Contoh 2.3.8
Misalkan . Diketahui
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
4 3
2 6
2 ,
x x
x x
x x
x x
f +
− −
+ =
t
, =
x
. Maka
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
+ −
= ∇
1 2
2 1
4 6
6 4
4 2
x x
x x
f x
dan .
6 4
4 4
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− −
=
x H
Sehingga : ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ −
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
=
2 1
2 1
2 1
2 1
6 4
4 4
, 2
1 6
, 2
, x
x x
x x
x x
x f
.
D. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks
Berikut akan diberikan definisi dari himpunan konveks dan fungsi konveks serta teorema-teorema yang berkaitan dengan fungsi konveks.
Definisi 2.4.1
Himpunan
K
di
n
R dikatakan konveks jika setiap garis penghubung antara kedua
titik yang ada di himpunan berada juga pada himpunan tersebut. Dengan kata lain, jika
dan ada di
1
x
2
x
K
, maka
2 1
1
x x
λ λ
− +
harus ada di
K
untuk setiap
[ ]
1 ,
∈
λ
.
Gambar 2.4.1 . Ilustrasi dari himpunan konveks dan tidak konveks
Contoh 2.4.1
Beberapa contoh himpunan konveks. 1.
{ }
2 2
2 2
1 2
1
4 :
, R
x x
x x
K ⊂
≤ +
=
Himpunan ini merepresentasikan titik yang berada di dalam lingkaran dengan pusat
dan radius 2 seperti pada gambar 2.4.2 ,
4
2 2
= + y
x
Gambar 2.4.2 Lingkaran
4
2 2
2 1
= + x
x
2.
{ }
2 2
: ,
R x
y y
x K
⊂ ≥
=
Himpunan ini mempresentasikan semua titik yang berada di atas kurva seperti pada gambar 2.4.3
2
x y
=
Gambar 2.4.3 Parabola
2
x y
= PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.4.2
Misalkan , dimana
R K
f →
:
K
adalah himpunan konveks tidak kosong di
R
. Fungsi
dikatakan konveks pada
f K
jika
, 1
1
2 1
2 1
x x
x x
f f
f
λ λ
λ λ
− +
≤ −
+
untuk setiap dan
K ∈
2 1
, x x
1 ≤
≤
λ
.
Contoh 2.4.2
Buktikan bahwa adalah fungsi konveks
R x
e x
f
x
∈ = ,
Penyelesaian :
Ambil R
∈
2 1
, x x
maka dan
1
1 x
e f
=
x
2
2 x
e f
=
x
, dan
2 1
1 2
1
1
x x
e f
λ λ
λ λ
− +
= −
+
x x
2 1
1 x
x
e e
λ λ
−
• =
. Sedangkan,
2 1
1 1
2 1
x x
e e
f f
λ λ
λ λ
− +
= −
+
x x
. Jadi untuk setiap
dan
R ∈
2 1
, x x
1 ≤
≤
λ diperoleh :
2 1
2 1
1 1
x x
x x
f f
f
λ λ
λ λ
− +
≤ −
+
. Maka terbukti
adalah fungsi konveks.
x
e x
f =
Teorema 2.4.3
Jika suatu fungsi adalah konveks maka, untuk setiap dua titik
dan memenuhi
R K
f →
:
1
x
2
x
1 2
1 1
2
x x
x x
x
− ∇
+ ≥
t
f f
f
Bukti :
Misalkan adalah konveks, maka berdasarkan definisi 2.4.2
x f
1 2
1 2
1 1
x x
x x
f f
f
λ λ
λ λ
− +
≤ −
+
atau dapat ditulis sebagai :
1 2
1 1
2 1
x x
x x
x x
f f
f f
− +
≤ −
+
λ λ
2.4.1 Pertidaksamaan 2.4.1 dapat dibentuk menjadi :
1 2
1 1
2 1
x x
x x
x x
− +
≥ −
+
λ λ
f f
f f
1 1
2 1
1 2
x x
x x
x x
f f
f f
− −
+ ≥
− ⇔
λ λ
λ λ
1 1
2 1
1 2
x x
x x
x x
f f
f f
− −
+ ≥
−
Pada ruas kanan penyebutnya dikalikan dengan
1 2
x x
−
sehingga menjadi :
1 2
1 2
1 1
2 1
1 2
x x
x x
x x
x x
x x
− ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ −
− −
+ ≥
− λ
λ f
f f
f 2.4.2
Karena definisi , maka pertidaksamaan 2.4.2 menjadi :
1 2
1 1
1 2
x x
x x
x x
x x
− ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ Δ
− Δ
+ ≥
− f
f f
f
2.4.3
Dengan pengambilan limit untuk
∞ →
Δx
, sehingga pertidaksamaan 2.4.3 menjadi :
1 2
1 1
2
x x
x x
x
− ∇
+ ≥
t
f f
f
Teorema 2.4.4
Suatu fungsi adalah konveks jika matriks Hessian
R K
f →
: x
H
adalah semidefinit positif.
Bukti :
Dari Teorema Taylor bahwa :
h x
x x
x h
x
θ 2
1
2 1
1 1
+ =
∂ ∂
∂ +
∂ ∂
+ =
+
∑∑ ∑
= =
= j
i n
i n
j j
i i
n i
i
x x
f h
h x
f h
f f
2.4.4
dimana
1 θ
. Misalkan
, , dan
1
x x
=
2
x h
x
= +
1 2
x x
h
− =
, sehingga pertidaksamaan 2.4.4 menjadi :
{ }
1 2
1 2
1 1
2 1
2 1
1 2
θ 2
1
x x
x x
x H
x x
x x
x x
x
− −
+ −
+ −
∇ +
=
t t
f f
f
2.4.5 Dapat dilihat bahwa untuk memenuhi Teorema 2.4.3 dan karena
konveks, maka pertidaksamaan 2.4.5 harus memberikan
x f
x H
semidefinit positif. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 2.4.3
Misalkan fungsi dan
2
: R
K f
→
2 2
2 2
1 2
1
4 3
, R
x x
x x
f ∈
+ =
. Buktikan bahwa adalah fungsi konveks untuk setiap nilai
2 2
2 1
2 1
4 3
, x
x x
x f
+ =
.
Penyelesaian :
Berdasarkan Teorema 2.4.4 maka cukup menunjukkan bahwa
x H
semidefinit positif,
48 8
6
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2
= ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ =
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= x
f x
x f
x x
f x
f
x H
Jadi terbukti adalah fungsi konveks untuk setiap nilai
2 2
2 1
2 1
4 3
, x
x x
x f
+ =
x
.
Definisi 2.4.5
Misalkan
K
adalah himpunan terbuka tidak kosong di
n
E , dan misalkan terdiferensial pada
E K
f →
: K
. Fungsi dikatakan pseudokonveks jika
untuk setiap dengan
f K
∈
2 1
, x x
1 2
1
≥ −
∇
x x
x
t
f
, maka atau
ekuivalen dengan pernyataan bahwa jika
1 2
x x
f f
≥
1 2
x x
f f
, maka
.
1 2
1
− ∇
x x
x
t
f
Definisi 2.4.6 Pseudokonveksitas
di
x
adalah : fungsi dikatakan pseudokonveks pada
f K
∈
x
jika
1 2
1
≥ −
∇
x x
x
t
f
untuk
K ∈
x
maka
x x
f f
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
E. Syarat Optimalitas Masalah Tidak Berkendala
