Deret Taylor dan Deret Maclaurin Konvergensi Deret Taylor

� � � = � �+ � � + � − � �+ , 2.19 untuk � antara � dan �. Ketika teorema Taylor dinyatakan seperti di atas, hal ini mengatakan bahwa untuk setiap � ∈ �, maka: � � = � � � + � � � . Fungsi � � � ditentukan oleh nilai dari � + turunan ke � �+ di titik � yang bergantung pada kedua � dan �, dan terletak diantara mereka. Persamaan 2.14 disebut rumus Taylor. Fungsi � � � disebut suku galat untuk aproksimasi � oleh � � � terhadap interval �. Definisi 2.13 Jika � � � → , � → ∞ untuk semua � ∈ � maka deret Taylor yang dibangun oleh � saat � = � pada interval �, ditulis sebagai berikut: � � = ∑ � � � � � − � � . ∞ �= � � � dapat diperkirakan dengan tanpa mengetahui nilai �, untuk mengetahuinya dapat dilihat contoh sebagai berikut. Contoh 2.10 Tunjukan bahwa deret Taylor yang dibangun oleh � � = � saat � = konvergen ke � � untuk setiap � ∈ �. Penyelesaian: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Fungsi � � mempunyai turunan dari semua orde sepanjang interval � = −∞, ∞ . Persamaan 2.14 dan 2.15 dengan � � = � dan � = , maka: � = + 2� + 4 2 � + + 2 � � � � + � � � , dan � � � = � � + � �+ , untuk � antara 0 dan �. Karena � adalah fungsi naik, maka � berada diantara = dan � . Ketika nilai � maka nilai � dan � . Ketika nilai � = maka nilai � = dan � � � = . Ketika nilai � maka � dan � � . Maka |� � � | |�| �+ � + , saat � , dan |� � � | � |�| �+ � + , saat � . Karena lim �→∞ � �+ � + = , untuk setiap �, lim �→∞ � � � = dan deret konvergensi untuk setiap �, maka: � = ∑ 2 � � � � = ∞ �= + 2� + 4 2 � + + 2 � � � � + 2.20 29

BAB III METODE NEWTON TERMODIFIKASI DAN CONTOH

PENERAPANNYA DALAM BIDANG DINAMIKA FLUIDA Dalam bab ini akan dijelaskan metode Newton termodifikasi, konvergensi metode Newton termodifikasi, karakteristik persamaan gelombang air dangkal, dan hasil numeris yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang terkait dengan persamaan gelombang air dangkal.

A. Metode Newton Termodifikasi

Pada bagian ini dibahas mengenai metode Newton termodifikasi yang meliputi definisi dan contoh dari metode Newton termodifikasi tersebut. Definisi 3.1 Metode Newton termodifikasi adalah suatu metode pencarian akar yang didasarkan pada prinsip iterasi metode Newton standar, yaitu pendekatan fungsi tak linear � � dengan hampiran linear. Skema Newton termodifikasi diperoleh dengan mempertinggi tingkat keakuratan metode Newton standar dengan memperhatikan fungsi tak linear yang akan ditentukan akarnya. Dengan menetukan � sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus yang menyinggung grafik fungsi f di titik � , � � . Garis tersebut memotong sumbu x di titik � . Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tetapi sekarang � dianggap sebagai titik awalnya, kemudian menarik garis lurus yang menyinggung garik fungsi f di titik � , � � . Garis tersebut memotong sumbu x dititik � ∗ . Keterangan: � � dinyatakan saat � dan� . �′ � dinyatakan saat � ∗ = � dan � + � ∗ . Gambar 3.1: Gambar dari metode Newton termodifikasi. Diambil titik tengah antara � dan � ∗ sehingga didapat � + � ∗ . Dengan � + � ∗ sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus yang menyinggung grafik fungsi f di titik � + � ∗ , � � + � ∗ . Garis tersebut memotong sumbu x dititik � . Dengan mengulang langkah ini akan diperoleh titik-titik � , � , � ∗ , � + � ∗ , � , … , dengan adalah bilangan real yang merupakan akar atau mendekati akar sebenarnya. � � � ∗ 2 � + � ∗ � r � � � � � Iterasi awal untuk menentukan � adalah skema Newton standar. Tetapi untuk menentukan � turunan fungsi tidak dinyatakan saat � . Sebaliknya, estimasi yang ada dari turunan yang digunakan untuk menentukan nilai tengah, yaitu � ∗ dan turunannya dinyatakan saat � + � ∗ . Langkah untuk menetukan nilai tengah � ∗ disebut langkah “ predictor ”, sedangkan langkah untuk menentukan nilai selanjutnya dari �, � , menggunakan turunan dinyatakan saat � + � ∗ yang disebut langkah “ corrector ”. Metode Newton untuk menentukan akar solusi dari suatu persamaan nonlinear � � = lebih sederhana dan tingkat kecepatan menuju kekonvergenan lebih cepat. Dengan menggunakan fungsi dan turunan pertama dari fungsi itu, metode Newton dapat menghasilkan barisan dari aproksimasi yang konvergen secara kuadratik untuk akar solusi persamaan. Informasi turunan ini, dikombinasikan dengan pengamatan bahwa jika � � adalah fungsi kuadrat dengan akar solusi , maka dapat diperoleh dengan cara berikut, yaitu = � − � � � ′ [� + ] . 3.1 Dipandang suatu aturan predictor-corrector dengan bentuk di bawah ini: � ∗ = � − � � � ′ , 3.2 � = � − � � � ′ [� + � ∗ ] , 3.3 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI dengan � ′ merupakan pendekatan ketika di titik � . Langkah awal predictor itu merupakan langkah dasar metode Newton untuk mengestimasi turunan, sementara langkah corrector diperoleh dari hubungan implisit pada persamaan 3.1. Pilih � = , � � ∗ = � � − � � � � ′ [� �− + � �− ∗ ] , 3.4 � �+ = � � − � � � � ′ [� � + � � ∗ ] . 3.5 Persamaan di atas digunakan ulang dalam persamaan 3.4 dari turunan yang dihitung dalam iterasi sebelumnya sehingga aturan khusus dari langkah predictor - corrector hanya membutuhkan satu fungsi dan satu nilai turunan. Iterasi yang diperumum, diperoleh dari bentuk persamaan 3.4 dan 3.5 di atas merupakan iterasi umum. Telah dibahas sebelumnya, bahwa aturan predictor - corrector dengan langkah predictor didasarkan pada turunan yang dihitung dalam iterasi sebelumnya, dan langkah corrector diperoleh dari relasi implisit. Kelebihan dari skema di atas adalah menyisipkan dari fungsi dan nilai turunan, dengan menyatakan bahwa fungsi dan turunannya diperoleh dari nilai � yang berbeda lihat Gambar 3.1. Untuk melakukan iterasi pada dasarnya membutuhkan dua nilai awal, yaitu � dan � ∗ . Setelah itu gunakan langkah corrector pada persamaan 3.3. Diketahui perkiraan awal � pada akar, terdapat dua metode yang jelas untuk memperoleh nilai kedua dari � ∗ kedua yaitu:  � ∗ diperoleh dari dengan metode Newton yaitu � ∗ = � − � ′ , atau PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI  Himpunan sederhana � ∗ = � dengan langkah bentuk corrector pada persamaan 3.3 mengurangi metode Newton untuk memperoleh nilai � . Pada dua pilihan di atas ternyata efektif, dan selanjutnya � ∗ = � . Metode Newton termodifikasi secara umum akan diuji dengan secara berikut: � ∗ = � , 3.6 � = � − � � � ′ [� + � ∗ ] = � − � � �′ � . 3.7 Diikuti oleh untuk � � � ∗ = � � − � � � � ′ [� �− + � �− ∗ ] , 3.8 � �+ = � � − � � � � ′ [� � + � � ∗ ] . 3.9 Langkah-langkah dalam prosedur metode Newton termodifikasi diilustrasikan pada Gambar 3.1, dengan langkah-langkah yang ditampilkan untuk menentukan � . Kunci utama dari metode Newton termodifikasi dapat dilihat pada Gambar 3.1, yaitu: 1. Nilai � dihitung dari � menggunakan � � dan nilai dari turunan saat � + � ∗ adalah nilai hampiran dari turunan yang digunakan untuk menghitung ketika � , dan 2. � ∗ dapat diperoleh dengan cara nilai turunan yang sama ini digunakan kembali pada berikutnya yaitu langkah predictor . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Contoh 3.1 Dengan menggunakan metode Newton termodifikasi tentukan akar penyelesaian persamaan � � = , dengan � � = � + � − 4� − dengan � = dan � = . . Penyelesaian: Diketahui � = dan � = . . Dipandang � � = � + � − 4� − maka turunan pertamanya adalah � ′ � = 4� + � − �. Hasil iterasi metode Newton termodifikasi persamaan 3.6-3.9 untuk � = , , 2, ,4 adalah sebagai berikut: Untuk � = , maka � ∗ = � = , � = � − � � � ′ � , dengan � � = � = + − 4 − = − , dan turunan pertamanya adalah � ′ � = � ′ = 4 + − = . Dengan demikian diperoleh � = − − = = .2, dan |� .2 | = | .4 | = .4 . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI