atau [
� 2
+ + �] = [
� 2 + ],
atau �
2 + + �
= �
2 + ,
atau �
2 + + � −
� 2
− = ,
sehingga + � −
2 � − +
2 � = . 3.13
Jika persamaan kubik tersebut diselesaikan untuk semua titik, maka akan diperoleh deskripsi permukaan air dari aliran yang
steady
, dengan kedalaman air dihitung menggunakan
ℎ = ℎ . Kecepatan air dihitung menggunakan formula = ℎ ℎ. Metode penyelesaian akar memainkan peran penting dalam
memecahkan persamaan 3.13 dalam menentukan nilai dari kedalaman air di semua ruang titik.
C. Hasil Numeris
Pada bagian ini, akan disajikan hasil numeris dari uji kasus metode penyelesaian akar untuk menyelesaikan masalah aliran
steady
. Masalah tersebut diberikan sebagai berikut. Dipandang ruang domain [0,25]. Topografinya adalah :
� = { .2 − .
� − jika
� 2, lainnya.
Diambil persamaan 3.13, yaitu + � − � −
+ � = . Percepataan gravitasi
= . , galat toleransi untuk solusi eksak adalah
− 5
, � =
√ ℎ
, � =
� ℎ
, ℎ = ℎ . Perhitungan dilakukan dengan menggukan aplikasi MATLAB
pada komputer. Dimisalkan = dan ℎ = 2. Domain ruang [0,25] didiskritkan
menggunakan panjang langkah seragam. Panjang langkah adalah 0.1.
Tabel 3.1 Perbandingan antara metode biseksi, metode Newton standar dan
metode Newton termodifikasi untuk menyelesaikan masalah aliran
steady
.
Banyaknya Iterasi
Kedalaman air �
Ketinggian permukaan
tanah �
Metode Biseksi
23 1.787135270153852
0.2
Metode Newton Termodifikasi
4 1.787135270153852
0.2
Metode Newton Standar
6 1.787135270153852
0.2
Hasil numerik diringkas dalam Tabel 3.1. Ruang titik yang diuji dengan menggunakan aplikasi MATLAB yaitu
� = . Dengan mengamati metode Newton termodifikasi, hanya membutuhkan 4 iterasi untuk menyelesaikan masalah
tersebut, dengan kedalaman air ℎ yaitu 1.787135270153852 dan ketinggian
permukaan tanah yaitu 1.787135270153852, yang mana banyaknya iterasi
dengan metode Newton standar yaitu 6 iterasi, dengan kedalaman air ℎ yaitu
1.787135270153852 dan
ketinggian permukaan
tanah yaitu
1.787135270153852. Jelas bahwa dalam hal banyaknya iterasi, metode Newton termodifikasi lebih baik daripada metode biseksi dan metode Newton standar.
Perhatikan bahwa semua metode ini menghasilkan solusi yang sama, tetapi banyaknya iterasinya bervariasi seperti yang ditampilkan dalam Tabel 3.1.
47
BAB IV KONVERGENSI METODE NEWTON TERMODIFIKASI
Pada bagian ini akan dibahas tentang konvergensi metode Newton termodifikasi dan percobaan dengan variasi tebakan awal.
A. Konvergensi Metode Newton Termodifikasi
Metode Newton standar mempunyai orde kekonvergenan 2 yaitu konvergen kuadratik, untuk akar sederhana. Metode Newton standar dapat dimodifikasi
sehingga orde kekonvergenannya dapat ditingkatkan. Akan diperlihatkan hubungan antara suatu fungsi yang memenuhi beberapa
asumsi tentang nilai fungsi dan nilai fungsi-fungsi turunan di sekitar akar sebenarnya, dengan kekonvergenan serta tentang derajat kekonvergenan. Asumsi
yang digunakan adalah : 1.
Fungsi � dapat diturunkan beberapa kali sampai � kali, � 2. 2.
Fungsi � mempunyai akar sederhana pada � = �. 3.
Tebakan awal � cukup dekat ke � sehingga iterasi dijamin konvergen. Metode Newton termodifikasi memberikan penyelesaian dari persamaan
� � = konvergen dengan orde � = + √2 ≈ 2.4 42. Hal ini telah dibuktikan oleh McDougall dan Waterspoon 2014.
B. Percobaan dengan Variasi Tebakan Awal
Untuk mengetahui seberapa cepat proses iterasi yang dilakukan oleh metode Newton termodifikasi bila dibandingkan dengan metode Newton standar maka akan
dilakukan percobaan. Percobaan dilakukan menggunakan program MATLAB. Dari hasil percobaan dapat diketahui akar penyelesaian dan jumlah iterasi yang
dilakukan oleh kedua metode. Berikut merupakan perbandingan hasil iterasi simulasi numeris untuk metode
Newton termodifikasi dengan metode Newton standar.
Tabel 4.1. Uji kasus penyelesaian persamaan
� � = � − = dengan error galat
− 5
.
Nilai awal
Metode Newton Standar Metode Newton Termodifikasi
Akar Numeris
Akar Eksak
Eror Numeris
Iterasi Akar
Numeris Akar
eksak Eror
Numeris Iterasi
-3 -1.66666666666
-1.13333333333 -1.00784313726
-1.00003051804
-1 -1
-0.6666667 -0.1333333
-0.0078431 -3.0518E-
05 -4.6566E-
10 1
2 3
4
5 -1.0813008130
-1.00098727188 -1.00000002448
-1.00000000000
- -1
-1.0813008 -0.0009872
-0.0000002 0.00000000
- 1
2 3
4
-
-9 -4.55555555556
-2.38753387534 -1.40318805004
-1 -3.5555556
-1.3875339 -0.4031881
1 2
3 -2.09064627791
-1.19431460672 -1.00691203825
-1 -1.0906463
-0.1943146 -0.0069120
1 2
3
Nilai awal
Metode Newton Standar Metode Newton Termodifikasi
Akar Numeris
Akar Eksak
Eror Numeris
Iterasi Akar
Numeris Akar
eksak Eror
Numeris Iterasi
-1.05792545186 -1.00158581967
-1.00000000000 -1
-0.0579255 -0.0015858
-7.80043E1 4
5 6
7 -1.00000280646
-1.00000000001 -1.00000000000
- -0.0000028
-0.0000001
- 4
5 6
-
2 1.25
1.025 1.000304878
1.00000004646 1
1 0.25
0.025 0.00030488
0.00000005 1
2 3
4 5
1.01158940397 1.00000983397
1.00000000031 1
- 1
0.01158940 0.00000983
0.00000000 0.00000000
- 1
2 3
4 -
Tabel 4.1 menunjukkan hasil simulasi akar persamaan � � = � − = .
Dapat dilihat bahwa perbandingan hasil iterasi simulasi numeris menggunakan metode Newton Standar dan metode Newton termodifikasi. Percobaan yang
dilakukan dengan data random yang berupa tebakan awal, yaitu -3, -9, -2. Dari Tabel 4.1 dapat dilihat bahwa akar numeris, akar eksak dari metode Newton standar
dan metode Newton termodifikasi. Ketika tebakan awal yang diambil adalah -3, maka banyaknya iterasi yang diperoleh dengan menggunakan metode Newton
standar yaitu 5 kali iterasi, sedangkan dengan metode Newton termodifikasi yaitu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
