Contoh 3.1
Dengan menggunakan metode Newton termodifikasi tentukan akar penyelesaian persamaan
� � = , dengan � � = � + � − 4� − dengan � = dan � = .
. Penyelesaian:
Diketahui � = dan � = .
. Dipandang � � = � + � − 4� −
maka turunan pertamanya adalah �
′
� = 4� + � − �. Hasil iterasi metode Newton termodifikasi persamaan 3.6-3.9 untuk
� = , , 2, ,4 adalah sebagai berikut:
Untuk � = , maka
�
∗
= � = , � = � −
� � �
′
� , dengan
� � = � = + − 4 − = − , dan turunan pertamanya adalah
�
′
� = �
′
= 4 + − = . Dengan demikian diperoleh
� = − −
= = .2, dan
|� .2 | = | .4 | = .4
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Untuk � = , maka
�
∗
= � − � �
�
′
2 [� + �
∗
] ,
dengan � � = � .2 = .2 + .2 − 4 .2 − = .4
, maka turunan pertamanya adalah
�
′
2 [� + �
∗
] = �
′
2 [ + ] = �′
�
′
= 4 + − = . diperoleh
�
∗
= .2 − .4
= . 4 ,
sehingga
�
′
2 [� + �
∗
]
=
�
′
2 [ .2 + . 4 ] = �′ . 24
�
′
. 24 = 4 . 24 + . 24 − . 24 = . .
Dengan demikian diperoleh
� = � − � �
�
′
[� + �
∗
] ,
� = .2 − .4
. = . 4
,
dan |� . 4
| = |− . 2| = .
2. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Untuk � = 2, maka
�
∗
= � − � �
�
′
2 [� + �
∗
] ,
dengan
� � = � . 4 = . 4
+ . 4 − 4 . 4
− = − . 2,
dan turunan pertamanya adalah �
′
2 [� + �
∗
] = �
′
2 [ .2 + . 4 ] = �
′
. 24 , �
′
. 24 = 4 . 24 + . 24 − . 24 = . . Diperoleh
�
∗
= . 4 −
− . 2
. = . 4 4 ,
sehingga
�
′
2 [� + �
∗
] = �
′
2 [ . 4
+ . 4 4 ] = �
′
. 4 4 ,
�
′
. 4 4 = 4 . 4 4 + . 4 4
− . 4 4 = . .
Dengan demikian diperoleh
� = � − � �
�
′
[� + �
∗
] ,
� = . 4 −
− . 2
. = . 4
, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dan |� . 4
| = | . | = .
. Untuk
� = , maka �
∗
= � − � �
�
′
2 [� + �
∗
] ,
dengan
� � = � . 4 = . 4
4
+
. 4
− 4
. 4
2
− =
. ,
dan turunan pertamanya adalah
�
′
2 [� + �
∗
] = 2
[ . 4 + . 4 4 ] = �
′
. 4 4 ,
�
′
. 4 4 = 4 . 4 4 + . 4 4
− . 4 4 = . .
Diperoleh
�
∗
= . 4 −
.
. = . 4
,
sehingga
�
′
2 [� + �
∗
] = �
′
2 [ . 4
+ . 4 ] = �
′
. 4 ,
�
′
. 4 = 4 . 4
+ . 4 − . 4
= . .
Dengan demikian diperoleh � = � −
� � �
′
[� + �
∗
] ,
� = . 4 −
.
. = . 4
,
dan |� . 4
| = | . | = .
. Untuk
� = 4, maka �
∗
= � − � �
�
′
2 [� + �
∗
] ,
dengan
� � = � . 4 = . 4
+ . 4 − 4 . 4
− = .
dan turunan pertamanya adalah �
′
2 [� + �
∗
] = 2
[ . 4 + . 4
] = �′ . 4 �
′
. 4 = 4 . 4
+ . 4 − . 4
= . .
Diperoleh �
∗
= . 4 −
.
. = . 4
,
sehingga �
′
2 [� + �
∗
] = �
′
2 [ . 4
+ . 4 ] = �
′
. 4 ,
�
′
. 4 = 4 . 4
+ . 4 − . 4
= . .
Dengan demikian diperoleh �
5
= � − � �
�
′
[� + �
∗
] ,
�
5
= . 4 −
.
. = . 4
.
Jadi akar penyelesaiannya adalah � = . 4
dengan jumlah iterasi sebanyak 4 kali.
B. Aliran
Steady
Air Dangkal
Persamaan gelombang air dangkal diklasifikasikan dari gerak fluida. Sebagai contoh, aliran dapat digolongkan sebagai aliran
steady
dan
unsteady
, satu dimensi, dua dimensi, tiga dimensi, serta seragam dan tidak seragam. Aliran disebut
steady
bila kondisi alirannya yaitu kecepatan, tekanan, densitas tidak berubah terhadap waktu. Aliran dimana kondisi alirannya berubah terhadap waktu disebut
aliran
unsteady
. Aliran air yang konstan di dalam sebuah pipa bersifat
unsteady
, akan tetapi pada saat katup alirannya sedang dibuka atau sedang ditutup, maka
aliran itu tidak
unsteady
. Sebuah aliran mungkin saja dianggap
steady
oleh pengamat yang satu, tetapi dianggap tidak
steady
oleh pengamat yang lain
.
Sebagai contoh, aliran di sebelah hulu sebuah pilar jembatan tampak
steady
oleh pengamat yang berdiri di jembatan, tetapi tampak tidak steady oleh pengamat yang berada di
sebuah perahu. Penggolongan air sebagai aliran
steady
atau bukan sering didasarkan pada pertimbangan kemudahan semata. Sebagai contoh, penjalaran
gelombang di permukaan danau jelas
unsteady
. Walaupun begitu, gerak air akibat gelombang dianggap tidak terlalu berperan dalam pengangkutan polutan di danau
itu sehingga dalam model yang digunakan untuk mempelajari perpindahan polutan gerak gelombang boleh diabaikan, sehingga aliran air di situ dianggap
steady
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Pendekatan seperti ini terutama diterapkan pada aliran-aliran turbulen, yang hampir selalu dijumpai dalam dunia rekayasa. Disini, kondisi
unsteady
berlaku untuk fluktuasi-fluktuasi dalam aliran yang ditinjau dalam skala waktu yang sangat
pendek. Misalkan terdapat aliran air dangkal seperti pada Gambar 3.2.
Gambar 3.2: Gambaran umum aliran steady dengan topografi gundukan
parabolik.
Misalkan � adalah ruang titik, adalah waktu = �, adalah kecepatan, ℎ =
ℎ �, adalah kedalaman air, = � adalah ketinggian permukaan tanah. Persamaan air dangkal yang bersesuaian dengan Gambar 3.2 adalah :
ℎ
�
h x,t
u x,t
z x
ℎ
ℎ + ℎ
�
= , ℎ
+ ℎ + 2 ℎ
�
= − ℎ
�
. 3.10
Dengan asumsi bahwa turunan dan ℎ mulus, penjabaran persamaan kedua di atas
menjadi : ℎ
+ ℎ + 2 ℎ
�
+ ℎ
�
= , maka persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi
ℎ + ℎ + ℎ
�
+ 2 ℎ
�
+ ℎ
�
= , atau
ℎ + ℎ + ℎ
�
+
�
ℎ + 2 ℎℎ
�
+ ℎ
�
= , atau
ℎ + ℎ + ℎ
�
+
�
+
�
ℎ + 2 ℎℎ
�
+ ℎℎ
�
+ ℎ
�
= , atau
ℎ + ℎ + ℎ
�
+ 2
�
ℎ + 2 2ℎℎ
�
+ ℎ
�
= , atau
ℎ + ℎ + ℎ
�
+ 2
�
ℎ + ℎℎ
�
+ ℎ
�
= , atau
ℎ + ℎ + ℎ
�
+ 2
�
ℎ + ℎℎ
�
+ ℎ
�
= . Substitusikan
ℎ = − ℎ
�
pada persamaan yang di atas, diperoleh ℎ + − ℎ
�
+ ℎ
�
+ 2
�
ℎ + ℎℎ
�
+ ℎ
�
= , atau
ℎ + −ℎ
�
−
�
ℎ + ℎ
�
+ 2
�
ℎ + ℎℎ
�
+ ℎ
�
= , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
atau ℎ −
ℎ
�
−
�
ℎ + ℎ
�
+ 2
�
ℎ + ℎℎ
�
+ ℎ
�
= , atau
ℎ +
�
ℎ + ℎℎ
�
+ ℎ
�
= , atau
ℎ +
�
+ ℎ
�
+
�
= , atau
ℎ +
�
+ ℎ
�
+
�
= , atau
ℎ +
�
+ ℎ +
�
= , atau
+
�
+ ℎ +
�
= . Karena alirannya diasumsikan
steady
, kedalaman air dan kecepatan aliran tidak berubah terhadap waktu, berarti
= dan ℎ = , maka persamaan air dangkal menjadi :
ℎ
�
= ,
�
+ ℎ +
�
= . Setelah diintegralkan, persamaan air dangkal dapat ditulis kembali menjadi :
ℎ = , 2
+ ℎ + = �,
3.11
untuk dan � adalah konstan. Sistem 3.11 berlaku untuk semua domain. Di
tempat yang jauh � → ±∞ , dasar ketinggian, kedalaman air dan kecepatan aliran
berturut-turut adalah �,
= , ℎ �, = ℎ dan
�, = . Dengan demikian untuk semua domain, jelas bahwa :
ℎ = ℎ , 3.12
dan 2
+ ℎ + = 2 + ℎ
+ = 2 + ℎ .
3.13 Jika dieliminasi dari persamaan 3.13 dengan menggunakan persamaan 3.12,
maka diperoleh : =
ℎ ℎ ,
ℎ 2ℎ
+ ℎ + = 2 + ℎ .
Menggunakan bilangan Froude, yaitu � = √ ℎ , maka diperoleh :
ℎ [ ℎ
2ℎ + ℎ + ] =
ℎ [ 2 + ℎ ], atau
ℎ 2ℎ ℎ +
ℎ ℎ + ℎ = 2 ℎ +
ℎ ℎ ,
atau
2 ℎ ℎ
ℎ + ℎ
ℎ + ℎ = 2 ℎ + , atau
� 2
ℎ ℎ +
ℎ ℎ + ℎ =
� 2 + .
Dengan dimisalkan = ℎℎ dan � = ℎ , persamaan terakhir disederhanakan
menjadi : �
2 + + � =
� 2 + ,
atau [
� 2
+ + �] = [
� 2 + ],
atau �
2 + + �
= �
2 + ,
atau �
2 + + � −
� 2
− = ,
sehingga + � −
2 � − +
2 � = . 3.13
Jika persamaan kubik tersebut diselesaikan untuk semua titik, maka akan diperoleh deskripsi permukaan air dari aliran yang
steady
, dengan kedalaman air dihitung menggunakan
ℎ = ℎ . Kecepatan air dihitung menggunakan formula = ℎ ℎ. Metode penyelesaian akar memainkan peran penting dalam
memecahkan persamaan 3.13 dalam menentukan nilai dari kedalaman air di semua ruang titik.
C. Hasil Numeris
Pada bagian ini, akan disajikan hasil numeris dari uji kasus metode penyelesaian akar untuk menyelesaikan masalah aliran
steady
. Masalah tersebut diberikan sebagai berikut. Dipandang ruang domain [0,25]. Topografinya adalah :