161
Barisan dan Deret
a. Bunga: B = M
×
t
×
r = Rp4.000.000,00
× 4
1 ×
20 = Rp200.000,00
b. Jumlah uang yang harus dikembalikan adalah
M
t
= M 1 + t
×
r = M
+ M
×
t
×
r = M
+ B = Rp4.000.000,00 + Rp200.000,00
= Rp4.200.000,00
2. Bunga Majemuk
Pada pembahasan di depan, kalian telah mengetahui per- hitungan bunga yang didasarkan atas bunga tunggal. Sekarang
kita akan memahami bunga majemuk, yaitu bunga yang dihitung atas dasar jumlah modal yang digunakan ditambah dengan
akumulasi bunga yang sebelumnya. Bunga ini disebut bunga berbunga. Perhitungan bunga berbunga semacam ini dapat kalian
pahami melalui perhitungan deret geometri.
Misalkan modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga
majemuk, dengan tingkat suku bunga i dalam persentase per periode waktu. Besar modal pada periode ke-t M
t
dapat dihitung dengan cara berikut.
M
1
= M
+ M
×
i = M 1 + i
M
2
= M
1
1 + i = [M 1 + i] 1 + i = M
1 + i
2
M
3
= M
2
1 + i = [M 1 + i
2
] 1 + i = M 1 + i
3
M
M
t
= M
t – 1
1 + i = [M 1 + i
t – 1
]1 + i = M 1 + i
t
Jadi, dapat kita katakan sebagai berikut. Jika modal sebesar M
dibungakan atas dasar bunga majemuk dengan tingkat suku bunga i dalam persen per periode tertentu,
besar modal pada periode ke-t M
t
dapat ditentukan dengan rumus M
t
= M 1 + i
t
Contoh:
Suatu bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bunga majemuk 18 per tahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp10.000.000,00 dan bank itu
membungakan secara majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikan setelah 2 tahun?
Informasi Lebih Lanjut
Tugas
Kerjakan di buku tugas
Coba kalian cari tahu dapat dipakai
untuk masalah apa saja rumus bunga
majemuk, a
jika i 0; b
jika i 0?
162
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Penyelesaian:
Dari soal diketahui M = Rp10.000.000,00, i =
12 18
= 1,5, dan t = 24 bulan. Dengan demikian, modal yang harus dikembalikan setelah 2 tahun 24 bulan adalah
M
t
= M 1 + i
t
M
24
= Rp10.000.000,00 1 + 0,015
24
= Rp10.000.000,00 1,4295028 = Rp14.295.028,12
3. Anuitas
Kasus utang piutang penyelesaiannya dapat dilakukan dengan berbagai cara. Salah satu cara pembayarannya dapat
dilakukan dengan anuitas di samping dengan cara-cara pembayaran yang telah kalian pelajari sebelumnya dengan
bunga. Pembayaran yang dilakukan dengan anuitas akan makin kecil karena bunga yang dibayarkan juga makin kecil. Hal ini
berakibat pokok pinjaman juga makin kecil. Jadi, anuitas merupakan cara pembayaran maupun penerimaan yang secara
urut dalam jumlah tetap dengan jangka waktu juga tetap.
Ada dua macam anuitas, yaitu anuitas pasti dan anuitas tidak pasti. Anuitas pasti mempunyai ciri khas tanggal mulai dan
tanggal selesai tepat. Misalnya pembayaran utang. Pada anuitas tidak pasti, jangka pembayarannya disesuaikan keadaan.
Misalnya, santunan asuransi kecelakaan. Pada kali ini, kita hanya akan membicarakan anuitas pasti.
Misalnya modal sebe- sar M dipinjamkan dengan
pembayaran n kali anuitas. Jika suku bunga yang
diberikan i dalam persen dan besar anuitas A, besar
anuitas dapat ditentukan dengan cara berikut.
A =
-
=
+
n k
k
i M
1
1 Perhatikan ilustrasi di sam-
ping.
M 1
2 n
. .
.
A 1 + i
-1
A 1 + i
-2
A 1 + i
-3
A 1 + i
–n
. .
.
A A
A A
3
163
Barisan dan Deret
Dari ilustrasi di atas dapat dijelaskan sebagai berikut. M
= A
1 + i
–1
+ A1 + i
–2
+ A1 + i
–3
+ ... + A1 + i
–n
= A
[1 + i
–1
+ 1 + i
–2
+ 1 + i
–3
+ ... + 1 + i
–n
] =
A µ
³
+
+ +
+ +
+ +
+
n
i i
i i
1 1
... 1
1 1
1 1
1
3 2
Bentuk terakhir merupakan deret geometri dengan suku awal a
=
i +
1 1
dan rasio r =
i +
1 1
. Oleh karena itu,
M =
µ
³
+ +
= µ
µ µ
µ µ
³ ³
³ ³
³
+ ´´
¦ ¥
²² ¤
£ +
+ =
µ
³
n n
n n
i i
i A
i i
i A
r r
a A
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 ,
sehingga A
Mi i
i Mi
i i
n n
n n
= +
+ =
+ +
. 1
1 1
1 1
1 Jadi, besar anuitas dapat juga ditentukan dengan rumus
A Mi
i i
n n
= +
+ 1
1 1
Contoh:
Pak Dani meminjam uang sebesar Rp10.000.000,00 pada suatu bank. Pelunasan dilakukan dengan cara anuitas sebanyak 10 kali. Anuitas pertama dilakukan sebulan
setelah uang pinjaman diterima. Tentukan besar anuitasnya jika suku bunga yang ditetapkan bank 15 per tahun.
Penyelesaian :
Dari soal diketahui bahwa M
= Rp10.000.000,00 i
= 15 per tahun =
12 15
= 1,25 per bulan n
= 10
10 juta 1
2 10
. .
. .
. .
.
A A
A A
3
A 1 + 0,0125
–1
A 1 + 0,0125
–2
A 1 + 0,0125
–3
A 1 + 0,0125
–10
