BAB II TOPOLOGI DI
DAN TEORI OPTIMISASI
n
R
Dalam bab ini akan dibahas konsep ruang Euclid dan matriks, topologi di , fungsi kontinu dan fungsi terdiferensial, himpunan konveks dan fungsi
konveks, syarat optimalitas untuk masalah berkendala, teori optimisasi serta metode Newton yang nantinya akan digunakan untuk memahami metode Fungsi
Penalti Eksterior.
n
R
A. Ruang Euclid dan Matriks
Berikut akan didefinisikan mengenai hasilkali dalam Euclidean, ruang Euclid, transpose matriks, dan matriks semidefinit positif.
Definisi 2.1.1
Jika dan
n
u u
u ,
, ,
2 1
K =
u
n
v v
v K
, ,
2 1
=
v adalah vektor-vektor sebarang pada
, maka hasilkali dalam Euclid Euclidean inner product didefinisikan
sebagai
n
R
v u
.
n n
v u
v u
v u
+ +
+ =
K
2 2
1 1
.v u
.
Definisi 2.1.2
Ruang dengan operasi-operasi penjumlahan, perkalian skalar dan hasilkali
dalam Euclidean disebut ruang Euclid berdimensi n n-dimensional Euclidean
space atau Ruang Euclid yang diberi notasi
n
R
n
Ε . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.1.3
Jika adalah matriks
, maka transpose dari dinyatakan dengan
, didefinisikan sebagai matriks
A
n m
×
A
t
A m
n × yang didapatkan dengan mempertukarkan
baris-baris dan kolom-kolom dari
A
; sehingga kolom pertama dari adalah
baris pertama dari , kolom kedua dari
adalah baris kedua dari , dan
seterusnya.
t
A
A
t
A
A
Definisi 2.1.4
Jika adalah matriks simetris
A
n n
× , maka dikatakan semidefinit positif
positive semidefinite jika untuk setiap
A ≥
Ax x
t
n
Ε ∈
x dan ditulis
. A
≥
B. Topologi di
n
R
Definisi 2.2.1
Diberikan titik dan
n
R ∈
x
{ }
ε ε
ε
− ∈
=
x y
y x
: ,
n
R N
disebut suatu
persekitaran
ε
− dari
x
.
Definisi 2.2.2
Misalkan
n
R K
⊂
dan
K ∈
x
. Titik disebut titik dalam atau titik interior
dari
x
K
jika terdapat suatu persekitaran
ε
− dari
x
yang termuat di dalam
K
, yaitu jika ada
ε
sedemikian sehingga ε
− x y
berakibat . Himpunan
K ∈
y
semua titik interior dari
K
disebut interior
K
dan dinotasikan dengan .
Selanjutnya, K
int
K
disebut terbuka jika
K K
int =
.
Definisi 2.2.3
Misalkan
n
R K
⊂
, disebut titik limit dari
x K
jika untuk setiap
ε
φ
ε
≠ ∩
x N
K . Himpunan semua anggota
K
beserta titik limitnya disebut closure dari
K
dan dinotasikan dengan . Selanjutnya,
K Cl
K
disebut tertutup
jika .
K K
Cl =
Definisi 2.2.4
Suatu barisan vektor dikatakan konvergen ke titik limit
K ,
, ,
3 2
1
x x
x
x
jika →
− x x
k
untuk , yaitu jika untuk sembarang
∞ →
k
ε
terdapat bilangan bulat positif
sedemikian sehingga N
ε
− x x
k
untuk semua . Barisan
biasanya dinotasikan dengan N
k ≥
{ }
k
x dan
x
titik limit
{ }
k
x disajikan dengan
x x
→
k
untuk atau dengan
∞ →
k
x x
=
∞ →
k k
lim
.
Catat bahwa barisan konvergen mempunyai titik limit yang tunggal. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.2.5
Dengan menghapus elemen-elemen tertentu dari barisan
{
, diperoleh
subbarisan , yang biasanya dinotasikan dengan
}
k
x
{ }
κ k
x , dengan
κ adalah subset dari semua bilangan bulat positif.
Semesta pembicaraan sekarang adalah bilangan real
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dari ke dalam
. Jadi, fungsi atau
dengan
Ν
R
R f
→ Ν
:
n f
Ν ∈
n
adalah barisan bilangan real. Biasanya dinyatakan dengan
. Barisan dengan sebagai suku ke-n akan ditulis
n f
n
s
n
s
n
s
atau
{
.
}
n
s
Definisi 2.2.6
Misalkan adalah fungsi yang terdefinisi di dalam himpunan bilangan real
f R
; dikatakan mempunyai limit
f L
di , dan ditulis
, jika diberikan sebuah bilangan
x
L x
f
x x
=
→
lim
ε
, maka ada sebuah
δ
sedemikian sehingga ε
− L x
f
bila dan
X x
∈ δ
− x
x
.
Definisi 2.2.7
Barisan dikatakan konvergen jika terdapat
{ }
n
s R
s ∈ dengan sifat, untuk
sebarang
ε
yang diberikan, terdapat Ν
∈ N
sehingga untuk semua dengan
berlaku
Ν ∈
n
N n
≥ ε
−
n
s s
. Bilangan dinamakan limit
{
untuk s
}
n
s PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∞ →
n dan ditulis
atau disingkat
n n
s
∞ →
lim s
s
n
= lim
. Suatu barisan yang tidak
mempunyai limit disebut divergen.
Definisi 2.2.8
Barisan dikatakan naik jika
{ }
n
s
1 +
≤
n n
s s
dan turun jika untuk semua
. Barisan naik dan barisan turun dinamakan barisan monoton.
1 +
≥
n n
s s
Ν ∈
n
Contoh 2.2.8
1. Barisan adalah barisan naik.
K ,
3 ,
3 ,
2 ,
2 ,
1 ,
1
2. Barisan
K ,
3 1
, 3
1 ,
2 1
, 2
1 ,
1 ,
1
adalah barisan turun. Ke dua contoh di atas adalah barisan monoton.
C. Fungsi Kontinu dan Fungsi Terdiferensial
Kategori