan subgraph G jika semua titik dan garis H
juga merupakan titik dan garis dalam G. Secara formal, subgraph didefinisikan sebagai berikut :
Misalkan G adalah suatu graph. Graph H dikatakan subgraph G jika dan hanya jika :
a. VH VG
b. EH EG
c. Setiap garis dalam H mempunyai titik ujung yang sama dengan garis tersebut dalam G.
Dari definisi tersebut ada bebrapa hal yang dapat diturunkan : 1. Sebuah titik dalam G merupakan subgraph G.
2. Sebuah garis dalam G bersama-sama dengan titik-titik ujungnya merupakan subgraph G.
3. Setiap graph merupakan subgraph dari dirinya sendiri. 4. Dalam subgraph berlaku sifat transitif : jika H adalah subgraph G dan G adalah
subgraph K, maka K adalah subgraph K.
Sebagai contoh, dapat diperlihatkan pada gambar graph berikut ini :
Gambar 2.8 Graph G dan Subgraph H
Penyelesaian : VH = {v
1
, v
4
} dan VG = {v
1
, v
2
, v
3
, v
4
} sehingga VH VG.
EH = {e
3
} dan EG = {e
1
, e
2
, e
3
} sehingga EH EG. Garis e
3
menghubungkan
V
2
V
1
V
4
V
4
V
1
e
1
e
3
e
4
V
3
e
3
G H
Vivi Septianita Hutabarat : Implementasi Graph Coloring Dalam Pemetaan Daerah Kabupaten Serdang Bedagai, 2009 USU Repository © 2008
26 titik v
1
dengan v
4
. Hal yang sama juga berlaku pada G. Maka H merupakan subgraph G. Perhatikan bahwa posisi titik tidaklah mempengaruhi.
2.1.4 Jenis-jenis Graph
Jenis-jenis graph dapat diklasifikasikan berdasarkan beberapa faktor-faktor sebagai berikut :
a. Berdasarkan ada tidaknya gelang atau edge ganda pada suatu graph, maka graph
digolongkan menjadi dua jenis, yaitu : i.
Graph sederhana Simple graph Graph sederhana yaitu graph yang tidak mengandung edge maupun edge-
ganda. Gambar di bawah ini adalah contoh graph sederhana.
Gambar 2.9 Graph Sederhana
ii. Graph tak-sederhana Unsimple-graph
Graph tak-sederhana yaitu graph yang mengandung edge ganda atau edge. Gambar di bawah ini adalah contoh graph tidak sederhana.
Gambar 2.10 Graph tak-sederhana
b. Berdasarkan jumlah vertex pada suatu graph, maka secara umum graph dapat
digolongkan menjadi dua jenis : 1.
Graph berhingga limited graph
2 1
3
4
4 1
e
4
2 3
e
1
e
2
e
3
e
5
e
6
e
7
Vivi Septianita Hutabarat : Implementasi Graph Coloring Dalam Pemetaan Daerah Kabupaten Serdang Bedagai, 2009 USU Repository © 2008
27 Graph berhingga adalah graph yang jumlah vertexnya n berhingga.
2. Graph tak berhingga unlimited graph
Graph tak behingga adalah graph yang jumlah vertexnya n tidak berhingga banyaknya.
c. Berdasarkan orientasi arah pada edge, maka secara umum graph dibedakan atas
dua jenis : i.
Graph tak berarah undirect graph Graph tak berarah adalah graph yang edgenya tidak mempunyai orientasi
arah.
Gambar 2.11 Graph berarah dan tak berarah
ii. Graph berarah direct graph atau digraph
Graph berarah adalah graph yang setiap edge-nya diberikan orientasi arah.
2 1
3
4
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
e
7
2 1
3
4
2 1
3
4 1
2 4
3
a Graph berarah a Graph-ganda berarah
Vivi Septianita Hutabarat : Implementasi Graph Coloring Dalam Pemetaan Daerah Kabupaten Serdang Bedagai, 2009 USU Repository © 2008
28
2.1.5. Graph Planar
Suatu graph G yang dapat digambarkan tanpa adanya edge-edge yang saling memotong disebut sebagai graph planar jika tidak demikian graph G disebut tak-
planar.
Contoh : Pandang graph G K
4
pada gambar dibawah ini, karena K
4
dapat digambar kembali tanpa ada edge-edgenya yang berpotongan, maka graph K
4
adalah suatu graph Planar.
2.1.6. Pewarnaan Graph
Sebuah pewarnaan graph G adalah sebuah pemetaan warna-warna ke vertises dari G sedemikian hingga vertex adjacency atau simpul yang berdampingan mempunyai
warna yang berbeda. Graph planar G dikatakan berwarna n jika terdapat sebuah pewarnaan dari G yang menggunakan n warna. Jumlah warna minimum yang
diperlukan untuk mewarnai G disebut bilangan chromatic dari G. Ada tiga macam pewarnaan graph, yaitu pewarnaan vertex, pewarnaan edge,
dan pewarnaan wilayah region.
Pewarnaan simpul Vertex Coloring suatu graph adalah pemberian warna terhadap vertex sedemikian hingga dua vertex yang berdampingan mempunyai warna
1 2
4 3
1 2
3 4
Gambar 2.12 Graph berarah dan tak berarah K
4
Vivi Septianita Hutabarat : Implementasi Graph Coloring Dalam Pemetaan Daerah Kabupaten Serdang Bedagai, 2009 USU Repository © 2008
29 yang berlainan. Sebuah vertex dapat diberikan sembarang warna asalkan warna yang
diberikan berbeda dengan vertex yang berdekatan dengannya. Dikatakan G berwarna n, bila terdapat pewarnaan dengan menggunakan n warna. Jumlah minimum warna
yang dibutuhkan disebut bilangan khromatis dari G, ditulis KG.
Permasalahan empat warna pertama kali diperkenalkan pada tahun 1852 ketika Francis Guthrie mencoba untuk mewarnai peta wilayah di Inggris, ia menyadari
bahwa hanya empat warna yang dibutuhkan. Pada saat itu, Guthrie adalah seorang
mahasiswa dari Agustus De Morgan pada University College.
Referensi pertama yang dipublikasikan dalam buku Arthur Cayley, On the colourings of maps.
Dalam membuktikan teorema ini, beberapa percobaan terdahulu telah gagal. Salah satu bukti dari teorema ini diberikan oleh Alfred Kempe pada tahun 1879, bukti
ini diakui oleh Peter Guthrie Teit pada 1880. Namun pada tahun 1890 bukti Kempe ditunjukkan kesalahannya oleh Percy Heawood, dan pada tahun 1891 ditunjukkan
kesalahannya oleh Julius Petersen. Masing-masing bukti berdiri selama 11 tahun hingga akhirnya ditunjukkan kesalahannya.
Pada tahun 1890, sebagai tambahan dari penunjukan kecacatan bukti Kempe, Heawood membuktikan bahwa semua graph-planar dapat diwarnai oleh lima warna.
Sepanjang tahun 1960an hingga 1970an, matematikawan Jerman Heinrich Heesch mengembangkan metode utnuk mencari bukti.
Hingga pada tahun 1976, dugaan empat warna ini akhirnya dibuktikan oleh Kenneth Appel dan Wolfgang Haken dari University of Illiois. Mereka dibantu dalam
beberapa algoritmik oleh John Koch.
Jika dugaan empat warna ternyata salah, maka akan ada setidaknya satu buah peta dengan jumlah kemungkinan warna yang digunakan adalah lima. Bukti
Vivi Septianita Hutabarat : Implementasi Graph Coloring Dalam Pemetaan Daerah Kabupaten Serdang Bedagai, 2009 USU Repository © 2008
30 menunjukkan bahwa contoh-kontra minimal semacam itu tidak ada melalui
penggunaan dari dua konsep teknis :
Sebuah kumpulan yang tak dapat dihindari mengandung daerah sedemikian hingga setiap peta haruslah memiliki sedikitnya satu daerah dari kumpulan
tersebut.
Sebuah konfigurasi yang dapat diturunkan adalah sebuah susunan dari daerah- daerah yang tidak dapat terjadi dalam contoh-kontra minimal. Jika sebuah peta
mengandung konfigurasi yang dapat diturunkan, dan sisa dari peta dapat diwarnai dengan empat warna, maka keseluruhan peta dapat diwarnai dengan empat warna,
dan maka peta tersebut tidaklah minimal.
Dengan menggunakan aturan matematika dan prosedur yang berdasarkan pada sifat konfigurasi yang dapat diturunkan, Apple dan Haken menemukan sebuah
kumpulan yang tak dapat dihindari, itu membuktikan bahwa kontra contoh minimal dari dugaan empat warna tidak dapat ditemukan. Bukti mereka mereduksi
ketidakterbatasan dari peta yang mungkin menjadi 1936 konfigurai yang dapat diturunkan kemudian dikurangi lagi menjadi 1476 yang harus diperiksa satu per satu
oleh komputer. Bagian dari pekerjaan ini telah diperiksa dua kali gengan program dan komputer yang berbeda. Bagian yang tak dapat dihindari dari bukti ini adalah lebih
dari 500 halaman tulis tangan kontra-kontra contoh, sebagian besar merupakan anak remaja Haken, Lippold, membuktikan pewarnaan graph. Program komputer sendiri
berjalan selama ribuan jam.
Semenjak pembuktian teorema, algoritma yang efisien utnuk mewarnai peta dengan empat warna membutuhkan hanya On
2
waktu, dimana n adalah jumlah dari bagian. Pada tahun 1996, Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour dan Robin
Thomas menciptakan sebuah algoritma waktu quadratic, menggunakan pekerjaan Belaga dan mengembangkan algoritma qurtic berdasarkan pada bukti Appel dan
Haken. Efisiensi ini meningkat dikarenakan bukti baru mereka yang mirip dengan bukti Appel Haken namun mereduksi kompleksitas dari masalah dan hanya butuh
mengecek 633 konfigurasi yang dapat diturunkan. Baik bagian ‘yang tak dapat dihindari’ dan bagian ‘yang dapat diturunkan’ dari bukti baru ini membutuhkan
Vivi Septianita Hutabarat : Implementasi Graph Coloring Dalam Pemetaan Daerah Kabupaten Serdang Bedagai, 2009 USU Repository © 2008
31 penggunaan sebuah komputer dan sangat tidak mungkin bagi manusia untuk
mengecek dengan tangan.
Pada 1980, matematikawan asal Inggris George Spencer-Brown telah meletakkan bukti dugaannya mengenai peta empat warna pada Royal Society. Bukti
yang dimaksud dinyatakan tidak valid.
Pada 2004, Benyamin Werner dan Georges Gonthier membentuk sebuah bukti dari teorema di dalam Coq proof assistant. Ini menghilangkan keharusan untuk
mempercayai bermacam program komputer yang digunakan untuk memverifikasi kasus semacam ini, yang diperlukan hanyalah memercayai Coq proof assistant.
Ada juga beberapa algoritma yang efisien untuk menentukan apakah 1 atau 2 warna mencukupi untuk mewarnai peta. Menetukan apakah 3 warna mencukupi
adalah belum dapat diselesaikan, dan tidak memiliki solusi yang cepat. Menentukan apakah graph umum mungkin tidak planar dapat diwarnai dengan 4 warna juga
belum dapat diselesaikan.
Vivi Septianita Hutabarat : Implementasi Graph Coloring Dalam Pemetaan Daerah Kabupaten Serdang Bedagai, 2009 USU Repository © 2008
32
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Gambar wilayah Kabupaten Serdang Bedagai
Kategori