Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial Berderajat 5 Menggunakan

Dari gambar grafik fungsi , terlihat bahwa fungsi memiliki 2 titik maksimum lokal dan 2 titik minimum lokal. Fungsi memuat nilai maksimum lokal pada selang dan dan nilai minimum lokal pada selang dan . Iterasi yang harus dilakukan pada metode Golden Section dapat ditentukan sesuai dengan panjang interval akhir yang diinginkan atau ditentukan. Pemilihan banyaknya iterasi yang dilakukan dapat menggunakan rumus pada 2.7. 1. Kasus 1 : Menentukan nilai minimum lokal Pada kasus ini akan dicari nilai minimum lokal pada fungsi . Fungsi f memiliki 2 nilai minimum lokal yang termuat pada selang dan . a. Nilai minimum lokal pada selang Gambar 3.6. Grafik fungsi i Langkah awal : menentukan banyak iterasi 8 8 8 8 Jadi, dipilih , karena 8 ii Langkah utama Iterasi 1 Dicari 2 titik baru di dalam selang , misal dan . Pemilihan titik dan berdasarkan 2.5 dan 2.6 8 8 8 8 Dilakukan evaluasi nilai fungsi dari dan 8 8 8 Karena dan maka dipilih interval baru yaitu 8 . Iterasi 2 Dipilih 2 titik di dalam selang 8 , misalkan dan . 8 8 8 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 8 8 8 yang merupakan titik interior dalam selang 8 merupakan titik . Oleh karena itu, hanya perlu evaluasi nilai fungsi pada satu titik baru. 8 8 Karena dan maka dipilih interval baru yaitu 8 Iterasi selanjutnya menggunakan bantuan tabel dan Microsoft Excel. Jadi, minimum lokal fungsi diperkirakan berada di dengan nilai fungsi 8 . Iterasi Batas bawah selang Batas atas selang -3 2 -2.61803 0.618034 -2.381966 0.742646 -2 2 1 -3 2 -2.76393 0.913216 -2.618034 0.618034 -2.381966 0.742646 2 -2.763932 0.913216 -2.61803 0.618034 -2.527864 0.582982 -2.381966 0.742646 3 -2.618034 0.618034 -2.52786 0.582982 -2.472136 0.61422 -2.381966 0.742646 4 -2.618034 0.618034 -2.56231 0.583532 -2.527864 0.582982 -2.472136 0.61422 5 -2.562306 0.583532 -2.52786 0.582982 -2.506578 0.590321 -2.472136 0.61422 6 -2.562306 0.583532 -2.54102 0.581358 -2.527864 0.582982 -2.506578 0.590321 7 -2.562306 0.583532 -2.54915 0.581483 -2.54102 0.581358 -2.527864 0.582982 8 -2.54915 0.581483 -2.54102 0.581358 -2.535995 0.581713 -2.527864 0.582982 9 -2.54915 0.581483 -2.54413 0.581304 -2.54102 0.581358 -2.535995 0.581713 10 -2.54915 0.581483 -2.54604 0.581333 -2.544125 0.581304 -2.54102 0.581358 11 -2.546045 0.581333 -2.54413 0.581304 -2.542939 0.58131 -2.54102 0.581358 12 -2.546045 0.581333 -2.54486 0.581309 -2.544125 0.581304 -2.542939 0.58131 13 -2.544858 0.581309 -2.54413 0.581304 -2.543672 0.581304 -2.542939 0.58131 14 -2.544858 0.581309 -2.54441 0.581305 -2.544125 0.581304 -2.543672 0.581304 15 -2.54441 0.581305 -2.544125 0.581304 -2.543952 0.581303 -2.543672 0.581304 Tabel 3.1. Hasil Iterasi Menentukan Nilai Minimum Lokal di b. Nilai minimum lokal pada selang i Langkah awal : menentukan banyak iterasi 8 8 8 8 Jadi, dipilih , karena 8 ii Langkah utama Iterasi 1 Dicari 2 titik baru di dalam selang , misal dan . Pemilihan titik dan berdasarkan 2.5 dan 2.6 8 8 8 8 Dilakukan evaluasi nilai fungsi dari dan 8 8 8 8 8 Karena dan maka dipilih interval baru yaitu 8 . Iterasi 2 Dipilih 2 titik di dalam selang 8 , misalkan dan . 8 8 8 8 8 8 yang merupakan titik interior dalam selang 8 . merupakan titik . Oleh karena itu, hanya perlu evaluasi nilai fungsi pada satu titik baru. 8 8 Karena dan maka dipilih interval baru yaitu 8 . Iterasi selanjutnya menggunakan bantuan tabel dan Microsoft Excel. Itera si Batas bawah selang Batas atas selang -1 2 -0.61803 -0.62808 -0.38197 -1.61803 2 1 -0.61803 -0.62808 -0.38197 -1.61803 -0.23607 -1.30935 2 2 -0.61803 -0.62808 -0.47214 -1.39578 -0.38197 -1.61803 -0.23607 -1.30935 3 -0.47214 -1.39578 -0.38197 -1.61803 -0.32624 -1.61384 -0.23607 -1.30935 4 -0.47214 -1.39578 -0.41641 -1.56299 -0.38197 -1.61803 -0.32624 -1.61384 5 -0.41641 -1.56299 -0.38197 -1.61803 -0.36068 -1.63092 -0.32624 -1.61384 6 -0.38197 -1.61803 -0.36068 -1.63092 -0.34752 -1.63014 -0.32624 -1.61384 7 -0.38197 -1.61803 -0.36881 -1.62801 -0.36068 -1.63092 -0.34752 -1.63014 8 -0.36881 -1.62801 -0.36068 -1.63092 -0.35565 -1.63143 -0.34752 -1.63014 9 -0.36068 -1.63092 -0.35565 -1.63143 -0.35255 -1.63125 -0.34752 -1.63014 10 -0.36068 -1.63092 -0.35757 -1.63135 -0.35565 -1.63143 -0.35255 -1.63125 11 -0.35757 -1.63135 -0.35565 -1.63143 -0.35447 -1.63141 -0.35255 -1.63125 Tabel 3.2. Hasil Iterasi Menentukan Nilai Minimum Lokal di 12 -0.35757 -1.63135 -0.35639 -1.63142 -0.35565 -1.63143 -0.35447 -1.63141 13 -0.35639 -1.63142 -0.35565 -1.63143 -0.3552 -1.63143 -0.35447 -1.63141 14 -0.35639 -1.63142 -0.35593 -1.63143 -0.35565 -1.63143 -0.3552 -1.63143 15 -0.35593 -1.63143 -0.35565 -1.63143 -0.35548 -1.63143 -0.3552 -1.63143 Jadi, minimum lokal fungsi diperkirakan berada di dengan nilai fungsi . 2. Kasus 2 : Menentukan maksimum lokal Pada kasus ini akan dicari nilai maksimum lokal pada fungsi . Fungsi memiliki 2 nilai maksimum lokal yang termuat pada selang dan . a. Nilai maksimum lokal pada selang i Langkah awal : menentukan banyak iterasi 8 8 8 8 Jadi, dipilih , karena 8 ii Langkah utama Iterasi 1 Dicari 2 titik baru di dalam selang , misal dan . Pemilihan titik dan berdasarkan 2.5 dan 2.6 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 8 8 8 8 Dilakukan evaluasi nilai fungsi dari dan 8 8 8 8 8 Karena dan maka dipilih interval baru yaitu 8 . Iterasi 2 Dipilih 2 titik di dalam selang 8 , misalkan dan . 8 8 8 8 8 8 yang merupakan titik interior dalam selang 8 merupakan titik . Oleh karena itu, hanya perlu evaluasi nilai fungsi pada satu titik baru. 8 8 Karena dan maka dipilih interval baru yaitu 8 . Iterasi selanjutnya menggunakan bantuan tabel dan Microsoft Excel. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Jadi, maksimum lokal fungsi diperkirakan di dengan nilai fungsi . b. Nilai maksimum lokal pada selang i Langkah awal : menentukan banyak iterasi 8 8 8 Iterasi Batas bawah selang Batas atas selang -4 2 -3.61803 5.618034 -3.381966 4.628084 -3 2 1 -4 2 -3.76393 5.309351 -3.618034 5.618034 -3.381966 4.628084 2 -3.763932 5.309351 -3.61803 5.618034 -3.527864 5.395779 -3.381966 4.628084 3 -3.763932 5.309351 -3.67376 5.613837 -3.618034 5.618034 -3.527864 5.395779 4 -3.673762 5.613837 -3.61803 5.618034 -3.583592 5.562987 -3.527864 5.395779 5 -3.673762 5.613837 -3.63932 5.630918 -3.618034 5.618034 -3.583592 5.562987 6 -3.673762 5.613837 -3.65248 5.63014 -3.63932 5.630918 -3.618034 5.618034 7 -3.652476 5.63014 -3.63932 5.630918 -3.63119 5.62801 -3.618034 5.618034 8 -3.652476 5.63014 -3.64435 5.631432 -3.63932 5.630918 -3.63119 5.62801 9 -3.652476 5.63014 -3.64745 5.631251 -3.644345 5.631432 -3.63932 5.630918 10 -3.647451 5.631251 -3.64435 5.631432 -3.642426 5.631353 -3.63932 5.630918 11 -3.647451 5.631251 -3.64553 5.631408 -3.644345 5.631432 -3.642426 5.631353 12 -3.645531 5.631408 -3.64435 5.631432 -3.643612 5.631419 -3.642426 5.631353 13 -3.645531 5.631408 -3.6448 5.63143 -3.644345 5.631432 -3.643612 5.631419 14 -3.644798 5.63143 -3.64435 5.631432 -3.644065 5.63143 -3.643612 5.631419 15 -3.644798 5.63143 -3.64452 5.631432 -3.644345 5.631432 -3.644065 5.63143 Tabel 3.3. Hasil Iterasi Menentukan Nilai Maksimum Lokal di 8 Jadi, dipilih , karena 8 ii Langkah utama Iterasi 1 Dicari 2 titik baru di dalam selang , misal dan . Pemilihan titik dan berdasarkan 2.5 dan 2.6 8 8 8 8 Dilakukan evaluasi nilai fungsi dari dan 8 8 8 Karena dan maka dipilih interval baru yaitu 8 . Iterasi 2 Dipilih 2 titik di dalam selang 8 , misalkan dan . 8 8 8 8 8 8 yang merupakan titik interior dalam selang 8 . merupakan titik . Oleh karena itu, hanya perlu evaluasi nilai fungsi pada satu titik baru. 8 8 8 8 Karena dan maka dipilih interval baru yaitu 8 . Iterasi selanjutnya menggunakan bantuan tabel dan Microsoft Excel. Itera si Batas bawah selang Batas atas selang -2 2 -1.61803 3.257354 -1.38197 3.381966 -1 2 1 -1.61803 3.257354 -1.38197 3.381966 -1.23607 3.086784 -1 2 2 -1.61803 3.257354 -1.47214 3.417018 -1.38197 3.381966 -1.23607 3.086784 3 -1.61803 3.257354 -1.52786 3.38578 -1.47214 3.417018 -1.38197 3.381966 4 -1.52786 3.38578 -1.47214 3.417018 -1.43769 3.416468 -1.38197 3.381966 5 -1.52786 3.38578 -1.49342 3.409679 -1.47214 3.417018 -1.43769 3.416468 6 -1.49342 3.409679 -1.47214 3.417018 -1.45898 3.418642 -1.43769 3.416468 7 -1.47214 3.417018 -1.45898 3.418642 -1.45085 3.418517 -1.43769 3.416468 8 -1.47214 3.417018 -1.46401 3.418287 -1.45898 3.418642 -1.45085 3.418517 9 -1.46401 3.418287 -1.45898 3.418642 -1.45587 3.418696 -1.45085 3.418517 10 -1.45898 3.418642 -1.45587 3.418696 -1.45396 3.418667 -1.45085 3.418517 12 -1.45898 3.418642 -1.45706 3.41869 -1.45587 3.418696 -1.45396 3.418667 12 -1.45706 3.41869 -1.45587 3.418696 -1.45514 3.418691 -1.45396 3.418667 13 -1.45706 3.41869 -1.45633 3.418696 -1.45587 3.418696 -1.45514 3.418691 14 -1.45633 3.418696 -1.45587 3.418696 -1.45559 3.418695 -1.45514 3.418691 15 -1.45633 3.418696 -1.45605 3.418697 -1.45587 3.418696 -1.45559 3.418695 Jadi, maksimum lokal fungsi diperkirakan berada di dengan nilai fungsi 8 .

D. Proses Menentukan Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial

Berderajat 5 yang Simetris Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris dengan memadukan metode Tabel 3.4. Hasil Iterasi Menentukan Nilai Maksimum Lokal di Golden Section Search dan konsep aljabar dan geometris seperti yang dilakukan oleh Ronald dan Hansen. Pada sub bab ini berisi tentang langkah-langkah atau proses secara garis besar dalam menentukan nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris dengan memadukan kedua metode tersebut. Berikut adalah algoritma proses yang akan dilakukan dalam penelitian ini. 1. Langkah awal Langkah awal yang akan dilakukan adalah inisiasi atau proses input koefisien-koefisien dari fungsi polinomial berderajat 5. Fungsi awal yang diinputkan diberikan nama fungsi . Selanjutnya dilakukan pengujian kesimetrisan fungsi . Pengujian kesimetrisan fungsi dilakukan dengan cara yang sudah dibahas pada subbab sebelumnya. Jika fungsi adalah fungsi yang simetris, maka proses dilanjutkan. Sedangkan jika fungsi bukan merupakan fungsi yang simetris, maka proses dihentikan. 2. Langkah Utama Jika fungsi adalah fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris, maka proses dilanjutkan ke tahap langkah utama. a. Fungsi yang simetris akan ditranslasikan dengan menggeser titik simetri putar ke titik origin O0,0. Hasil translasi tersebut akan menghasilkan fungsi baru yang merupakan fungsi ganjil, dimana fungsi yang baru merupakan fungsi polinomial berderajat 5 yang hanya memuat suku-suku dengan pangkat PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI bilangan ganjil. Hasil translasi tersebut diberikan nama fungsi . b. Mencari pembuat nol dari fungsi , dengan cara membantuk persamaan polinomial berderajat 4, yang hanya memuat suku , dan konstanta. Persamaan polinomial berderajat 4 tersebut kemudian dimanipulasi menjadi bentuk persamaan kuadrat, dengan memisalkan ,sehingga . c. Melakukan analisis banyaknya nilai ekstrem lokal yang dimiliki oleh fungsi berdasarkan banyaknya pembuat nol real fungsi dan nilai diskriminan dari persamaan kuadrat dalam variabel . 1 Jika fungsi memiliki nilai ekstrem lokal dan diskriminan dari persamaan kuadrat yang terbentuk bernilai lebih besar sama dengan 0, maka dari nilai-nilai pembuat nol real fungsi dapat dibentuk interval yang menjamin fungsi bersifat unimodal pada interval tersebut. Interval dibentuk menggunakan 2 nilai pembuat nol fungsi yang berdekatan. 2 Jika nilai diskriminan dari persamaan kuadrat yang terbentuk bernilai negatif, maka dilakukan pengecekan apakah fungsi memiliki nilai ekstrem lokal. Cara yang dilakukan adalah menggerakan garis ke atas sebesar , selanjutnya diperiksa banyaknya titik potong PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI