Pembuat Nol Fungsi Polinomial

Sebagai contoh, misal diketahui . Pada fungsi polinomial P, untuk nilai adalah : 5 sebagai pembuat nol kembar-dua atau zero of multiplicity 2 -2 sebagai pembuat nol kembar-tiga atau zero of multiplicity 3 -4 sebagai pembuat nol tunggal atau zero of multiplicity 1 simple zero Chapra dan Canale 1989 menyatakan bahwa jika akar-akar dari persamaan polinomial diulang sebanyak kali, dengan adalah bilangan ganjil maka grafik fungsi polinomial akan memotong sumbu X di titik pembuat nol tersebut. Sedangkan untuk bilangan genap, maka grafik fungsi polinomial akan menyinggung sumbu X di titik pembuat nol tersebut. Teorema 2.3 Loveless, 2011 Bilangan adalah pembuat nol dari fungsi polinomial berderajat jika dan hanya jika untuk suatu polinomial berderajat . Sumber : Numerical Method for Engineers 6 th Edition Gambar 2.11a. Akar ganda-dua Gambar 2.11b. Akar ganda-tiga Gambar 2.11c. Akar ganda-empat Bukti : Misal fungsi polinomial berderajat dengan . i Asumsi untuk suatu polinomial berderajat . Akan ditunjukkan adalah pembuat nol dari fungsi . 2.3 Berdasarkan definisi 2.4, persamaan 2.3 menunjukkan bahwa adalah pembuat nol dari fungsi . terbukti ii Asumsi adalah pembuat nol dari fungsi . Akan ditunjukkan untuk suatu polinomial berderajat . , ∑ Berdasarkan definisi 2.4 dan asumsi adalah pembuat nol dari fungsi , maka . ∑ ∑ ∑ 2 4 Suku dengan dieliminasi karena . Oleh karena itu, fungsi pada persamaan 2.4 dapat menjadi : ∑ Karena maka bentuk dapat difaktorkan menjadi : Misalkan maka 2.5 dengan adalah fungsi polinomial dengan derajat . Persamaan 2.5 disubstitusikan ke persamaan 2.4 menjadi : ∑ ∑ Perhatikan bahwa : ∑ ∑ Suku terjadi satu kali disaat dan . Jadi, adalah polinomial dengan derajat . terbukti Dari i dan ii, maka teorema 2.2 terbukti. QED Teorema 2.4 Meserve, 1959:139 Setiap fungsi polinomial berderajat memiliki pembuat nol bilangan kompleks yang tidak harus berbeda. Bukti : Pembuktian teorema ini menggunakan kontradiksi. Kasus 1 : Diketahui fungsi polinomial berderajat 0. Misal adalah pembuat nol dari fungsi . Berdasarkan definisi 2.4 yaitu tentang definisi fungsi polinomial, fungsi polinomial merupakan fungsi konstan dengan konstanta bukan nol, sehigga fungsi dapat dituliskan dalam bentuk : dengan . Diperhatikan dari bentuk fungsi bahwa untuk semua nilai , berlaku . Artinya fungsi tidak memiliki pembuat nol fungsi atau dengan kata lain fungsi memiliki 0 pembuat nol. Hal ini bersifat kontradiksi dengan asumsi yang dimiliki yaitu fungsi memiliki 1 pembuat nol yaitu . Kasus 2 : Misal diketahui fungsi polinomial berderajat , dan adalah pembuat nol dari yang berjumlah . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Berdasarkan teorema 2.1 dan 2.2, maka : untuk suatu polinomial yang derajatnya 1 kurangnya dari derajat dan mempunyai nilai pembuat nol, misal . untuk suatu polinomial yang derajatnya 2 kurangnya dari derajat dan mempunyai nilai pembuat nol, misal . untuk satu polinomial yang derajatnya 3 kurangnya dari derajat dan mempunyai nilai pembuat nol, misal . . . . untuk suatu polinomial yang derajatnya kurangnya dari derajat dan mempunyai nilai pembuat nol, misal . Jika maka . Oleh karena itu haruslah adalah fungsi konstan. Misal . Asumsi yang sudah dibuat adalah masih ada pembuat nol fungsi yaitu . juga merupakan pembuat nol dari , maka : . Persamaan tersebut dapat terjadi jika dan hanya jika , yang mengakibatkan . Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa adalah polinomial berderajat . Jadi, fungsi polinomial berderajat memiliki bilangan real pembuat nol fungsi. Jadi, teorema 2.4 terbukti. QED Teorema 2.5 Aufmann, 1990:234 Jika √ adalah pembuat nol dari fungsi polinomial dengan koefisien bilangan real, maka konjugatnya yaitu juga merupakan pembuat nol dari fungsi polinomial Bukti : Misal adalah pembuat nol dari fungsi P atau . Akan ditunjukkan ̅ adalah pembuat nol juga atau ̅ 2.6 dengan adalah bilangan real. Karena bilangan kompleks yang ada di ruas kiri sama dengan bilangan kompleks di ruas kanan pada persamaan 2.6, maka berlaku juga untuk konjugatnya. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅ sifat ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅ ̅̅̅ sifat ̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ sifat ̅̅̅ ̅ dan konjugat dari bilangan real adalah bilangan itu sendiri ̅ ̅ ̅ 2.7 Dari persamaan 2.7 dapat ditulis sebagai ̅ . Teorema 2.5 terbukti. QED PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Teorema 2.6 Loveless, 2011 Setiap fungsi polinomial berderajat n memiliki paling banyak pembuat nol bilangan real. Bukti : Pembuktian teorema ini menggunakan induksi matematika. Misalkan adalah fungsi polinomial berderajat dalam variabel . i Langkah Dasar : Jika , maka fungsi adalah fungsi konstan. Berdasarkan definisi 2.4, maka fungsi dengan dapat dinyatakan dalam bentuk : dengan . Jelas bahwa nilai untuk sembarang nilai , sehingga fungsi tidak mempunyai nilai pembuat nol. Jadi, untuk tidak ada nilai pembuat nol dari fungsi . ii Diasumsikan benar untuk bahwa setiap polinomial berderajat memiliki paling banyak pembuat nol bilangan real untuk suatu bilangan bulat dengan . iii Akan dibuktikan untuk berlaku fungsi polinomial berderajat mempunyai paling banyak pembuat nol bilangan real. Misalkan fungsi berderajat . Jika fungsi f tidak memiliki pembuat nol, maka jelas 0 . Jika fungsi memiliki paling tidak satu pembuat nol, misalkan a adalah pembuat nol dari fungsi f, maka berdasarkan teorema 2.3 dapat dituliskan dengan adalah suatu polinomial yang berderajat . Berdasarkan asumsi untuk , artinya fungsi memiliki paling banyak pembuat nol bilangan real. Sedangkan, a adalah pembuat nol dari fungsi f. Jadi, memiliki paling banyak pembuat nol bilangan real. Dari i,ii,iii maka dapat disimpulkan untuk setiap polinomial berderajat memiliki paling banyak pembual nol bilangan real. Teorema 2.6 terbukti. QED Pembuat nol fungsi polinomial atau akar-akar dari persamaan polinomial dapat berupa bilangan kompleks atau bilangan real. Teorema 2.4 menunjukkan jika fungsi polinomial mempunyai akar kompleks, maka akar tersebut selalu berpasangan dengan konjugatnya, sehingga setiap fungsi polinomial memiliki akar-akar kompleks yang berpasangan. Pembuat nol real dapat menentukan apakah grafik fungsi polinomial memotong atau menyinggung sumbu X. Sedangkan pembuat nol yang PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI memuat bilangan imajiner tidak membuat grafik fungsi memotong dan meyinggung sumbu X. Splitzbart dan Bardell, 1958:160. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mencari pembuat nol dari fungsi polinomial atau akar-akar persamaan polinomial. Berdasarkan teorema 2.4, fungsi linear atau fungsi polinomial berderajat 1 memiliki 1 nilai pembuat nol real. Operasi aljabar sederhana dapat digunakan untuk menentukan akar dari fungsi linear. Contoh 2.2 : Pembuat nol dari dapat ditentukan dengan cara : Fungsi kuadrat atau fungsi polinomial berderajat 2 memiliki 2 nilai pembuat nol. Metode yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat adalah metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna atau metode abc metode dengan formula fungsi kuadrat. Metode abc atau menggunakan formula kuadratik dapat diselesaikan dengan formula berikut. Swokowski dan Cole, 2004: 84 Jika maka : √ 2.8 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Contoh 2.3 : Penentuan pembuat nol dari dapat dilakukan dengan cara : 1. Metode Pemfaktoran atau 2. Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna √ atau atau 3. Metode abc atau menggunakan formula kuadrat Quadratic Formula √ √ √ √ atau atau Pembuat nol dari fungsi polinomial berderajat 3 atau yang lebih tinggi lagi dapat ditentukan dengan metode Horner dan beberapa metode secara numerik. Metode Horner merupakan metode yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar fungsi polinomial secara analitis. Metode Horner menggunakan konsep pembagian fungsi polinomial dengan nilai- nilai yang diduga sebagai faktornya. Namun, tidak semua bentuk fungsi polinomial dapat diselesaikan dengan mudah oleh metode Horner. Oleh karena itu, ada beberapa metode yang dapat digunakan secara numerik untuk menentukan akar-akar dari fungsi polinomial. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

D. Diskriminan

Persamaan kuadrat memiliki nilai diskriminan discriminant . Nilai diskriminan menentukan banyaknya pembuat nol fungsi kuadrat yang real atau akar real dari persamaan kuadrat. Formula kuadrat The Quadratic Formula untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat berbentuk : √ Bentuk disebut sebagai diskriminan dari formula kuadrat Quadratic Formula . Diskriminan sering dilambangkan dengan notasi . Swokowski dan Cole, 2004: 85 Teorema 2.7 Swokowski dan Cole, 2004: 85 Diketahui persamaan kuadrat mempunyai diskriminan . i Jika , maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda. ii Jika , maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar, artinya persamaan kuadrat hanya memiliki 1 akar real. iii Jika , maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar kompoleks yang berbeda. Bukti : Dari persamaan 2.8 dan definisi diskriminan maka persamaan 2.8 dapat dituliskan menjadi : √ 2.9 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI i Misal , maka persamaan 2.9 menjadi : √ √ dan √ karena , maka √ diperoleh 2 nilai real yang berbeda. terbukti ii Misal , maka persamaan 2.9 menjadi : √ dan dan diperoleh 2 nilai yang sama, yaitu . terbukti iii Misal , maka persamaan 2.9 menjadi : √ karena , maka √ √ dan √ diperoleh 2 nilai x yang merupakan bilangan kompleks. terbukti Dari i, ii, iii maka teorema 2.7 terbukti. QED Berdasarkan teorema 2.7 yang berkaitan dengan diskriminan, berakibat bahwa nilai diskriminan menentukan kedudukan akar-akar persamaan kuadrat terhadap sumbu X dalam grafik fungsi kuadrat. Jika , maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di 2 titik. Jika , maka grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di 1 titik. Jika , maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

E. Nilai Ekstrem Fungsi Polinomial

Swokowski dan Cole 2004:249 dalam buku “ Fundamentals of College Algebra ” menyatakan bahwa meningkatnya derajat degree pada fungsi polinomial maka grafik fungsinya biasanya menjadi lebih rumit. Grafik fungsi polinomial berderajat tinggi berbentuk kurva mulus yang memiliki beberapa titik puncak high points and low points , seperti titik P, Q, R dan S pada gambar 2.12. Keempat titik tersebut dapat disebut sebagai titik balik atau turning points pada grafik. Setiap ordinat dari titik balik disebut nilai ekstrem lokal extremum dari fungsi polinomial. Pada setiap titik ekstrem lokal, fungsi mengalami perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi turun, atau sebaliknya. Gambar 2.12 Titik-Titik Puncak dari Fungsi Polinomial X Y