Definisi 2.3.2
Diberikan fungsi . Fungsi
dikatakan :
R K
R K
f ⊂
→ , :
f
1. Naik pada
K
jika untuk setiap K
x x
∈
2 1
, , dengan
, maka
2 1
x x
2 1
x f
x f
.
2. Turun pada
K
jika untuk setiap K
x x
∈
2 1
, , dengan
, maka .
2 1
x x
2 1
x f
x f
3. Monoton pada
K
jika naik pada
f K
atau turun pada
K
.
Definisi 2.3.3
Misal . Turunan orde satu dari
, dinotasikan dengan ,
didefinisikan sebagai berikut: R
R f
n
→ :
f Df
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
=
n
x f
x f
x f
Df ,
, ,
2 1
L
Definisi 2.3.4
Misal
gradien dari fungsi
di ditulis
, :
R R
f
n
→
f
x x
f ∇
, adalah transpose dari
, yaitu :
Df
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ =
= ∇
n t
n t
x f
x f
x f
x f
x f
x f
Df f
x x
x x
x x
x
M L
2 1
2 1
, ,
, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.3.5
Misalkan
K
himpunan tidak kosong di
n
E , K
int ∈
x dan
. Matriks Hessian
dari fungsi pada
E K
f →
: f
x
, yang biasa dinotasikan dengan
x H
adalah matriks yang elemen-elemennya terdiri dari turunan-turunan parsial ke dua dari
fungsi yaitu :
f
.
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
=
n n
n n
n
x f
x x
f x
x f
x x
f x
f x
x f
x x
f x
x f
x f
x x
x x
x x
x x
x
x H
M M
M
Definisi 2.3.6
Misalkan
K
himpunan tidak kosong di
n
E , dan terdiferensial dua
kali. Teorema Taylor orde dua adalah : untuk setiap ,
haruslah memenuhi :
E K
f →
:
1
x K
∈
2
x
1 2
1 2
2 1
1 2
2 1
x x
x H
x x
x x
x x
x
1
− −
+ −
∇ +
=
t t
f f
f
dimana
x H
adalah matriks Hessian dari fungsi pada
f x
dan
2 1
1
x x
x
λ λ
− +
=
untuk
1 ,
∈
λ .
Definisi 2.3.7
Misalkan
K
himpunan tidak kosong di
n
Ε , K
int ∈
x dan
. Maka
dikatakan terdiferensial di
Ε K
f →
: f
x
jika ada vektor
x f
∇
yang disebut vektor gradien, dan ada fungsi
sedemikian sehingga :
1
: E
E →
α
x x
x x
x x
x x
x x
− −
+ −
∇ +
= ;
α
t
f f
f
untuk setiap
K ∈
x
, dimana ;
lim =
−
→
x x
x
x x
α .
Fungsi dikatakan terdiferensial pada himpunan terbuka
jika terdiferensial pada setiap titik
.
f
K L
⊆
f
L
Definisi 2.3.8
Misalkan
K
himpunan tidak kosong di
n
E , K
int ∈
x dan
. Maka
cdikatakan terdiferensial dua kali di
Ε K
f →
:
x
jika terdapat suatu vektor
x f
∇
, dan matriks simetris
n n
×
x H
yang disebut sebagai matriks Hessian, dan suatu fungsi
sedemikian sehingga :
1
: E
E →
α
x x
x x
x x
x x
H x
x x
x x
x x
− −
+ −
− +
− ∇
+ =
; 2
1
2
α
t t
f f
f
untuk setiap
K ∈
x
, dimana ;
lim =
−
→
x x
x
x x
α .
Fungsi dikatakan terdiferensial dua kali pada himpunan terbuka
jika terdiferensial dua kali pada setiap titik
.
f
K L
⊆
f
L PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 2.3.8
Misalkan . Diketahui
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
4 3
2 6
2 ,
x x
x x
x x
x x
f +
− −
+ =
t
, =
x
. Maka
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
+ −
= ∇
1 2
2 1
4 6
6 4
4 2
x x
x x
f x
dan .
6 4
4 4
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− −
=
x H
Sehingga : ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ −
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
=
2 1
2 1
2 1
2 1
6 4
4 4
, 2
1 6
, 2
, x
x x
x x
x x
x f
.
D. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks
Kategori