Pembuat Nol Fungsi Polinomial
Sebagai contoh, misal diketahui . Pada fungsi polinomial P, untuk nilai adalah :
5 sebagai pembuat nol kembar-dua atau
zero of multiplicity
2 -2 sebagai pembuat nol kembar-tiga atau
zero of multiplicity
3 -4 sebagai pembuat nol tunggal atau
zero of multiplicity
1
simple zero
Chapra dan Canale 1989 menyatakan bahwa jika akar-akar dari persamaan polinomial diulang sebanyak
kali, dengan adalah bilangan ganjil maka grafik fungsi polinomial akan memotong sumbu X di titik
pembuat nol tersebut. Sedangkan untuk bilangan genap, maka grafik
fungsi polinomial akan menyinggung sumbu X di titik pembuat nol tersebut.
Teorema 2.3 Loveless, 2011
Bilangan adalah pembuat nol dari fungsi polinomial berderajat
jika dan hanya jika untuk suatu polinomial berderajat .
Sumber :
Numerical Method for Engineers 6
th
Edition
Gambar 2.11a. Akar
ganda-dua
Gambar 2.11b. Akar
ganda-tiga
Gambar 2.11c. Akar
ganda-empat
Bukti :
Misal fungsi polinomial berderajat dengan .
i Asumsi
untuk suatu polinomial berderajat
. Akan ditunjukkan adalah pembuat nol dari fungsi
.
2.3 Berdasarkan definisi 2.4, persamaan 2.3 menunjukkan bahwa
adalah pembuat nol dari fungsi . terbukti
ii Asumsi
adalah pembuat nol dari fungsi . Akan ditunjukkan untuk suatu polinomial berderajat
. ,
∑
Berdasarkan definisi 2.4 dan asumsi adalah pembuat nol dari
fungsi , maka .
∑ ∑
∑ 2 4
Suku dengan dieliminasi karena
. Oleh karena itu, fungsi
pada persamaan 2.4 dapat menjadi : ∑
Karena maka bentuk
dapat difaktorkan menjadi :
Misalkan maka
2.5 dengan
adalah fungsi polinomial dengan derajat . Persamaan 2.5 disubstitusikan ke persamaan 2.4 menjadi :
∑
∑
Perhatikan bahwa : ∑
∑
Suku terjadi satu kali disaat
dan . Jadi,
adalah polinomial dengan derajat . terbukti
Dari i dan ii, maka teorema 2.2 terbukti. QED
Teorema 2.4 Meserve, 1959:139
Setiap fungsi polinomial berderajat memiliki pembuat nol bilangan
kompleks yang tidak harus berbeda.
Bukti :
Pembuktian teorema ini menggunakan kontradiksi. Kasus 1 :
Diketahui fungsi polinomial berderajat 0. Misal adalah pembuat nol
dari fungsi .
Berdasarkan definisi 2.4 yaitu tentang definisi fungsi polinomial, fungsi polinomial
merupakan fungsi konstan dengan konstanta bukan nol, sehigga fungsi
dapat dituliskan dalam bentuk :
dengan .
Diperhatikan dari bentuk fungsi bahwa untuk semua nilai , berlaku
. Artinya fungsi tidak memiliki pembuat nol fungsi atau dengan kata lain fungsi
memiliki 0 pembuat nol. Hal ini bersifat kontradiksi dengan asumsi yang dimiliki yaitu fungsi
memiliki 1 pembuat nol yaitu .
Kasus 2 : Misal diketahui fungsi polinomial
berderajat , dan adalah pembuat nol dari
yang berjumlah . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Berdasarkan teorema 2.1 dan 2.2, maka : untuk suatu polinomial
yang derajatnya 1 kurangnya dari derajat
dan mempunyai nilai pembuat nol,
misal .
untuk suatu polinomial yang
derajatnya 2 kurangnya dari derajat dan
mempunyai nilai pembuat nol, misal
. untuk satu polinomial
yang derajatnya 3 kurangnya dari derajat
dan mempunyai nilai
pembuat nol, misal .
. .
. untuk
suatu polinomial
yang derajatnya kurangnya dari derajat dan mempunyai nilai pembuat nol, misal
. Jika
maka . Oleh karena itu haruslah
adalah fungsi konstan. Misal .
Asumsi yang sudah dibuat adalah masih ada pembuat nol fungsi yaitu
. juga merupakan pembuat nol dari
, maka : .
Persamaan tersebut dapat terjadi jika dan hanya jika , yang
mengakibatkan . Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa
adalah polinomial berderajat .
Jadi, fungsi polinomial berderajat memiliki bilangan real pembuat nol
fungsi. Jadi, teorema 2.4 terbukti. QED
Teorema 2.5 Aufmann, 1990:234
Jika √ adalah pembuat nol dari fungsi
polinomial dengan koefisien bilangan real, maka konjugatnya yaitu
juga merupakan pembuat nol dari fungsi polinomial
Bukti :
Misal adalah pembuat nol dari fungsi P atau . Akan
ditunjukkan ̅ adalah pembuat nol juga atau ̅
2.6 dengan
adalah bilangan real. Karena bilangan kompleks yang ada di ruas kiri sama dengan bilangan
kompleks di ruas kanan pada persamaan 2.6, maka berlaku juga untuk konjugatnya.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅ sifat ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅
̅̅̅ ̅̅̅
̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅
̅̅̅ ̅ ̅̅̅ sifat
̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅
̅ ̅
sifat ̅̅̅ ̅
dan konjugat dari bilangan real adalah bilangan
itu sendiri ̅
̅ ̅
2.7 Dari persamaan 2.7 dapat ditulis sebagai
̅ . Teorema 2.5 terbukti.
QED PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema 2.6 Loveless, 2011
Setiap fungsi polinomial berderajat
n
memiliki paling banyak pembuat
nol bilangan real.
Bukti :
Pembuktian teorema ini menggunakan induksi matematika. Misalkan
adalah fungsi polinomial berderajat dalam variabel . i
Langkah Dasar : Jika
, maka fungsi adalah fungsi konstan. Berdasarkan definisi 2.4, maka fungsi
dengan dapat dinyatakan dalam bentuk :
dengan .
Jelas bahwa nilai untuk sembarang nilai , sehingga fungsi
tidak mempunyai nilai pembuat nol. Jadi, untuk tidak ada nilai pembuat nol dari fungsi
. ii
Diasumsikan benar untuk bahwa setiap polinomial berderajat memiliki paling banyak
pembuat nol bilangan real untuk suatu bilangan bulat
dengan . iii
Akan dibuktikan untuk berlaku fungsi polinomial berderajat
mempunyai paling banyak pembuat nol bilangan real.
Misalkan fungsi berderajat . Jika fungsi f tidak memiliki
pembuat nol, maka jelas 0 .
Jika fungsi memiliki paling tidak satu pembuat nol, misalkan a
adalah pembuat nol dari fungsi f, maka berdasarkan teorema 2.3 dapat dituliskan
dengan adalah suatu polinomial yang berderajat .
Berdasarkan asumsi untuk , artinya fungsi memiliki paling
banyak pembuat nol bilangan real. Sedangkan, a adalah pembuat nol
dari fungsi
f.
Jadi, memiliki paling banyak pembuat
nol bilangan real. Dari i,ii,iii maka dapat disimpulkan untuk setiap polinomial
berderajat memiliki paling banyak pembual nol bilangan real.
Teorema 2.6 terbukti. QED
Pembuat nol fungsi polinomial atau akar-akar dari persamaan polinomial dapat berupa bilangan kompleks atau bilangan real. Teorema
2.4 menunjukkan jika fungsi polinomial mempunyai akar kompleks, maka akar tersebut selalu berpasangan dengan konjugatnya, sehingga setiap
fungsi polinomial memiliki akar-akar kompleks yang berpasangan. Pembuat nol real dapat menentukan apakah grafik fungsi polinomial
memotong atau menyinggung sumbu X. Sedangkan pembuat nol yang PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
memuat bilangan imajiner tidak membuat grafik fungsi memotong dan meyinggung sumbu X. Splitzbart dan Bardell, 1958:160.
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mencari pembuat nol dari fungsi polinomial atau akar-akar persamaan polinomial.
Berdasarkan teorema 2.4, fungsi linear atau fungsi polinomial berderajat 1 memiliki 1 nilai pembuat nol real. Operasi aljabar sederhana dapat
digunakan untuk menentukan akar dari fungsi linear.
Contoh 2.2 :
Pembuat nol dari dapat ditentukan dengan cara :
Fungsi kuadrat atau fungsi polinomial berderajat 2 memiliki 2 nilai pembuat nol. Metode yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar
dari persamaan kuadrat adalah metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna atau metode abc metode dengan formula fungsi
kuadrat. Metode abc atau menggunakan formula kuadratik dapat diselesaikan dengan formula berikut. Swokowski dan Cole, 2004: 84
Jika maka :
√
2.8 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 2.3 :
Penentuan pembuat nol dari dapat dilakukan dengan cara :
1. Metode Pemfaktoran
atau 2.
Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna
√
atau atau
3. Metode abc atau menggunakan formula kuadrat
Quadratic Formula
√ √
√
√
atau atau
Pembuat nol dari fungsi polinomial berderajat 3 atau yang lebih tinggi lagi dapat ditentukan dengan metode Horner dan beberapa metode
secara numerik. Metode Horner merupakan metode yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar fungsi polinomial secara analitis. Metode
Horner menggunakan konsep pembagian fungsi polinomial dengan nilai- nilai yang diduga sebagai faktornya. Namun, tidak semua bentuk fungsi
polinomial dapat diselesaikan dengan mudah oleh metode Horner. Oleh karena itu, ada beberapa metode yang dapat digunakan secara numerik
untuk menentukan akar-akar dari fungsi polinomial. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI