Contoh 2.7
Persamaan diferensial biasa berikut semuanya tak linear:
� + � +
= , 2.11
� + 4 �
5
+ = ,
2.12
� + � +
= . 2.13
Persamaan 2.11 tak linear karena variabel tak bebas terdapat pada orde kedua dalam bentuk
. Persamaan 2.12 juga tak linear karena terdapat bentuk 4
� 5
yang melibatkan pangkat lima pada turunan pertama. Persamaan 2.13 tak linear karena pada bentuk
�
melibatkan perkalian terhadap variabel bebas dan turunan pertamanya.
Definisi 2.9
Aturan rantai merupakan cara yang digunakan untuk mendiferensialkan fungsi komposisi.
Aturan rantai kasus 1
Misal = �
dan = � . Jika dan � adalah fungsi yang terdiferensial,
maka secara tidak langsung adalah fungsi terdiferensial dari � dan
� = �.
Aturan rantai kasus 2
Andaikan = � �, adalah fungsi dari � dan yang terdiferensial, dengan
� = dan
= ℎ keduanya fungsi dari yang terdiferensial. Maka adalah fungsi dari yang terdiferensial dan
= �
�� �
+ �
� .
E. Integral
Pada bagian ini dibahas mengenai integral yang meliputi definisi dan contoh dari integral tertentu dan tak tentu.
Definisi 2.10
Jika diberikan suatu fungsi � � pada suatu interval � dan berlaku �
′
� = � � , untuk suatu � � , maka � � adalah suatu anti turunan dari � � . Dengan
kata lain �
′
� = � � .
Contoh 2.8
Carilah suatu anti turunan dari � � = � pada −∞, ∞ .
Penyelesaian: Fungsi
� � = � bukan anti turunannya karena turunan � adalah � . Tetapi hal ini menyarankan
� � =
5
� , yang memenuhi �
′
� =
5
� = � . Dengan demikian, suatu anti turunan dari
� adalah
5
� . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Anti turunan dinotasikan dengan ∫ … �. Notasi tersebut menunjukkan anti
turunan terhadap �. Anti turunan biasanya disebut integral tak tentu.
Teorema 2.1
Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka ∫ �
�
� = �
�+
+ + �. Bukti:
Untuk membuktikan ∫ � � � = � � + �,
cukup dengan membuktikan
�
[� � + �] = � � . Dalam hal ini,
�
[ �
�+
+ + �] = + + �
�
= �
�
. Teorema terbukti.
Integral Tentu
Perhatikan Gambar 2.1 berikut ini. untuk mengaproksimasi luas dibawah kurva
= � � pada selang [�, ], dilakukan dengan cara aproksimasi yaitu dengan membagi interval
[�, ] menjadi � subinterval. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 2.1: Ilustrasi fungsi satu variabel.
Subinterval tersebut memiliki panjang yang sama yaitu
− �
untuk � . Setelah
membagi interval menjadi � subinterval kemudian menghitung total jumlah luasan
dari masing-masing persegi panjang yang dibentuk oleh masing-masing subinterval tersebut. Hal ini diperoleh dengan memilih
� , � , … , �
�
dengan � = � , = �
�
, dan
�
�
− �
�−
= − �
� , untuk
� = ,2, … , �. Andaikan panjang masing-masing subinterval yaitu
− �
dinotasikan dengan ∆�,
maka ∆� = �
�
− �
�−
. �
� = � �
Gambar 2.2: Ilustrasi pendekatan integral menggunakan jumlahan Riemann.
Luas daerah dibawah kurva diaproksimasikan dengan total luas daerah yang dibentuk oleh masing-masing subinterval, aproksimasi luas di bawah kurva adalah
� + � + + �
�
. Artinya total luas tersebut dapat ditulis
� ∆� + �
∆� + + �
�
∆� = ∑ �
�
∆�
� �=
yang disebut jumlahan Riemann fungsi � pada interval [a,b], sebagai pendekatan
luas daerah di bawah kurva = � � dan diatas sumbu �. Disini,
�
∈ [�
�−
, �
�
].
Semakin banyak subinterval yang digunakan, artinya ∆� → maka semakin
baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat dengan luasan yang sebenarnya. Dengan demikian,
Luas daerah = lim
∆�→
∑ �
�
∆�.
�
� = � �
� = � � �
∆�
�
�
�
= � �
�
�
Definisi 2.11
Andaikan � fungsi yang terdefinisi pada [�, ]. Integral tentu � dari � sampai
dinotasikan ∫ � � �, adalah
∫ � � � = lim
∆�→
∑ �
�
∆�.
�
F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin
Pada subbab ini dibahas mengenai deret Taylor dan deret Maclaurin beserta contohnya.
Definisi 2.12
Misalkan � adalah suatu fungsi yang mempunyai turunan-turunan dari semua
tingkat pada interval tertentu dengan � adalah suatu titik interior. Maka deret Taylor
yang diberikan oleh � di sekitar � = � adalah:
∑ �
�
� �
∞ �=
� − �
�
= � � + �
′
� � − � + �
′′
� 2
� − � + + �
�
� �
� − �
�
+ .
Deret Maclaurin yang diberikan oleh � adalah:
∑ �
�
�
∞ �=
�
�
= � + �
′
� + �′′
2 � + + �
�
� �
�
+ ,
yaitu deret Taylor yang diberikan oleh � di sekitar � = .
Contoh 2.9
Tentukan deret Taylor yang diberikan oleh � � =
�
di sekitar � = .
Penyelesaian: Diperoleh hasil:
� � =
�
, �
′
� = 2
�
, �
′′
� = 4
�
, �
′′′
� =
�
, ….
Akan dicari nilai �
, �
′
, �
′′
, �
′′′
, …. sehingga diperoleh:
� = ,
�
′
= 2, �
′′
= 4, �
′′′
= , …
Maka deret Taylor yang diberikan oleh � � =
�
saat � = adalah:
� + �
′
� + �′′
2 � + �
′′′
� + + �
�
� �
�
+
= + 2� + 2� + 4
� +
G. Konvergensi Deret Taylor
Deret Taylor dapat digunakan untuk mengetahui kekonvergenan suatu fungsi. Hal ini dapat dilihat dengan teorema berikut.
