E. Syarat Optimalitas Masalah Tidak Berkendala
Berikut akan didefinisikan syarat perlu dan syarat cukup tingkat pertama sebagai syarat optimalitas untuk suatu masalah tidak berkendala.
Definisi 2.5.1
Perhatikan masalah meminimalkan
x f
pada
n
E , dan misalkan
n
E ∈
x
. a. Jika
x x
f f
≤
untuk semua
n
E ∈
x , maka
x
dinamakan suatu peminimum global
. b. Jika ada suatu persekitaran
ε
−
x
ε
N
sekitar
x
sedemikian hingga
x x
f f
≤
untuk semua
x x
ε
N ∈
, maka
x
dinamakan suatu peminimum lokal
. c. jika untuk semua
x x
ε
N ∈
,
x x
≠
, untuk ε
, maka
x
dinamakan
suatu peminimum lokal tegas.
Suatu peminimum global juga merupakan peminimum lokal.
Teorema 2.5.2
Misalkan bahwa terdiferensial di
E E
f
n
→ :
x
. Jika ada sebuah vektor sedemikian hingga
n
E ∈
d
∇
d x
t
f maka terdapat
δ sedemikian sehingga
x d
x
f f
+
λ untuk setiap
δ λ
, ∈
. Maka merupakan suatu arah turun
descent direction dari di
d
f x
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bukti :
Dari Definisi 2.3.7 maka diperoleh :
d x
d x
x d
x
λ α
λ λ
λ
; +
∇ +
= +
t
f f
f
2.5.1 dengan
; →
d x
λ α
untuk
→
λ .
Selanjutnya persamaan 2.5.1 dibagi dengan λ dimana
≠
λ , diperoleh :
d x
d x
x d
x
λ α
λ λ
; +
∇ =
− +
t
f f
f
Karena ∇
d x
t
f dan
; →
d x
λ α
untuk
→
λ maka terdapat suatu
δ sedemikian sehingga
; +
∇
d x
d x
λ α
t
f
untuk setiap δ
λ
, ∈
. Sehingga terbukti
x d
x
f f
+
λ .
Akibat 2.5.3
Misalkan bahwa terdiferensial di
E E
f
n
→ :
x
. Jika
x
peminimum lokal fungsi maka
f
x
= ∇f
.
Bukti :
Dibuktikan dengan kontradiksi . Andaikan bahwa
x
≠ ∇f
.
Misalkan
x d
f −∇
=
, didapatkan
2
∇ =
∇
x d
x f
f
t
. Dari Teorema 2.5.2, terdapat suatu
δ sedemikian sehingga
x d
x f
f +
λ untuk
δ λ
, ∈
. Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa
x
merupakan suatu peminimum lokal. Karena itu pengandaian salah, dan haruslah
x
= ∇f
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Syarat perlu di atas menggunakan vektor gradien yang komponen-komponennya merupakan turunan parsial pertama dari
, sehingga disebut sebagai syarat perlu tingkat pertama.
f
Teorema 2.5.4
Misalkan bahwa terdiferensial dua kali di
E E
f
n
→ :
x
. Jika
x
adalah peminimum lokal, maka
x
= ∇f
dan
x H
semidefinit positif. Teorema ini disebut sebagai Teorema syarat perlu tingkat kedua.
Bukti :
Dari Definisi 2.3.8, maka diperoleh :
d x
d d
x H
d d
x x
d x
2
λ α
λ λ
λ λ
; 2
1
2 2
+ +
∇ +
= +
t t
f f
f
2.5.2 dimana
; →
d x
λ α
untuk
→
λ . Karena
x
peminimum lokal, maka dari Akibat 2.5.3 bahwa
x
= ∇f
. Selanjutnya pertidaksamaan 2.5.2 dibagi
dengan menghasilkan :
2
λ
d x
d d
x H
d x
d x
λ α
λ λ
; 2
1
2 2
+ =
− +
t
f f
2.5.3 Karena
x
peminimum lokal,
x d
x f
f ≥
+
λ untuk
λ cukup besar. Maka pada
pertidaksamaan 2.5.3 jelas bahwa
; 2
1
2
≥ +
d x
d d
x H
d
λ α
t
untuk λ cukup
besar. Dengan pengambilan limit untuk
→
λ maka
≥
d x
H d
t
. Karena itu maka
adalah semidefinit positif. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema 2.5.5
Misalkan merupakan pseudokonveks di
E E
f
n
→ :
x
. Titik
x
merupakan suatu peminimum global jika dan hanya jika
x
= ∇f
. Teorema ini adalah Teorema syarat cukup tingkat pertama.
Bukti :
Misalkan
x
adalah suatu peminimum global. Akan ditunjukkan bahwa
x
= ∇f
. Berdasarkan Akibat 2.5.3 bahwa jika
x
adalah peminimum lokal, maka
x
= ∇f
dan oleh karena suatu peminimum lokal sama dengan peminimum global maka terbukti bahwa
x
= ∇f
.
Misalkan bahwa
x
= ∇f
Akan ditunjukkan bahwa
x
merupakan suatu peminimum global. Karena
x
= ∇f
maka x
x x
− ∇
t
f untuk setiap
n
E ∈
x . Dengan
pseudokonveksitas dari di
f
x
maka diperoleh
x x
f f
≥
untuk setiap
n
E ∈
x .
Sehingga terbukti
x
merupakan suatu peminimum global. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
F. Teori Optimisasi
Kategori