49
Program Linear
Y
X O
20, 0 A
24, 0 C
0, 30
B 12, 12
0, 24
x + y = 24
3x + 2y = 60
Gambar 2.8
Fungsi objektif: meminimumkan z = 50.000x + 40.000y Untuk membuat garis x + y = 24 dan 3x + 2y = 60, kita tentukan titik potong garis-
garis tersebut terhadap sumbu-sumbu koordinat dengan membuat tabel seperti berikut.
• Untuk x + y = 24
• Untuk 3x + 2y = 60
Tabel 2.14 Tabel 2.15 x
24
y 24
x, y 0, 24
24, 0
x 20
y 30
x, y 0, 30
20, 0 Daerah penyelesaiannya terlihat pada
Gambar 2.8. Menentukan titik potong kedua garis
x + y = 24
×
2
A
2x + 2y = 48 3x + 2y = 60
×
1
A
3x + 2y = 60 –x = –12
x = 12
Karena x = 12 maka x
+ y = 24
12 + y = 24
y = 12. Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu
adalah 12, 12. Dari gambar di samping, tampak bahwa
titik-titik sudut yang terdapat pada daerah penyelesaian adalah A24, 0, B12, 12,
dan C0, 30. Nilai bentuk objektif z = 50.000x + 40.000y untuk masing-masing
titik tersebut, dapat diselidiki dengan membuat tabel sebagai berikut.
Tabel 2.16 Titik
A 24, 0
B 12, 12
C 0, 30
x 24
12
y 12
30
50.000x + 40.000y 1.200.000
1.080.000 1.200.000
Dari tabel tersebut, nilai minimum bentuk objektif z = 50.000x + 40.000y adalah 1.080.000, yaitu untuk x = 12 dan y = 12.
Jadi, banyaknya kendaraan yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan mini- mum adalah 12 truk dan 12 pikap. Biaya minimumnya adalah Rp1.080.000,00.
–
50
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
b. Metode Garis Selidik ax + by = k
Menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif dengan menggunakan uji titik sudut memerlukan perhitungan dan
waktu yang cukup lama. Untuk itu, sering digunakan metode yang lebih sederhana, yaitu metode garis selidik yang
berbentuk ax + by = k.
Misalkan terdapat suatu fungsi objektif z = ax + by, dengan a dan b bilangan real. Dengan mengambil beberapa
nilai k
i
untuk z, yaitu k
1
, k
2
, ..., k
n
, diperoleh n garis selidik yang memiliki persamaan sebagai berikut.
k
1
= ax + by k
2
= ax + by ...
k
n
= ax + by Garis-garis tersebut mempunyai gradien yang sama, yaitu
m = –
a b
. Dengan demikian, garis-garis tersebut merupakan garis-garis yang sejajar. Apabila digambarkan, sebagian dari
garis-garis tersebut terletak pada daerah penyelesaian pertidaksamaan linear daerah feasibel dan salah satu di
antaranya melalui titik optimum. Garis yang melalui titik optimum inilah yang menghasilkan nilai optimum bagi
fungsi objektif z = ax + by. Garis selidik yang berada paling kanan atau paling atas pada daerah penyelesaian
menunjukkan nilai maksimum, sedangkan garis selidik yang berada paling kiri atau paling bawah pada daerah
penyelesaian menunjukkan nilai minimum.
Contoh:
{
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas
Pada gambar di atas, daerah yang diwarnai
gelap memenuhi sis- tem pertidaksamaan
a. y 0, x 0,
3y 4x + 12,
x – 2y –4
b. x 0, 3y 4x + 12,
x – 2y –4
c. x 0, 2y – x 4,
3y 4x + 12
d. x 0, y 9,
3y 4x + 12,
2y – x 4
e. y 0, x 0,
2y – x 4,
3y 4x + 12
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2004
-3 -4
O 2
4
X Y
Eksplorasi
Tugas
Kerjakan di buku tugas
Buktikan bahwa n garis selidik dengan persamaan k
1
= ax + by k
2
= ax + by ....
k
n
= ax + by mempunyai gradien m = – a
b .
1. Tentukan nilai optimum bentuk objektif model matematika berikut.
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel: 2x + y 30
2x + 3y 50 x
, y 0, dengan x, y
D
C Fungsi objektif: memaksimumkan z = x + y
