Tingkat Konvergensi Metode Newton
Definisi 2.6
Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan diferensial yang melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari
satu variabel bebas.
Contoh 2.5
Persamaan 2.6 dan 2.7 merupakan persamaan diferensial parsial. Pada persamaan 2.6, variabel dan adalah variabel bebas dan adalah variabel tak
bebasnya. Pada persamaan 2.7 terdapat tiga variabel bebas yaitu �, , dan
dengan adalah variabel tak bebasnya.
Definisi 2.7
Orde dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang terkandung dalam persamaan diferensial.
Contoh 2.6
Persamaan diferensial biasa 2.4 adalah persamaan diferensial orde pertama, karena tingkat tertinggi dari turunan pada persamaan tersebut adalah satu.
Persamaan 2.5 adalah persamaan diferensial biasa orde kelima. Persamaan 2.6 termasuk persamaan diferensial parsial orde pertama. Persamaan 2.7 merupakan
persamaan diferensial parsial orde kedua. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.8
Suatu persamaan diferensial biasa orde ke- �
��, ,
′
,
′′
, … ,
�
= , dikatakan linear jika F merupakan suatu fungsi linear dari variabel
,
′
,
′′
, … ,
�
; definisi yang sama juga berlaku untuk persamaan diferensial parsial. Secara umum persamaan diferensial biasa linear orde
� dituliskan sebagai � �
�
+ � �
�−
+ + �
�
� = � , 2.8
dengan � tidak sama dengan nol.
Di sini
′
=
�
,
′′
=
�
, … ,
�
=
�
�
�
.
Contoh 2.7
Persamaan diferensial biasa berikut keduanya linear. Pada kedua persamaan berikut, variabel adalah variabel tak bebas. Perhatikan bahwa dan turunan-
turunannya terjadi dengan pangkat satu saja dan tidak ada perkalian dari dan atau turunan dari :
� + � +
= , 2.9
� + � � + 2� � = �. 2.10
Definisi 2.8
Suatu persamaan diferensial biasa yang tidak memiliki bentuk 2.8 dinamakan persamaan diferensial biasa tak linear.
Contoh 2.7
Persamaan diferensial biasa berikut semuanya tak linear:
� + � +
= , 2.11
� + 4 �
5
+ = ,
2.12
� + � +
= . 2.13
Persamaan 2.11 tak linear karena variabel tak bebas terdapat pada orde kedua dalam bentuk
. Persamaan 2.12 juga tak linear karena terdapat bentuk 4
� 5
yang melibatkan pangkat lima pada turunan pertama. Persamaan 2.13 tak linear karena pada bentuk
�
melibatkan perkalian terhadap variabel bebas dan turunan pertamanya.
Definisi 2.9
Aturan rantai merupakan cara yang digunakan untuk mendiferensialkan fungsi komposisi.
Aturan rantai kasus 1
Misal = �
dan = � . Jika dan � adalah fungsi yang terdiferensial,
maka secara tidak langsung adalah fungsi terdiferensial dari � dan
� = �.