Polinomial Fungsi Polinomial LANDASAN TEORI
Misal diketahui dan
maka fungsi disebut fungsi real dan dapat dilambangkan dengan : Clapham, 1990: 148
Penyajian fungsi dapat berupa himpunan pasangan terurut, rumus fungsi, diagram panah atau grafik fungsi Aufmann, 1990: 148.
Fungsi dapat diklasifikasikan menjadi fungsi ganjil
odd function
, fungsi genap
even function
, atau bukan keduanya.
Definisi 2.2 Aufmann,190:150
Fungsi adalah fungsi genap jika untuk setiap anggota
domain .
Fungsi adalah fungsi ganjil jika untuk setiap anggota
domain .
Contoh 2.1 :
1. Diperhatikan bahwa :
Fungsi memenuhi , maka fungsi adalah fungsi
genap. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2. Diperhatikan bahwa :
Fungsi memenuhi , maka fungsi adalah fungsi
ganjil. 3.
Diperhatikan bahwa :
Pada bentuk di atas, fungsi tidak memenuhi bentuk
dan , maka fungsi bukan fungsi genap dan bukan
fungsi genap. Ciri geometris dari fungsi genap adalah grafik fungsinya simetris
terhadap sumbu Y. Sumbu Y menjadi sumbu simetri dari grafik fungsi genap. Artinya, jika grafik fungsi telah diperoleh untuk
maka grafik secara
keseluruhan dapat
digambarkan secara
mudah dengan
mencerminkan terhadap sumbu Y. Sedangkan, ciri geometris dari fungsi ganjil adalah grafik fungsinya simetris terhadap titik asal O0,0. Titik
O0,0 merupakan titik simetri putar
rotational symmetry
dari grafik fungsi ganjil. Artinya, jika grafik fungsi telah diperoleh untuk
maka PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
grafik secara keseluruhan dapat diperoleh dengan merotasikan sebesar 8 dengan pusat rotasi titik O0,0. Stewart, 2009: 28
Menurut Carico 1984:123, jika dilihat secara grafik, fungsi genap simetris terhadap sumbu Y. Grafik fungsi
simetris terhadap sumbu Y artinya jika titik
termuat dalam grafik maka juga termuat dalam grafik. Sedangkan fungsi ganjil simetris terhadap titik O0,0, atau
yang sering disebut titik asal
origin
. Grafk fungsi simetris terhadap
titik O0,0 artinya jika titik termuat dalam grafik maka titik
juga termuat dalam grafik.
Gambar 2.1 Grafik Fungsi Genap
Even Function
Gambar 2.2 Grafik Fungsi Ganjil
Odd Function
Sumber : Calculus Stewart, 2009:27
Pada beberapa grafik fungsi polinomial terlihat seperti fungsi genap tetapi sumbu simetrinya bukan sumbu Y. Ada pula beberapa grafik
fungsi polinomial terlihat seperti fungsi ganjil tetapi titik simetrinya bukan pada O0,0 Goehle dan Kobayasi, 2013.
Pada gambar 2.3, grafik fungsi terlihat simetris dengan titik simetri putar
di . Sedangkan pada gambar 2.4, grafik fungsi terlihat
simetris dengan sumbu simetri .
Goehle dan Kobayasi 2013 mendefinisikan fungsi polinomial berderajat
adalah fungsi ganjil di jika fungsi memiliki titik simetri putar di
untuk bilangan ganjil. Sedangkan, fungsi genap di jika fungsi
memiliki sumbu simetri di untuk bilangan genap. Selanjutnya,
disebut sebagai pusat simetri dari fungsi polinomial. Fungsi memiliki pusat simetri berupa sumbu simetri artinya jika titik
Gambar 2.4 Grafik fungsi
8
Gambar 2.3 Grafik fungsi
termuat dalam grafik maka titik juga termuat dalam grafik. Sedangkan, fungsi
memiliki pusat simetri berupa titik simetri putar
, dengan adalah nilai fungsi dari , artinya jika titik termuat dalam grafik maka titik
juga termuat dalam grafik.
Grafik sebuah fungsi dapat berupa garis lurus ataupun kurva lengkung. Salah satu hal yang penting dalam membuat sketsa grafik fungsi
adalah mengetahui fungsi naik atau fungsi turun atau fungsi konstan. Aufmann 1990:157 menjelaskan tentang fungsi naik
increasing function
, fungsi turun
decreasing function
dan fungsi konstan
constant function
sebagai berikut :
Definisi 2.3 Aufmann,1990:157
Jika a dan b adalah anggota dalam interval I baik interval tertutup ataupun terbuka yang merupakan himpunan bagian dari domain fungsi
, maka : i
fungsi naik pada I jika untuk setiap ii
fungsi turun pada I jika untuk setiap iii
fungsi konstan pada I jika untuk setiap dan anggota I.
Gambar 2.5a Fungsi
Naik
Gambar 2.5b. Fungsi
Turun
Gambar 2.5c. Fungsi
Konstan
Definisi 2.4 Suryawan, 2016: 55
Fungsi polinomial adalah sebuah fungsi P: dalam variabel yang
berbentuk :
dengan adalah konstanta, yang disebut koefisien
polinomal, dan adalah bilangan bulat nonnegatif.
Domain atau daerah asal untuk semua fungsi polinomial real adalah
. Fungsi polinomial merupakan fungsi yang terdefinisi dan kontinu untuk semua nilai
Stewart, 2009: 40. Selain itu, setiap fungsi polinomial memiliki grafik fungsi yang berbentuk kurva mulus dan
kontinu
smooth continuous curves
. Sebuah kurva mulus adalah kurva yang tidak memiliki ujung yang lancip. Sedangkan, kurva yang kontinu
artinya kurva tidak memiliki lubang atau lompatan. Swokowski dan Cole, 2004: 248
Gambar 2.6 Grafik fungsi yang mulus dan kontinu smooth continuous curve
Gambar 2.7 Grafik fungsi yang tidak
kontinu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Grafik fungsi polinomial berderajat 0 atau fungsi konstan berbentuk garis lurus horisontal. Sedangkan grafik fungsi polinomial
berderajat 1 atau fungsi linear berbentuk garis lurus atau linear dengan kemiringan tidak nol. Grafik dari fungsi polinomial berderajat 2 atau
fungsi kuadrat selalu berbentuk parabola James Stewart, 2009: 40.
Definisi 2.5 Swokowski dan Cole, 2004: 260
Sebuah polinomial dibagi oleh polinomial , dengan
artinya dapat ditemukan polinomial dan sedemikian sehingga :
dengan kurang dari . disebut sebagai pembagi dan
adalah sisa. Definisi 2.5 sering disebut sebagai definisi dari algoritma pembagian pada
polinomial atau
division algorithm for polynomials
.
Gambar 2.8 Grafik fungsi yang tidak mulus
Sumber : courses.lumenlearning.com
Teorema 2.1 Spitzbart Bardell, 1958: 75
Jika sebuah polinomial dibagi dengan , dengan bilangan
sembarang hingga sisanya berupa konstanta, maka sisanya adalah .
Bukti :
Misalkan hasil bagi oleh adalah dan sisa pembagiannya
adalah konstanta , akan ditunjukkan bahwa .
Berdasarkan definisi 2.3, maka bentuk fungsi polinomial dapat
dituliskan menjadi :
Untuk , maka :
Teorema 2.1 terbukti. QED
Menurut Aufmann 1990, bentuk grafik dari fungsi polinomial dapat diperkirakan dengan
leading term test
atau sering disebut dengan sifat
the end behavior
, yaitu dengan mengetahui sejauh mana nilai fungsi bergerak naik atau turun dari kiri ke kanan. Jika diketahui fungsi
polinomial berderajat ,
, maka
disebut
leading term
dan disebut
leading coefficient
dari fungsi
.
Leading term test
atau sifat dari
the end behavior
dapat memperkirakan nilai fungsi
hanya dengan melihat
leading term
dan
leading coefficient
dari fungsi .
Leading term
adalah suku yang memuat PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
pangkat tertinggi dari fungsi polinomial , artinya
mendominasi fungsi
. Diperhatikan bahwa untuk dengan yang semakin besar, maka
juga akan bertambah semakin besar. Oleh karena itu, grafik fungsi polinomial
dengan sebagai
leading term
memiliki sifat sebagai berikut :
� bilangan genap � bilangan ganjil
�
Jika maka
Jika maka
Grafik fungsi semakin naik ke
kiri dan semakin naik ke kanan up to left and up to right.
Jika maka
Jika maka
Grafik fungsi semakin turun ke
kiri dan semakin naik ke kanan down to left and up to right.
�
Jika maka
Jika maka
Grafik fungsi semakin turun ke
kiri dan semakin turun ke kanan down to left and down to right.
Jika maka
Jika maka
Grafik fungsi semakin naik ke
kiri dan semakin turun ke kanan up to left and down to right.
Tabel 2.2 Sifat
The End Behavior of Polynomials
Aufmann, 1990 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Berikut adalah gambar yang mengilustrasikan sifat
the end behavior of polynomials
:
Gambar 2.9 Sifat
The End Behavior of Polynomials
untuk bilangan ganjil
�
Up to right
Down to left
Down to right
Up to left
�
�
bilangan ganjil
Up to right
Up to left
�
Down to right
Down to left
�
�
bilangan genap
Gambar 2.10 Sifat
The End Behavior of Polynomials
untuk bilangan genap