10
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
1. Tentukan Fx jika diketahui sebagai berikut.
a. F
x = 3x
2
dan F2 = –3 b.
F x = x
2
– 3 dan F–3 = 10 c.
F x = 6x
2
– 8x dan F3 = 6 d.
F x = 2x + 6x
2
dan F–1 = 8 e.
F x =
5 4
2
x
dan F2 = 11 f.
F x = m – 3x
2
, F–1 = –6, dan F2 = 3 2.
Tentukan persamaan kurva yang memiliki gradien berikut. a.
dx dy
= 10x + 3 dan melalui titik –1, 3 b.
dx dy
= 3x
2
– 4x dan melalui titik 3, 6 c.
dx dy
= –
2
1 x
dan melalui titik 1, 4
Problem Solving
Fungsi biaya marjinal dalam ratusan ribu rupiah untuk memproduksi satu unit barang per minggu adalah
M dC
dQ Q
C
= =
+ 4
10 5
. Biaya untuk memproduksi 1 unit produk adalah tiga ratus ribu rupiah, tentukan fungsi biaya total per minggu.
Penyelesaian: Biaya total dapat dicari dengan mengintegralkan biaya marjinalnya.
C Q =
4 10
5 Q
+ £
¤ ¥
¦
dQ =
1 5
4 10
Q dQ
+ =
1 5
2 10
2
Q k
+ +
= 2
5 2
2
Q Q
k +
+ Dari soal diketahui, C1 = 3.
3 = 2
5 1
2 1
2
+ + k
k =
3 5
Oleh karena itu, rumus fungsi biaya total per minggu adalah CQ = 2
5 Q
2
+ 2Q + 3
5 .
Uji Kompetensi 2
Kerjakan di buku tugas
11
Integral
3. Suatu garis menyinggung kurva kuadratis px di titik 2, 0. Persamaan garis
singgung itu adalah 2ax – 2. Jika kurva itu melalui titik 1, 0, tentukan persamaan kurva itu.
4. Diketahui fungsi biaya untuk memproduksi Q unit barang adalah C = fQ. Biaya
marjinal didefinisikan sebagai
M dC
dQ
C
=
. Fungsi biaya marjinal untuk memproduksi Q
unit barang dirumuskan dengan M
C
= 6Q + 7 dalam puluhan ribu. Diketahui untuk memproduksi 2 unit barang diperlukan biaya 380.000 rupiah. Tentukan fungsi
biaya totalnya. Berapa biaya total yang diperlukan untuk memproduksi 5 barang? 5.
Misalnya biaya total yang dikeluarkan suatu perusahaan untuk memproduksi Q unit barang dirumuskan dengan C = fQ. Fungsi biaya marjinal dalam jutaan
rupiah untuk memproduksi Q unit barang per periode adalah CQ = 4
5 Q
+ 3. Biaya total untuk memproduksi 1 unit barang adalah
11 15
juta rupiah. Tentukan fungsi biaya totalnya.
C. Integral Tertentu
1. Pengertian Integral sebagai Luas Suatu Bidang Datar
Misalkan terdapat suatu fungsi fx yang kontinu pada in- terval [a, b]. Daerah yang dibatasi oleh y = fx, sumbu X, garis
x
= a, dan x = b dapat digambarkan seperti pada Gambar 1.1.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas NPada tiap titik x, y
sebuah kurva y = fx berlaku
dy dx
= 8x – 3. K u r v a m e l a l u i t i t i k
–1, 10. Persamaan kurva itu adalah ....
a. y = 4x
2
+ 9x + 9 b. y = 4x
2
– 2x + 4 c. y = 4x
2
– x + 7 d. y = 4x
2
+ 2x + 8 e. y = 4x
2
– 3x + 3
Soal Ebtanas SMA, 1993
Gambar 1.1
Y
X O
y = fx
f x
2
f x
1
f x
3
f x
n
x
1
x
2
a x
6 x
6 x
3
x 6
x
n
x 6
b
Misalkan interval [a, b] dibagi menjadi n interval bagian, dengan panjang masing-masing interval bagian
x 6
. Pada masing-masing interval bagian itu, selanjutnya ditentukan titik-
titik x
1
, x
2
, ...., x
n
, seperti pada Gambar 1.1. Kemudian, dibuat
12
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
persegi-persegi panjang dengan panjang masing-masing fx
1
, f
x
2
, ...., fx
n
, dan lebarnya
x 6
. Oleh karena itu, diperoleh sebagai berikut.
Luas persegi panjang pada interval pertama = fx
1
× x 6
Luas persegi panjang pada interval kedua = fx
2
× x 6
M M
Luas persegi panjang pada interval ke-n = fx
n
× x 6
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– + Jumlah luas = fx
1
× x
6
+ fx
2
× x
6
+ ... + fx
n
× x 6
x x
f x
f x
f
n
6 ×
+ +
+ =
...
2 1
x x
f
n i
6 ×
- =
= i
1
Notasi -
dibaca ”sigma” adalah jumlah secara berurutan. Karena persegi-persegi panjang itu terletak pada interval [a, b]
maka x
1
= a dan x
n
= b sehingga jumlah luasnya dapat ditulis
x x
f L
i n
i
6 ×
- =
= 1
. Karena fx kontinu pada interval [a, b], panjang interval dapat dibuat sekecil mungkin sehingga untuk
n
A
maka A
6x . Jadi, luas daerah itu adalah
L f x
x
x i
n
= -
×
A =
lim
1 6
6
i
. Dengan notasi integral, jika limit tersebut ada maka rumus luas ini didefinisikan secara sederhana menjadi
=
b a
dx x
f L
. Dengan demikian, kita memperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Jika L adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = fx, dengan x
D
[a, b], sumbu X, garis x = a, dan garis x = b maka
L =
lim
1 i
b i
x
x f
= A
6
-
× x
6
atau L =
b a
dx x
f
Jadi, integral secara geometri diartikan sebagai luas daerah yang dinyatakan oleh
limit suatu penjumlahan. Notasi adalah lambang integral yang diper-
kenalkan pertama kali oleh Leibniz. Pada gambar di samping, luas daerah
antara kurva y = fx dan sumbu X pada
Y
X O
a b
f p+h
f p
N N
M
M
R S
y = fx
K L
h p
p+h
a
13
Integral
• interval [a, b] , Lb =
f x dx
a b
; •
interval [a, p], Lp = dx
x f
p a
;
• interval [a, p + h], Lp + h =
dx x
f
h p
a +
; •
interval [a, a], La = dx
x f
a a
= 0.
Y
X O
a b
R S
y = fx
Gambar 1.2
b
Luas KLMN Luas KLMN Luas KLMN f
p
×
h Lp + h – Lp fp + h
×
h Jika setiap ruas dibagi h, diperoleh
f p
h p
L h
p L
+ fp + h.
Agar diperoleh pendekatan luas sesungguhnya, interval h dibuat sekecil-kecilnya atau
A h
sehingga lim
lim lim
h p
f h
p L
h p
L p
f
h h
h
+ +
A A
A
fp
Lp fp Jadi, Lp = fp.
Karena p pada interval [a, b], untuk p = x diperoleh Lx = fx. Berarti, Lx =
x a
dx x
f .
Jika F adalah antiturunan dari f maka Lx = Fx + c. •
Untuk x = a maka La = Fa + c. Karena La = 0 maka 0 = Fa + c
c = –Fa.
• Untuk x = b maka Lb = Fb + c.
Karena c = –Fa maka Lb = Fb – Fa. Jadi, berdasarkan uraian di atas, luas daerah antara kurva y =
f
x, garis x = a, x = b, dan sumbu X lihat Gambar 1.2 b
dapat ditentukan dengan rumus berikut. L
=
b a
dx x
f =
b a
x F
] [
= Fb – Fa Pembahasan lebih lanjut mengenai luas daerah di bidang datar
yang dibatasi suatu kurva, sumbu X, dan dua garis sejajar sumbu Y akan kita perdalam pada subbab tentang penggunaan integral.
