BAB III METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR
Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode Fungsi Penalti Eksterior dalam menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala. Tetapi dalam
pembahasan ini penulis akan menjelaskan terlebih dahulu tentang konsep fungsi penalti dan interpretasi geometris fungsi penalti. Kemudian dilanjutkan mengenai
bentuk umum Fungsi Penalti Eksterior dan algoritma Metode Fungsi Penalti Eksterior serta contoh masalah yang diselesaikan dengan metode Fungsi Penalti
Eksterior dan diimplementasikan dengan bahasa pemrograman Matlab. Dan yang terakhir adalah konvergensi metode Fungsi Penalti Eksterior.
A. Konsep Fungsi Penalti
Salah satu cara untuk mengubah masalah optimisasi dengan kendala menjadi masalah optimisasi tanpa kendala adalah dengan menambahkan fungsi
penalti pada fungsi obyektif yang pada beberapa metode, bergantung pada nilai kendala-kendalanya. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal istilah penalti
terjadi karena adanya pelanggaran. Demikian juga dalam masalah optimisasi ini fungsi penalti terjadi karena ada pelanggaran terhadap fungsi obyektif, yaitu
dengan menghilangkan kendala pada permasalahan itu. Fungsi penalti dapat juga dipandang sebagai fungsi yang ditambahkan pada fungsi obyektif dengan
parameter penalti. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Metode dengan menggunakan fungsi penalti mentransformasikan masalah dengan kendala ke dalam masalah tanpa kendala tunggal atau ke dalam barisan
masalah tanpa kendala. Kendala-kendala dibentuk ke dalam fungsi obyektif melalui parameter penalti sedemikian hingga menghilangkan setiap hambatan-
hambatan dari kendala tersebut. Untuk membangun fungsi penalti perhatikan masalah-masalah dibawah ini.
Contoh 3.1.1
Perhatikan masalah dengan kendala tunggal
=
x h
, yaitu : Minimalkan
x
f
Dengan kendala
=
x h
. Misalkan masalah tersebut diubah menjadi masalah tanpa kendala :
Minimalkan x
x
2
μh f
+ Dengan
n
E ∈
x
μ suatu bilangan besar . Secara intuitif dapat dilihat bahwa penyelesaian optimal dari masalah tersebut
haruslah mendekati nol, karena jika tidak maka suatu penalti besar
akan terjadi.
x
2
h
x
2
μh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 3.1.2
Perhatikan masalah dengan kendala pertidaksamaan tunggal
≤
x g
yakni : Minimalkan
x f
Dengan kendala
≤
x
g
. Andaikan masalah di atas diubah menjadi masalah tanpa kendala seperti berikut :
Minimalkan x
x
2
μg f
+ Dengan
n
E ∈
x
μ suatu bilangan besar. Maka dapat dilihat bahwa dengan bentuk
x x
2
μg f
+ mengakibatkan terjadinya
penalti baik untuk
atau x
x g
g
. Dalam masalah di atas suatu penalti akan terjadi hanya jika titik adalah tidak layak, yaitu
. Dengan demikian pengandaian di atas salah dan masalah tanpa kendala yang sesuai adalah
x x
g
Minimalkan
{ }
x x
g 0,
maks μ
+ f
Dengan
n
E ∈
x
μ suatu bilangan besar. Jika
, maka maksimum
≤
x g
{ }
, =
x g
, dan tidak ada penalti yang terjadi, dan jika
, maka maksimum
x
g
{ }
,
x
g
, dan bentuk penalti terjadi.
x
g μ
Secara umum, fungsi penalti yang sesuai harus memiliki suatu penalti positif untuk titik-titik tidak layak dan tidak ada penalti untuk titik layak. Jika
kendala-kendala tersebut dalam bentuk ≤
x
i
g untuk
m i
, ,
1 K =
dan =
x
i
h untuk
maka fungsi penalti yang sesuai diberikan oleh : l
i ,
, 1 K
= α
[ ]
[
∑ ∑
= =
Ψ +
Φ =
l i
i m
i i
h g
1 1
α
x x
x
]
3.1.1 dengan
Φ dan adalah fungsi-fungsi kontinu yang memenuhi :
Ψ
jika dan
jika jika
dan jika
≠ Ψ
= =
Ψ Φ
≤ =
Φ y
y y
y y
y y
y
3.1.2 Secara khusus,
dan
Ψ
berbentuk : Φ
{ }
[ ]
p
y y
, maks
= Φ
p
y y
= Ψ
dengan p adalah bilangan bulat positif. Jadi fungsi penalti yang biasa digunakan berbentuk
α
{ }
[ ]
p l
i i
p m
i i
h g
∑ ∑
= =
+ =
1 1
, maks
α
x x
x
Fungsi dinamakan fungsi tambahan.
x x
μα +
f
Contoh 3.1.3
Selesaikan masalah optimisasi berikut : Minimalkan
x Dengan kendala
2 ≤
+ − x
. Misalkan
{
[ ]
2
, maks
α x
g x
i
=
}
, maka :
⎩ ⎨
⎧ +
− ≥
= 2
jika 2
2 jika
α
2
x x
x x
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Penyelesaian :
Misalkan masalah tersebut diubah menjadi masalah tanpa kendala : Minimalkan
2
2 μ
+ −
+ x
x
3.1.3 Dengan
E x
∈ μ suatu bilangan besar.
Selanjutnya penyelesaian optimal persamaan 3.1.3 dapat dicari dengan cara mencari turunannya. Titik optimal akan dicapai ketika turunannya sama dengan
nol. Maka persamaan 3.1.3 setelah dicari turunannya menjadi:
1 2
μ 2
1 −
+ −
+ x
1 1
2 μ
2 −
= −
+ −
⇔ x
1 2
μ 2
− =
− ⇔
x
μ 2
1 2
− =
− ⇔ x
μ 2
1 2
− =
⇔ x
Nilai optimal x dapat dicari dengan cara mencari limitnya untuk
μ
yang mendekati
, yaitu
∞
2 μ
2 1
2 lim
μ
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
∞ →
. Selanjutnya penyelesaian masalah 3.1.3 dapat ditunjukkan dengan grafik di
bawah ini : PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
α μ
2
5 .
μ
1
= 5
. 1
μ
2
=
α
α μ
1
Gambar 3.1.1 Grafik Penalti
α μ
2
+ f
α μ
1
+ f
Gambar 3.1.2 Grafik Fungsi Tambahan
Contoh 3.1.4
Selesaikan masalah optimisasi berikut: Minimalkan
2 2
2 1
x x
+
Dengan kendala
1
2 1
= −
+ x x
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Penyelesaian :
Perhatikan masalah penalti berikut, dengan suatu bilangan besar
μ Minimalkan
2 2
1 2
2 2
1
1 μ
− +
+ +
x x
x x
Dengan kendala
2 2
1
, E
x x
∈ .
Perhatikan bahwa untuk sembarang , fungsi obyektif konveks. Jadi syarat
perlu dan
cukup untuk
optimalitas adalah
gradien dari
sama dengan nol yang menghasilkan : μ ≥
2 2
1 2
2 2
1
1 μ
− +
+ +
x x
x x
1 μ
2 1
1
= −
+ +
x x
x μ
μ μ
2 1
1
= −
+ +
⇔ x
x x
3.1.4 dan
2 1
2
μ x
x x
+ +
3.1.5 Persamaan 3.1.4 dan 3.1.5 diselesaikan dengan menggunakan metode Gauss
Jordan menjadi :
2 1
2 1
B μ
2 1
μ 1
μB B
B μ
1 1
μ 1
μ μ
1 μ
2 1
μ 1
μ μ
1 μ
1 μ
μ 1
μ μ
1 μ
μ 1
μ 1
μ μ
1 μ
μ μ
μ 1
+ +
− +
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
+ +
+ +
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ +
+ +
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
+ +
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
+ +
+
+ −
μ 2
1 μ
1 μ
2 1
μ 1
μ 2
1 μ
1 μ
1 μ
μ 1
μ 1
2 1
B μ
1 μ
B
Ditulis ke dalam bentuk persamaan menjadi : PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
μ 2
1 μ
1
+ =
x
μ 2
1 μ
2
+ =
x Jadi diperoleh :
μ 2
1 μ
2 1
+ =
= x x
. Selanjutnya nilai dari
dan dapat dicari dengan cara mencari nilai limitnya
untuk , yaitu
1
x
2
x ∞
→ μ
μ 2
1 μ
lim
μ
+
∞ →
sehingga diperoleh
2 1
2 1
= = x
x .
Jadi penyelesaian optimal dari masalah penalti dapat dibuat sedekat-dekatnya dengan penyelesaian dari masalah asli dengan menentukan cukup besar.
μ
B. Interpretasi Geometris Fungsi Penalti
Kategori