F. Teori Optimisasi
Secara umum masalah optimisasi dibagi menjadi dua bagian yakni, optimisasi berkendala dan optimisasi tidak berkendala :
1. Bentuk umum masalah optimisasi berkendala Minimalkan
x
f
dengan kendala m
i g
i
, ,
2 ,
1 ,
L =
≤
x
l j
h
j
, ,
2 ,
1 ,
L =
=
x
dengan :
x = Vektor di
n
E = Fungsi obyektif
x f
x
i
g = Kendala berupa pertidaksamaan sebanyak
m
= Kendala berupa persamaan sebanyak
x
j
h l
2.6.1
2. Bentuk umum masalah optimisasi tidak berkendala Minimalkan
x f
Jika fungsi obyektif atau fungsi kendala dalam persamaan 2.6.1 adalah nonlinear maka masalah tersebut dinamakan masalah program nonlinear atau
biasa disebut sebagai masalah optimisasi nonlinear berkendala. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.6.1
Bentuk umum masalah optimisasi nonlinear berkendala adalah : Minimalkan
x f
dengan kendala m
i g
i
, ,
2 ,
1 untuk
, L
= ≤
x
l j
h
j
, ,
2 ,
1 untuk
, L
= =
x
Dengan adalah fungsi-fungsi kontinu pada
l m
h h
g g
f ,
, ,
, ,
1 1
K K
n
E ,
X
adalah subhimpunan dari
n
E dan
n
E ∈
x
.
Definisi 2.6.2
Suatu vektor
X ∈
x
disebut penyelesaian layak masalah optimisasi nonlinear
berkendala jika memenuhi semua kendala.
Definisi 2.6.3 Himpunan dari semua penyelesaian layak disebut daerah layak.
Definisi 2.6.4 Titik layak
adalah titik yang menjadi anggota daerah layak.
Definisi 2.6.5
Titik layak
x
disebut penyelesaian optimal jika
x x
f f
≥
untuk setiap titik layak .
x
G. Metode Newton
Metode Newton merupakan salah satu metode yang paling terkenal dan sering digunakan dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan nonlinear. Metode
ini merupakan perkembangan dari metode Newton-Raphson dan metode Titik- Tetap yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Syarat dalam
menyelesaikan sistem persamaan nonlinear dengan metode Newton adalah sebagai berikut :
a. Sistem persamaan nonlinear yang dimaksud adalah sistem persamaan non- linear yang terdiri dari n persamaan dan n variabel.
b. Semua fungsi yang terlibat dalam sistem persamaan nonlinear harus terdiferensial.
Metode Newton adalah suatu algoritma iterasi fungsional yang membangkitkan
1 1
1 1
F J
− −
− −
− =
k k
k k
x x
x x
dengan dan
adalah matriks Jacobi dari sistem persamaan nonlinear. Metode Newton memiliki
konvergensi yang bersifat q-kuadratik dengan relasi kesalahan
1 ≥
k x
J
k k
e e
≤
+1
Metode Newton sangat populer karena bentuk iterasinya yang sederhana. Metode Newton dapat juga digunakan untuk menyelesaikan masalah
optimisasi nonlinear tidak berkendala karena syarat dari optimisasi nonlinear adalah gradien dari fungsi obyektifnya sama dengan nol yang berarti bahwa, ada n
turunan dari setiap n variabel dari fungsi obyektifnya sama dengan nol yang merupakan sistem persamaan nonlinear.
Misalkan ada masalah optimisasi nonlinear tidak berkendala yakni : PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Minimalkan
n
x x
x f
, ,
,
2 1
K Selesaikan masalah optimisasi ini dengan menggunakan metode Newton.
Penyelesaian : Dengan menggunakan syarat perlu bahwa, jika fungsi
fungsi terdiferensial maka syarat perlu tingkat pertama adalah
f
x
= ∇f
. Sehingga dengan mencari gradien dari
n
x x
x f
, ,
,
2 1
K menghasilkan :
2 1
= ∂
∂ =
∂ ∂
= ∂
∂
n
x f
x f
x f
M 2.7.1
Kumpulan semua persamaan yang ada di 2.7.1 berbentuk sistem persamaan nonlinear. Kemudian setelah membentuk sistem persamaan nonlinear maka
masalah optimisasi tersebut dapat diselesaikan dengan metode Newton. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Diagram alir dari algoritma Metode Newton dalam menyelesaikan sistem persamaan nonlinear.
start
Nilai awal x Tol.error error
Iterasi maksimum N k=1
while k=N
y=-invjxfx
if normytol x
x=x+y k=k+1
end ya
tidak fx=fungsix
jx=jacobianx
Gambar 2.7.1 Diagram alir algoritma metode newton
BAB III METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR
Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode Fungsi Penalti Eksterior dalam menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala. Tetapi dalam
pembahasan ini penulis akan menjelaskan terlebih dahulu tentang konsep fungsi penalti dan interpretasi geometris fungsi penalti. Kemudian dilanjutkan mengenai
bentuk umum Fungsi Penalti Eksterior dan algoritma Metode Fungsi Penalti Eksterior serta contoh masalah yang diselesaikan dengan metode Fungsi Penalti
Eksterior dan diimplementasikan dengan bahasa pemrograman Matlab. Dan yang terakhir adalah konvergensi metode Fungsi Penalti Eksterior.
A. Konsep Fungsi Penalti
Salah satu cara untuk mengubah masalah optimisasi dengan kendala menjadi masalah optimisasi tanpa kendala adalah dengan menambahkan fungsi
penalti pada fungsi obyektif yang pada beberapa metode, bergantung pada nilai kendala-kendalanya. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal istilah penalti
terjadi karena adanya pelanggaran. Demikian juga dalam masalah optimisasi ini fungsi penalti terjadi karena ada pelanggaran terhadap fungsi obyektif, yaitu
dengan menghilangkan kendala pada permasalahan itu. Fungsi penalti dapat juga dipandang sebagai fungsi yang ditambahkan pada fungsi obyektif dengan
parameter penalti. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Kategori