Metode Newton Termodifikasi METODE NEWTON TERMODIFIKASI DAN CONTOH

Contoh 3.1 Dengan menggunakan metode Newton termodifikasi tentukan akar penyelesaian persamaan � � = , dengan � � = � + � − 4� − dengan � = dan � = . . Penyelesaian: Diketahui � = dan � = . . Dipandang � � = � + � − 4� − maka turunan pertamanya adalah � ′ � = 4� + � − �. Hasil iterasi metode Newton termodifikasi persamaan 3.6-3.9 untuk � = , , 2, ,4 adalah sebagai berikut: Untuk � = , maka � ∗ = � = , � = � − � � � ′ � , dengan � � = � = + − 4 − = − , dan turunan pertamanya adalah � ′ � = � ′ = 4 + − = . Dengan demikian diperoleh � = − − = = .2, dan |� .2 | = | .4 | = .4 . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Untuk � = , maka � ∗ = � − � � � ′ 2 [� + � ∗ ] , dengan � � = � .2 = .2 + .2 − 4 .2 − = .4 , maka turunan pertamanya adalah � ′ 2 [� + � ∗ ] = � ′ 2 [ + ] = �′ � ′ = 4 + − = . diperoleh � ∗ = .2 − .4 = . 4 , sehingga � ′ 2 [� + � ∗ ] = � ′ 2 [ .2 + . 4 ] = �′ . 24 � ′ . 24 = 4 . 24 + . 24 − . 24 = . . Dengan demikian diperoleh � = � − � � � ′ [� + � ∗ ] , � = .2 − .4 . = . 4 , dan |� . 4 | = |− . 2| = . 2. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Untuk � = 2, maka � ∗ = � − � � � ′ 2 [� + � ∗ ] , dengan � � = � . 4 = . 4 + . 4 − 4 . 4 − = − . 2, dan turunan pertamanya adalah � ′ 2 [� + � ∗ ] = � ′ 2 [ .2 + . 4 ] = � ′ . 24 , � ′ . 24 = 4 . 24 + . 24 − . 24 = . . Diperoleh � ∗ = . 4 − − . 2 . = . 4 4 , sehingga � ′ 2 [� + � ∗ ] = � ′ 2 [ . 4 + . 4 4 ] = � ′ . 4 4 , � ′ . 4 4 = 4 . 4 4 + . 4 4 − . 4 4 = . . Dengan demikian diperoleh � = � − � � � ′ [� + � ∗ ] , � = . 4 − − . 2 . = . 4 , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI dan |� . 4 | = | . | = . . Untuk � = , maka � ∗ = � − � � � ′ 2 [� + � ∗ ] , dengan � � = � . 4 = . 4 4 + . 4 − 4 . 4 2 − = . , dan turunan pertamanya adalah � ′ 2 [� + � ∗ ] = 2 [ . 4 + . 4 4 ] = � ′ . 4 4 , � ′ . 4 4 = 4 . 4 4 + . 4 4 − . 4 4 = . . Diperoleh � ∗ = . 4 − . . = . 4 , sehingga � ′ 2 [� + � ∗ ] = � ′ 2 [ . 4 + . 4 ] = � ′ . 4 , � ′ . 4 = 4 . 4 + . 4 − . 4 = . . Dengan demikian diperoleh � = � − � � � ′ [� + � ∗ ] , � = . 4 − . . = . 4 , dan |� . 4 | = | . | = . . Untuk � = 4, maka � ∗ = � − � � � ′ 2 [� + � ∗ ] , dengan � � = � . 4 = . 4 + . 4 − 4 . 4 − = . dan turunan pertamanya adalah � ′ 2 [� + � ∗ ] = 2 [ . 4 + . 4 ] = �′ . 4 � ′ . 4 = 4 . 4 + . 4 − . 4 = . . Diperoleh � ∗ = . 4 − . . = . 4 , sehingga � ′ 2 [� + � ∗ ] = � ′ 2 [ . 4 + . 4 ] = � ′ . 4 , � ′ . 4 = 4 . 4 + . 4 − . 4 = . . Dengan demikian diperoleh � 5 = � − � � � ′ [� + � ∗ ] , � 5 = . 4 − . . = . 4 . Jadi akar penyelesaiannya adalah � = . 4 dengan jumlah iterasi sebanyak 4 kali.

B. Aliran

Steady Air Dangkal Persamaan gelombang air dangkal diklasifikasikan dari gerak fluida. Sebagai contoh, aliran dapat digolongkan sebagai aliran steady dan unsteady , satu dimensi, dua dimensi, tiga dimensi, serta seragam dan tidak seragam. Aliran disebut steady bila kondisi alirannya yaitu kecepatan, tekanan, densitas tidak berubah terhadap waktu. Aliran dimana kondisi alirannya berubah terhadap waktu disebut aliran unsteady . Aliran air yang konstan di dalam sebuah pipa bersifat unsteady , akan tetapi pada saat katup alirannya sedang dibuka atau sedang ditutup, maka aliran itu tidak unsteady . Sebuah aliran mungkin saja dianggap steady oleh pengamat yang satu, tetapi dianggap tidak steady oleh pengamat yang lain . Sebagai contoh, aliran di sebelah hulu sebuah pilar jembatan tampak steady oleh pengamat yang berdiri di jembatan, tetapi tampak tidak steady oleh pengamat yang berada di sebuah perahu. Penggolongan air sebagai aliran steady atau bukan sering didasarkan pada pertimbangan kemudahan semata. Sebagai contoh, penjalaran gelombang di permukaan danau jelas unsteady . Walaupun begitu, gerak air akibat gelombang dianggap tidak terlalu berperan dalam pengangkutan polutan di danau itu sehingga dalam model yang digunakan untuk mempelajari perpindahan polutan gerak gelombang boleh diabaikan, sehingga aliran air di situ dianggap steady . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Pendekatan seperti ini terutama diterapkan pada aliran-aliran turbulen, yang hampir selalu dijumpai dalam dunia rekayasa. Disini, kondisi unsteady berlaku untuk fluktuasi-fluktuasi dalam aliran yang ditinjau dalam skala waktu yang sangat pendek. Misalkan terdapat aliran air dangkal seperti pada Gambar 3.2. Gambar 3.2: Gambaran umum aliran steady dengan topografi gundukan parabolik. Misalkan � adalah ruang titik, adalah waktu = �, adalah kecepatan, ℎ = ℎ �, adalah kedalaman air, = � adalah ketinggian permukaan tanah. Persamaan air dangkal yang bersesuaian dengan Gambar 3.2 adalah : ℎ � h x,t u x,t z x ℎ ℎ + ℎ � = , ℎ + ℎ + 2 ℎ � = − ℎ � . 3.10 Dengan asumsi bahwa turunan dan ℎ mulus, penjabaran persamaan kedua di atas menjadi : ℎ + ℎ + 2 ℎ � + ℎ � = , maka persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi ℎ + ℎ + ℎ � + 2 ℎ � + ℎ � = , atau ℎ + ℎ + ℎ � + � ℎ + 2 ℎℎ � + ℎ � = , atau ℎ + ℎ + ℎ � + � + � ℎ + 2 ℎℎ � + ℎℎ � + ℎ � = , atau ℎ + ℎ + ℎ � + 2 � ℎ + 2 2ℎℎ � + ℎ � = , atau ℎ + ℎ + ℎ � + 2 � ℎ + ℎℎ � + ℎ � = , atau ℎ + ℎ + ℎ � + 2 � ℎ + ℎℎ � + ℎ � = . Substitusikan ℎ = − ℎ � pada persamaan yang di atas, diperoleh ℎ + − ℎ � + ℎ � + 2 � ℎ + ℎℎ � + ℎ � = , atau ℎ + −ℎ � − � ℎ + ℎ � + 2 � ℎ + ℎℎ � + ℎ � = , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI atau ℎ − ℎ � − � ℎ + ℎ � + 2 � ℎ + ℎℎ � + ℎ � = , atau ℎ + � ℎ + ℎℎ � + ℎ � = , atau ℎ + � + ℎ � + � = , atau ℎ + � + ℎ � + � = , atau ℎ + � + ℎ + � = , atau + � + ℎ + � = . Karena alirannya diasumsikan steady , kedalaman air dan kecepatan aliran tidak berubah terhadap waktu, berarti = dan ℎ = , maka persamaan air dangkal menjadi : ℎ � = , � + ℎ + � = . Setelah diintegralkan, persamaan air dangkal dapat ditulis kembali menjadi : ℎ = , 2 + ℎ + = �, 3.11 untuk dan � adalah konstan. Sistem 3.11 berlaku untuk semua domain. Di tempat yang jauh � → ±∞ , dasar ketinggian, kedalaman air dan kecepatan aliran berturut-turut adalah �, = , ℎ �, = ℎ dan �, = . Dengan demikian untuk semua domain, jelas bahwa : ℎ = ℎ , 3.12 dan 2 + ℎ + = 2 + ℎ + = 2 + ℎ . 3.13 Jika dieliminasi dari persamaan 3.13 dengan menggunakan persamaan 3.12, maka diperoleh : = ℎ ℎ , ℎ 2ℎ + ℎ + = 2 + ℎ . Menggunakan bilangan Froude, yaitu � = √ ℎ , maka diperoleh : ℎ [ ℎ 2ℎ + ℎ + ] = ℎ [ 2 + ℎ ], atau ℎ 2ℎ ℎ + ℎ ℎ + ℎ = 2 ℎ + ℎ ℎ , atau 2 ℎ ℎ ℎ + ℎ ℎ + ℎ = 2 ℎ + , atau � 2 ℎ ℎ + ℎ ℎ + ℎ = � 2 + . Dengan dimisalkan = ℎℎ dan � = ℎ , persamaan terakhir disederhanakan menjadi : � 2 + + � = � 2 + , atau [ � 2 + + �] = [ � 2 + ], atau � 2 + + � = � 2 + , atau � 2 + + � − � 2 − = , sehingga + � − 2 � − + 2 � = . 3.13 Jika persamaan kubik tersebut diselesaikan untuk semua titik, maka akan diperoleh deskripsi permukaan air dari aliran yang steady , dengan kedalaman air dihitung menggunakan ℎ = ℎ . Kecepatan air dihitung menggunakan formula = ℎ ℎ. Metode penyelesaian akar memainkan peran penting dalam memecahkan persamaan 3.13 dalam menentukan nilai dari kedalaman air di semua ruang titik.

C. Hasil Numeris

Pada bagian ini, akan disajikan hasil numeris dari uji kasus metode penyelesaian akar untuk menyelesaikan masalah aliran steady . Masalah tersebut diberikan sebagai berikut. Dipandang ruang domain [0,25]. Topografinya adalah :