μ 2
1 μ
1
+ =
x
μ 2
1 μ
2
+ =
x Jadi diperoleh :
μ 2
1 μ
2 1
+ =
= x x
. Selanjutnya nilai dari
dan dapat dicari dengan cara mencari nilai limitnya
untuk , yaitu
1
x
2
x ∞
→ μ
μ 2
1 μ
lim
μ
+
∞ →
sehingga diperoleh
2 1
2 1
= = x
x .
Jadi penyelesaian optimal dari masalah penalti dapat dibuat sedekat-dekatnya dengan penyelesaian dari masalah asli dengan menentukan cukup besar.
μ
B. Interpretasi Geometris Fungsi Penalti
Untuk menggambarkan fungsi penalti secara geometri, digunakan contoh 3.1.4. Misalkan bahwa kendala
=
x
h
dipertubasi sedemikian sehingga ε
=
x h
yaitu ε
= −
+ 1
2 1
x x
. Misalkan ε
v
merupakan fungsi objektif maka akan diperoleh masalah berikut :
≡
ε
v
Minimalkan
2 2
2 1
x x
+
Dengan kendala ε
= −
+ 1
2 1
x x
Perhatikan kendala ε
= −
+ 1
2 1
x x
, dapat diganti menjadi
1 2
1 x
x −
+ =
ε .
Selanjutnya subsitusikan ke dalam fungsi obyektif sehingga menjadi :
2
x
2 1
2 1
1 x
x −
+ +
ε 3.2.1
Nilai optimal akan dicapai ketika turunannya sama dengan nol, maka fungsi pada 3.2.1 setelah dicari turunannya dapat ditulis sebagai :
1 1
2 2
1 1
= −
− +
+ x
x
ε
1 2
2
1 1
= −
+ −
⇔ x
x
ε
2 2
2 2
1 1
= +
− −
⇔ x
x
ε
2 2
4
1
= −
−
ε
x
. Masing-masing ruas dibagi dengan 2 menjadi :
1 2
1
= −
−
ε
x
ε
+ =
⇔ 1
2
1
x
2 1
1
ε +
= ⇔ x
. Subsitusikan
ke dalam persamaan kendala sehingga menjadi :
1
x
ε ε
= −
+ +
1 2
1
2
x
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
− +
= ⇔
2 1
1
2
ε ε
x
2 1
2 2
2
ε ε
− −
+ =
⇔ x
2 1
2
ε +
= ⇔x
. Jadi diperoleh nilai optimal yaitu :
2 1
2 1
ε +
= = x
x dan mempunyai nilai obyektif :
2 1
2
ε
+
. Oleh karena itu, untuk sembarang
ε yang diberikan, supremum dari dengan kendala
2 2
2 1
x x
+
ε
= −
+ 1
2 1
x x
sama dengan
∞
. Oleh karena itu, jika diberikan sembarang titik
di
2 1
, x x
2
E
dengan ε
= −
+ 1
2 1
x x
, nilai obyektifnya berada
pada interval ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ ∞
+ ,
2 1
2
ε . Dengan kata lain, nilai obyektif dari semua x di
2
E
yang memenuhi ε
= x
h
, terletak diantara
2 1
2
ε
+
dan
∞
.
Titik layak untuk masalah primal
x
f
2
E
Pemetaan
f h,
x
[ ]
x x
f h
.
Batas bawah terbesar parabola
ε
v
Penyelesaian optimal untuk masalah penalti dengan
parameter
μ μ
Penyelesaian optimal untuk masalah primal
ε
=
x h
μ
ε
Penyelesaian optimal untuk masalah penalti dengan
parameter
μ
[ ]
μ μ
.
x x
f h
2
μh f
+
2
μ h f
+
Gambar 3.2.1 Geometri fungsi penalti pada ruang h,f
Secara khusus, himpunan
[ ]
{ }
2
: ,
E f
h ∈
x x
x ditunjukkan pada gambar
3.2.1 Batas bawah dari himpunan ini dinyatakan oleh parabola ε
ε
v h
≡ +
= +
2 1
2 1
2 2
. Untuk suatu nilai tertentu , masalah penalti adalah
meminimalkan μ
x x
2
μh f
+ dengan
2
E ∈
x
. Kontur dari diilustrasikan dalam ruang
k h
f =
+
2
μ
f h,
yang ditunjukkan dalam gambar 3.2.1 dengan parabola putus-putus. Irisan dari parabola tersebut dengan sumbu
sama dengan . Jadi jika diminimalkan, maka parabola tersebut harus
digeser mengarah ke bawah sebanyak mungkin, sedemikian sehingga parabola tersebut masih mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang sama dengan
himpunan yang diarsir. Proses ini dilanjutkan sampai parabola tersebut menyinggung himpunan yang diarsir, seperti ditunjukkan pada gambar 3.2.1. Hal
ini berarti bahwa untuk nilai yang diberikan, nilai optimum dari masalah penalti merupakan perpotongan parabola pada sumbu
. Perhatikan bahwa penyelesaian optimal masalah penalti sedikit tidak layak dari masalah asli, karena
di titik singgung. Selanjutnya, nilai obyektif optimal dari masalah penalti adalah sedikit lebih kecil dari nilai obyektif optimal primal. Dan perhatikan juga
bahwa jika nilai
μ
bertambah, parabola menjadi makin curam, dan titik
singgung mendekati penyelesaian optimal sebenarnya dari masalah asli. f
k
2
μh f
+
μ
f
≠ h
2
μh f
+ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
C. Metode Fungsi Penalti Eksterior
