Pembuat Nol dari Fungsi

4.2 Bentuk 4.2 menunjukkan bahwa persamaan polinomal berderajat 4 dalam yang muncul pada 4.1 dapat diubah ke bentuk persamaan kuadrat dalam variabel . Misalkan , maka akar-akar dari persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat pada 2.8, sehingga : √ √ √ dan √ 4.3 Dari perhitungan di atas, akar-akar persamaan kuadrat bergantung pada nilai diskriminan dan koefisien . Berikut adalah kemungkinan akar-akar persamaan kuadrat ditinjau dari nilai diskriminannya. 1. Kasus Jika nilai , maka . Dalam kasus , terdapat beberapa kemungkinan juga untuk nilai dan . a. Kasus 1 : dan keduanya positif dan Perhatikan bahwa , dimana untuk setiap . Diketahui dan , maka : √ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI √ Jadi, persamaan polinomial memiliki 4 akar real yang berbeda. Jika persamaan polinomial memiliki 4 akar real yang berbeda, maka fungsi memiliki 5 nilai pembuat nol real yang berbeda yaitu √ , √ , √ , √ dan . b. Kasus 2 : dan keduanya berlainan tanda Kemungkinan yang terjadi pada kasus 2 adalah nilai dan keduanya berlainan tanda, artinya salah satunya nilai dari atau bernilai positif dan lainnya bernilai negatif. Pada kasus berlaku √ sehingga : √ √ √ √ √ √ Perhatikan bahwa √ √ , maka : √ √ √ √ √ √ √ √ 4.4 Jadi, pada kasus nilai dan berlainan tanda, kondisi yang terjadi adalah dan karena . Diketahui dan , maka : √ , √ , Jadi, persamaan polinomial memiliki 2 akar real yang berbeda. Jika persamaan polinomial memiliki 2 akar real yang berbeda, maka fungsi memiliki 3 nilai pembuat nol real yang berbeda yaitu √ , √ dan . c. Kasus 3 : dan Diketahui dan , maka : √ , √ , Jadi, persamaan polinomial memiliki 0 akar real yang berbeda karena akar-akar persamaan polinomialnya merupakan bilangan kompleks. Jika persamaan polinomial memiliki 0 akar real, maka fungsi memiliki 1 nilai pembuat nol real yaitu . 2. Kasus Jika nilai , maka : √ √ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Berdasarkan perhitungan di atas, diperoleh bahwa . Jika diperhatikan untuk kasus , akar-akar persamaan kuadrat hanya bergantung pada nilai . Pada kasus ini terdapat 2 kemungkinan nilai dari akar-akar persamaan kuadrat . Misalkan a. Kasus 4 : Diketahui , maka √ √ , Jadi, persamaan polinomial memiliki 2 akar real yang berbeda. Jika persamaan polinomial memiliki 2 akar real yang berbeda, maka fungsi memiliki 3 nilai pembuat nol real yang berbeda yaitu √ , √ dan . b. Kasus 5 : Diketahui , maka √ √ , Jadi, persamaan polinomial memiliki 0 akar real. Jika persamaan polinomial memiliki 0 akar real yang berbeda, maka fungsi memiliki 1 nilai pembuat nol real yaitu . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 3. Kasus Kasus 6 : Jika nilai , maka . dan merupakan bilangan kompleks, karena memuat bilangan imajiner. Jadi, persamaan polinomial memiliki 0 akar real. Jika persamaan polinomial memiliki 0 akar real yang berbeda, maka fungsi memiliki 1 nilai pembuat nol real yaitu . Proses menentukan pembuat nol dari fungsi juga dilakukan dengan menggunakan bantuan program MATLAB. Program yang digunakan untuk menentukan pembuat nol dari fungsi merupakan program lanjutan dari proses yang sebelumnya sudah dilakukan yaitu proses inisiasi, uji simetris dan proses translasi fungsi menjadi fungsi . Hasil perhitungan dari program yang sudah dijalankan sebelumnya, pada M-file inisiasi_dan_uji_simetris, masih digunakan dalam proses menentukan pembuat nol dari fungsi . Berikut adalah algoritma dalam mencari pembuat nol dari fungsi yang merupakan program lanjutan yang masih termuat dalam M_file lanjut_translasi : Pencarian pembuat nol dari fungsi h selain x=0 Disk=c12-4a1e1 c1,a1 dan e1 telah didefinisikan pada proses sebelumnya Akar-akar dari persamaan r p1=-c1+sqrtDisk2a1; p2=-c1-sqrtDisk2a1; Pembuat nol dari fungsi h selain 0 K=[1 0 -p1]; L=[1 0 -p2]; Pengurutan nilai pembuat nol dari fungsi h akar1=sortrootsK akar2=sortrootsL

B. Titik Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial Ditinjau dari Pembuat Nol

Fungsi Setelah menentukan nilai pembuat nol dari fungsi , proses selanjutnya adalah menganalisis banyaknya nilai ekstrem lokal yang dimiliki fungsi , berdasarkan banyaknya nilai pembuat nol real dari fungsi . Fungsi merupakan fungsi polinomial berderajat 5, maka fungsi memiliki paling banyak 4 nilai ekstrem lokal atau paling banyak 4 titik balik turning points . Fungsi merupakan fungsi ganjil, yang artinya grafik fungsi simetris terhadap titik O0,0. Berdasarkan sifat simetris pada fungsi ganjil, banyaknya nilai ekstrem lokal pada sama dengan banyaknya nilai ekstrem lokal pada . Analisis banyaknya nilai ekstrem lokal yang dimiliki oleh fungsi ditinjau dari 6 kasus yang menggambarkan kemungkinan-kemungkinan nilai pembuat nol fungsi yang sudah dibahas pada sub bab sebelumnya. 1. Kasus a. Kasus 1 : Pada kasus 1, diskriminan dari persamaan kuadrat bernilai positif dan fungsi memiliki 5 nilai pembuat nol real yang berbeda yaitu √ , √ , √ , √ dan . Perhatikan bahwa , , , maka nilai-nilai pembuat nol tersebut dapat diurutkan menjadi : √ √ √ √ Dari kelima pembuat nol real tersebut dapat dibuat selang atau interval dengan menggunakan batas atas dan batas bawah dari selang adalah 2 pembuat nol yang berdekatan. Oleh karena itu, selang yang terbentuk dari 2 pembuat nol yang berdekatan adalah [ √ √ ], [ √ ], [ √ ], dan [√ √ ]. Berdasarkan percobaan yang dilakukan pada beberapa contoh fungsi yang memenuhi kondisi untuk kasus 1, dengan melihat grafik fungsi, pada [ √ √ ], [ √ ], [ √ ], dan [√ √ ] memuat 1 nilai ekstrem lokal saja. Berikut adalah grafik fungsi dari hasil dari percobaan yang dilakukan, yaitu grafik fungsi yang memenuhi kasus 1 : Berdasarkan hasil percobaan di atas, diduga pada [ √ √ ], [ √ ], [ √ ], dan [√ √ ] hanya memuat 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi . Hal tersebut akan dibuktikan secara matematis dengan uraian di bawah ini : Gambar 4.1. Grafik fungsi Gambar 4.2. Grafik fungsi Akan dibuktikan setiap selang yang terbentuk dari 2 nilai pembuat nol fungsi yang berdekatan, yaitu hanya terdapat 1 nilai ekstrem lokal. Bukti : Pembuktian menggunakan kontradiksi. 1 Asumsi : ada diantara selang yang terbentuk yaitu [ √ √ ], [ √ ], [ √ ], dan [√ √ ], tidak memuat nilai ekstrem lokal. Hal ini tentu bersifat kontradiksi dengan teorema yang telah dibuktian pada teorema 2.9 yang mengatakan bahwa diantara 2 pembuat nol fungsi polinomial terdapat minimal 1 nilai ekstrem lokal atau 1 titik balik. Jadi, setiap selang yang terbentuk yaitu [ √ √ ], [ √ ], [ √ ], dan [√ √ ] memuat nilai ekstrem lokal. 2 Asumsi : ada diantara selang yang terbentuk yaitu [ √ √ ], [ √ ], [ √ ], dan [√ √ ], memuat lebih dari 1 nilai ekstrem lokal. Artinya, terdapat lebih dari 4 nilai ekstrem lokal yang dimiliki fungsi . Hal ini kontradiksi dengan sifat fungsi polinomial, yaitu fungsi memiliki paling banyak 4 nilai ekstrem lokal atau paling banyak 4 titik balik. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI