Metode Newton LANDASAN TEORI

C. Analisis Galat Metode Newton

Bagaimanakah galat metode Newton standar berubah dari satu langkah ke langkah berikutnya?. Pada penurunan rumus turunan numeris dengan deret Taylor, rumus galat dalam penurunan rumus turunan numeris tersebut dapat langsung diperoleh. Tetapi dengan polinom interpolasi harus dicari rumus galat tersebut dengan bantuan deret Taylor. Contoh 2.2 Tentukan rumus galat dan tingkat keakuratan dari rumus metode Newton standar : � �+ = � � − � � � �′ � � Penyelesaian: Misalkan � = − � � dengan adalah akar eksak dan � � adalah hampiran pada langkah ke- �. maka: �+ = − � �+ , = − � � − � � � � ′ � � , = − � � + � � � � ′ � � , = � + � � � � ′ � � , = � � ′ � � + � � � �′ � � . Dengan deret Taylor menghasilkan : = � = � � � + � , = � � � + � � ′ � � + � �′′ � � 2 + = � � � + � � ′ � � + � �′′ � � 2 + untuk � � � � = � � � + � � ′ � � + � �′′ � � 2 , diperoleh � � � + � � ′ � � = − 2 � � ′′ � � . Dari persamaan � ′ � � + � � ′ � � dan � � � + � � ′ � � = − � � ′′ � � menjadi �+ = − � ′′ � � � 2� ′ � � ≈ − � ′′ � 2� ′ = � � , untuk � � yang cukup dekat dengan . Karena �+ ≈ � � . Disimpulkan bahwa metode Newton standar konvergen secara kuadratik untuk � � yang cukup dekat dengan . Dengan kata lain, tingkat keakuratan metode Newton standar adalah tingkat dua.

D. Persamaan Diferensial

Berikut ini dibahas tentang persamaan diferensial. Persamaan diferensial yang dibahas meliputi definisi dan contoh persamaan diferensial, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, kelinearan suatu persamaan diferensial, dan aturan rantai. Definisi 2.4 Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan variabel- variabel tak bebas dan turunan-turunannya terhadap variabel-variabel bebas. Contoh 2.3 Persamaan di bawah ini merupakan contoh persamaan diferensial: � = , 2.4 5 � 5 + � = cos , 2.5 � � + � � = , 2.6 � �� + � � + � � = . 2.7 Definisi 2.5 Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas. Contoh 2.4 Persamaan 2.4 dan 2.5 merupakan persamaan diferensial biasa. Pada persamaan 2.4 variabel � adalah suatu variabel bebas, dan variabel adalah variabel tak bebas. Pada persamaan 2.5, variabel adalah variabel bebas, dengan � adalah variabel tak bebasnya. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Definisi 2.6 Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan diferensial yang melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas. Contoh 2.5 Persamaan 2.6 dan 2.7 merupakan persamaan diferensial parsial. Pada persamaan 2.6, variabel dan adalah variabel bebas dan adalah variabel tak bebasnya. Pada persamaan 2.7 terdapat tiga variabel bebas yaitu �, , dan dengan adalah variabel tak bebasnya. Definisi 2.7 Orde dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang terkandung dalam persamaan diferensial. Contoh 2.6 Persamaan diferensial biasa 2.4 adalah persamaan diferensial orde pertama, karena tingkat tertinggi dari turunan pada persamaan tersebut adalah satu. Persamaan 2.5 adalah persamaan diferensial biasa orde kelima. Persamaan 2.6 termasuk persamaan diferensial parsial orde pertama. Persamaan 2.7 merupakan persamaan diferensial parsial orde kedua. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI